山西省忻州市五寨縣胡會(huì)鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山西省忻州市五寨縣胡會(huì)鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.P,Q,R為正方體表面上的三點(diǎn),在正方體三個(gè)兩兩垂直的面上的射影如下圖,則下列關(guān)于過點(diǎn)P,Q,R三點(diǎn)的截面結(jié)論正確的是

(

)

A.這個(gè)截面是一個(gè)三角形

B.這個(gè)截面是四邊形C.這個(gè)截面是六邊形

D.這個(gè)截面過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)參考答案：C2.已知，條件p：“a>b”，條件q：“”，則p是q的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A3.已知

的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為(

)A.30

B.

C.

D.

參考答案：B4.過點(diǎn)P（﹣，﹣1）的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，由此求得斜率k的范圍，可得傾斜角的范圍．【解答】解：由題意可得點(diǎn)P（﹣，﹣1）在圓x2+y2=1的外部，故要求的直線的斜率一定存在，設(shè)為k，則直線方程為y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直線l的傾斜角的取值范圍是[0，]，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．5.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O為AD中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，AD=2BC．（1）求證：平面POB⊥平面PAD；（2）若點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BMO．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得四邊形BCDO為平行四邊形，OB⊥AD，從而BO⊥平面PAD，由此能證明平面POB⊥平面PAD．（2）連結(jié)AC，交BO于N，連結(jié)MN，由已知得MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMO．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，BC=AD，O為AD的中點(diǎn)，∴四邊形BCDO為平行四邊形，∴CD∥BO．

∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°

即OB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD．∵BO?平面POB，∴平面POB⊥平面PAD．（2）證明：連結(jié)AC，交BO于N，連結(jié)MN，∵AD∥BC，O為AD中點(diǎn)，AD=2BC，∴N是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，∴MN∥PA，∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，∴PA∥平面BMO．6.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,則a∶b∶c等于（

）A

1∶2∶3

B

3∶2∶1

C

2∶∶1

D

1∶∶2參考答案：D略7.過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)（0，2），則p等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】可以求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以寫出弦AB所在直線方程為，可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程和拋物線方程聯(lián)立消去x可得到關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理即可求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，而弦AB的垂直平分線方程可寫出為y﹣2=﹣x，弦中點(diǎn)坐標(biāo)帶入該方程便可求出p的值．【解答】解：，過焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線方程為：，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為；弦AB的垂直平分線方程為y﹣2=﹣x，弦AB的中點(diǎn)在該直線上；∴；解得．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)，以及根據(jù)直線的傾斜角求斜率，直線的點(diǎn)斜式方程，韋達(dá)定理．8.若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為(

).

參考答案：D略9.已知點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，則它的離心率為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】將的坐標(biāo)代入雙曲線，求得的值，進(jìn)而求得的值和離心率.【詳解】將的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，解得，故，所以離心率為，故選B.10.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】設(shè)出所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程中的變量，即可求出直線方程．【解答】解：設(shè)所求直線方程為2x+y+b=0，則，所以=，所以b=±5，所以所求直線方程為：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線平行的判定，圓的切線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知下列命題（其中a，b為直線，α為平面）：①若一條直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直；②若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的直線一定垂直于這個(gè)平面；③若a∥α，b⊥α，則a⊥b；④若a⊥b，則過b有惟一α與a垂直．上述四個(gè)命題中，是真命題的有．（填序號(hào)）參考答案：③④【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】①平面內(nèi)無數(shù)條直線均為平行線時(shí)，不能得出直線與這個(gè)平面垂直，故①錯(cuò)誤；②垂直于這條直線的直線與這個(gè)平面可以是任何的位置關(guān)系，故②錯(cuò)誤．若a∥α，b⊥α，則根據(jù)線面平行、垂直的性質(zhì)，必有a⊥b．【解答】解：①平面內(nèi)無數(shù)條直線均為平行線時(shí)，不能得出直線與這個(gè)平面垂直，將“無數(shù)條”改為“所有”才正確；故①錯(cuò)誤；②垂直于這條直線的直線與這個(gè)平面可以是任何的位置關(guān)系，有可能是平行、相交、線在面內(nèi)，故②錯(cuò)誤．③若a∥α，b⊥α，則根據(jù)線面平行、垂直的性質(zhì)，必有a⊥b，正確；④若a⊥b，則過b有且只有一個(gè)平面與a垂直，顯然正確．故答案為③④．12.參考答案：略13.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________(用數(shù)字作答)

