天津楊村第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

天津楊村第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若（2x﹣1）x=0則x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，則（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分條件．故選B2.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且＝2347x－6423；②y與x負(fù)相關(guān)且＝－3476x＋5648；③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是(

)

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：D3.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，，點(diǎn)在N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，則A∩B=(

)A．{} B．{2} C．{﹣，1，，2} D．{﹣2，1，，2}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，則A∩B={}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．5.在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C試題解析：必要性在△ABC中，“cosA＞cosB”，由余弦函數(shù)在（0，π）是減函數(shù)，故有A＜B，若B不是鈍角，顯然有“sinA＜sinB”成立，若B是鈍角，因?yàn)锳+B＜π，故有A＜π-B＜，故有sinA＜sin（π-B）=sinB綜上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”：充分性：由“sinA＜sinB”若B是鈍角，在△ABC中，顯然有0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”若B不是鈍角，顯然有0＜A＜B＜，此時(shí)也有cosA＞cosB綜上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要條件C考點(diǎn)：本題考查三角函數(shù)和充要條件判斷點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是掌握充要條件的判斷方法，利用原命題真假證充分性，逆命題的真假證明必要性，6.設(shè)sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8=4a3，a7=﹣2，則a9=（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得，解此方程組，求得首項(xiàng)和公差d的值，即可求得a9的值．【解答】解：∵sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，s8=4a3，a7=﹣2，即．解得a1=10，且d=﹣2，∴a9=a1+8d=﹣6，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合，則橢圓的離心率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C8.在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是

A．，，B．，，C．，，D．，，參考答案：C9.－225°化為弧度為A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)角度與弧度轉(zhuǎn)化的公式，可直接得出結(jié)果.【詳解】.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知集合A=｛x｜<0｝，B=｛x｜｜x-1｜>1｝，則A∩B=A（-1,0）

B（2，3）

C

(-1,0)∪(2,3)

D

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球（），共有種取法，在這種取法中，可以分為兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，另一類是取出的m個(gè)球中有1個(gè)黑球，共有種取法，即有等式：成立.試根據(jù)上述思想可得

(用組合數(shù)表示)參考答案：

略12.如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP=α，則矩形ABCD的面積最大是．參考答案：【考點(diǎn)】扇形面積公式．【專題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解答】解：如圖，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，=tan60°=，所以O(shè)A=DA=BC=sinα．所以AB=OB﹣OA=cosα﹣sinα．設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB?BC=（cosα﹣sinα）sinα=sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣=sin（2α+）﹣．由于0＜α＜，所以當(dāng)2α+=，即α=時(shí)，S最大=﹣=．因此，當(dāng)α=時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，屬于中檔題．13.直線的傾斜角的余弦值為______________________．參考答案：14.如右圖，在正三棱錐S﹣ABC中，M，N分別為棱SC，BC的中點(diǎn)，AM⊥MN，若，則正三棱錐S﹣ABC的外接球的體積為

．參考答案：【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．【解答】解：∵M(jìn)，N分別為棱SC，BC的中點(diǎn)，∴MN∥SB∵三棱錐S﹣ABC為正棱錐，∴SB⊥AC（對(duì)棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵M(jìn)N⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC為從同一定點(diǎn)S出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線就是球的直徑．∴2R=，∴R=，∴V=πR3=π×=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力．三棱錐擴(kuò)展為正方體，它的對(duì)角線長(zhǎng)就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵．15.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X>2)＝____________.參考答案：0.1隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，故答案為0.1.16.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則

．參考答案：﹣12根據(jù)題意，f（x）＝2f'（2）x+x3，則f′（x）＝2f'（2）+3x2，當(dāng)x＝2時(shí)，有f′（2）＝2f'（2）+12，變形可得：f′（2）＝﹣12；故答案為：﹣12．

17.已知平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線的夾角為60°，這條直線與斜線在平面內(nèi)的射影的夾角為45°，則斜線與平面所成的角為．參考答案：45°【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】由已知中直線a是平面α的斜線，b?α，a與b成60°的角，且b與a在α內(nèi)的射影成45°的角，利用“三余弦定理”，即求出a與平面α所成的角的余弦值，進(jìn)而得到答案．【解答】解：題目轉(zhuǎn)化為：直線a是平面α的斜線，b?α，a與b成60°的角，且b與a在α內(nèi)的射影成45°的角，求斜線與平面所成的角．設(shè)斜線與平面α所成的角為θ，根據(jù)三余弦定理可得：cos60°=cos45°×cosθ即=×cosθ則cosθ=則θ=45°故答案為：45°．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓,直線.試證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線與圓恒相交；并求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍.參考答案：解:（1）由,得,則由,

解得F（3,0）設(shè)橢圓的方程為,

則,解得所以橢圓的方程為（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),所以,從而圓心到直線的距離.所以直線與圓恒相交,又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為由于,所以,則,即直線被圓截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是略19.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC為球O的直徑，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB為等邊三角形，三棱錐S﹣ABC的體積為，求球O的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球的半徑r．利用截面的性質(zhì)即可得到三棱錐S﹣ABC的體積可看成是兩個(gè)小三棱錐S﹣ABO和C﹣ABO的體積和，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，求出r，從而求球O的表面積．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，球的半徑r．∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB，三棱錐S﹣ABC的體積可看成是兩個(gè)小三棱錐S﹣ABO和C﹣ABO的體積和．∴V三棱錐S﹣ABC=V三棱錐S﹣ABO+V三棱錐C﹣ABO=××r2×r×2=，∴r=2，∴球O的表面積為4π×22=16π．20.如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面相互垂直，．（I）求直線與平面所成角的正弦值；（II）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以⊥平面則即為直線與平面所成的角。設(shè)，則，，所以，則直角三角形中，即直線與平面所成角的正弦值為．

………….6分（Ⅱ）假設(shè)存在，令。取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)?，所以。因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(0,1，0)，B(0，-1,0)，C（1，-1,0），D（1,0，0），F(xiàn)（0，）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t取，又所以，所以假設(shè)成立,即存在點(diǎn)滿足時(shí)，有//平面．

………….12分略21.已知條件：實(shí)數(shù)滿足使對(duì)數(shù)有意義；條件：實(shí)數(shù)滿足不等式.（1）若命題為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若命題p是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)由對(duì)數(shù)式有意義得－2t2＋7t－5>0，解得1<t<，又p為假所以，或.(2)∵命題p是命題q的充分不必要條件，∴1<t<是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0解集的真子集．法一：因?yàn)榉匠蘴2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0兩根為1，a＋2，故只需a＋2>，解得a>.即a的取值范圍是.法二：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因f(1)＝0，故只需f<0，解得a>.即a的取值范圍是.22.為了讓學(xué)生了解更多“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)，某中學(xué)舉行了一次“奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽”，共有800名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽。為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分為