參考答案：1814.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是

．

參考答案：略15.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為． 參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【專題】計(jì)算題；作圖題；數(shù)形結(jié)合法；不等式． 【分析】若求目標(biāo)函數(shù)的最大值，則求2x+y的最小值，從而化為線性規(guī)劃求解即可． 【解答】解：若求目標(biāo)函數(shù)的最大值， 則求2x+y的最小值， 作平面區(qū)域如下， ， 結(jié)合圖象可知， 過點(diǎn)A（1，1）時(shí)，2x+y有最小值3， 故目標(biāo)函數(shù)的最大值為， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用． 16.由曲線y=x2+2，x+y=4所圍成的封閉圖形的面積為________.參考答案：.【分析】先求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，確定被積函數(shù)以及被積區(qū)間，然后利用定積分公式可計(jì)算出所求區(qū)域的面積.【詳解】聯(lián)立，得或，當(dāng)時(shí)，可知，因此，所求封閉區(qū)域的面積為

，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的幾何意義，利用定積分計(jì)算曲邊三角形的面積，解題的關(guān)鍵就是確定出被積函數(shù)以及被積區(qū)間，結(jié)合微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算，考查分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于中等題.17.曲線在x=l處的切線的斜率是_________。參考答案：2e【分析】先求得曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此求得切線的斜率.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)為，即此時(shí)切線的斜率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)，考查切線斜率的概念和求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點(diǎn)是離心率為的橢圓:上的一點(diǎn).斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn),且、、三點(diǎn)不重合.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由?

參考答案：解:(Ⅰ),

,,,

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為----①

-----②,設(shè)為點(diǎn)到直線:的距離,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),的面積最大,最大值為.

略19.解關(guān)于x的不等式：．參考答案：【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】轉(zhuǎn)化分式不等式一側(cè)為0，對(duì)x的系數(shù)是否為0，因式的根的大小討論，分別求出不等式的解集即可．【解答】解：原不等式化為…當(dāng)m=0時(shí)，原不等式化為﹣x﹣1＞0，解集為（﹣∞，﹣1）；

…當(dāng)m＞0時(shí)，原不等式化為，又，所以原不等式的解集為；

…當(dāng)m＜0時(shí)，原不等式化為，當(dāng)時(shí)，即﹣1＜m＜0，所以原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即m=﹣1，所以原不等式的解集為?；當(dāng)時(shí)，即m＜﹣1，所以原不等式的解集為；…綜上所述，當(dāng)m=0時(shí)，原不等式解集為（﹣∞，﹣1）；當(dāng)m＞0時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)﹣1＜m＜0時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)m=﹣1時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)m＜﹣1時(shí)，原不等式的解集為；

…20.（14分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)長軸的端點(diǎn)為P（0，﹣2），離心率為e=，過點(diǎn)P作斜率為k1，k2的直線PA，PB，分別交橢圓于點(diǎn)A，B．（1）求橢圓的方程；（2）若k1?k2=2，證明直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b之值，即可得到橢圓的方程；（2）由題意得直線PA方程為y=k1x﹣2，與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，解出A點(diǎn)坐標(biāo)含有k1的式子，同理得到B點(diǎn)坐標(biāo)含有k2的式子，利用直線的兩點(diǎn)式方程列式并結(jié)合k1k2=2化簡整理，可證出AB方程當(dāng)x=0時(shí)y=﹣6，由此可得直線AB必過定點(diǎn)Q（0，﹣6）．【解答】解：（1）∵橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)長軸的端點(diǎn)為P（0，﹣2），∴設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），可得a=2，且，解之得b=1，∴橢圓的方程為：；（2）由題意，可得直線PA方程為y=k1x﹣2，與橢圓方程消去y，得（1+）x2﹣k1x=0，解之得x=0或x=由P的坐標(biāo)為（0，﹣2），得A（，k1?﹣2），即（，）同理可行B的坐標(biāo)為（，），結(jié)合題意k1?k2=2，化簡得B（，）因此，直線AB的方程為，化簡得=（），令x=0得==﹣6，由此可得直線AB過定點(diǎn)定點(diǎn)Q（0，﹣6）．【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓滿足的條件，求它的方程并證明直線經(jīng)過定點(diǎn)．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線的基本量與基本形式等知識(shí)，屬于中檔題．21.（13分）設(shè)有關(guān)的一元二次方程.（1）若是從1,2,3這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),是從0,1,2這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;

（2）若是從區(qū)間[0,3]中任取的一個(gè)數(shù),是從區(qū)間[0,2]中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

參考答案：(1)由題意,知基本事件共有9個(gè),可用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示為(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)表示的取值,第二個(gè)表示的取值......................................2分由方程的..........................4分方程有實(shí)根包含7個(gè)基本事件,即(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).此時(shí)方程有實(shí)根的概率為.................6分(2)的取值所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示,其中........8分構(gòu)成“方程有實(shí)根”這一事件的區(qū)域?yàn)?圖中陰影部分).此時(shí)所求概率為....................13分22.（本題滿分12分）在平