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文檔簡介
課時跟蹤檢測(五)命題、定理、定義[A級基礎(chǔ)鞏固]1.以下語句:①{0}∈N;②x2+y2=0;③x2>x;④{x|x2+1=0},其中命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3解析:選B①是命題,且是假命題;②、③不能判斷真假,不是命題;④不是陳述句,不是命題.2.已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題,那么下列命題中真命題的個數(shù)為()①M(fèi)中的元素都不是P的元素;②M中有不屬于P的元素;③M中有屬于P的元素;④M中的元素不都是P的元素.A.1 B.2C.3 D.4解析:選B①③錯誤;②④正確.3.(多選)給出命題“方程x2+ax+1=0有實數(shù)根”,則使該命題為真命題的a的一個值可以是()A.4 B.2C.0 D.-3解析:選ABD方程有實根時,應(yīng)滿足Δ=a2-4≥0.4.下列命題中真命題有()①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②函數(shù)y=2x-1的圖象與x軸有一個交點;③互相包含的兩個集合相等;④空集是任何集合的真子集.A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析:選B①中,當(dāng)m=0時,是一元一次方程;②中,函數(shù)y=2x-1的圖象與x軸有一個交點,②正確;③正確;④中空集不是本身的真子集.5.(多選)下列命題中是假命題的為()A.面積相等的三角形是全等三角形B.若xy=0,則|x|+|y|=0C.若a>b,則a+c>b+cD.矩形的對角線互相垂直解析:選ABDA錯;B中若x=3,y=0,則xy=0,但|x|+|y|≠0,故B錯;C正確;D中矩形的對角線不一定互相垂直.6.下列語句中是命題的有________(填序號),其中是假命題的有________(填序號).①垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?②一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù);③大角所對的邊大于小角所對的邊;④求證方程x2+x+1=0無實根.解析:①疑問句.沒有對垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷,不是命題;②是假命題,0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù);③是假命題,沒有說明在同一個三角形內(nèi);④祈使句,不是命題.答案:②③②③7.(2021·江陰調(diào)研)設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一個大于1”解析:對于①,假設(shè)a≤1,b≤1,則a+b≤2,與已知條件a+b>2矛盾,故假設(shè)不成立,所以a,b中至少有一個大于1,①正確;對于②,若a=-2,b=-3,則a2+b2>2成立,故由②不能推出“a,b中至少有一個大于1.”答案:①8.(1)若x2≠9,則x≠3的等價命題是________________.(2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0無實數(shù)根,則a≤2的否命題是________________.解析:(1)原命題的等價命題就是該命題的逆否命題.若x2≠9,則x≠3的等價命題是:“若x=3,則x2=9”(2)原命題的否命題是否定原命題的條件作為該命題的條件,同時否定原命題的結(jié)論作為該命題的結(jié)論.即“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有實數(shù)根,則a>2”答案:(1)若x=3,則x2=9(2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0有實數(shù)根,則a>29.把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷命題的真假.(1)當(dāng)m>eq\f(1,4)時,mx2-x+1=0無實根;(2)一個整數(shù)的個位數(shù)是0,這個數(shù)一定能被5整除也能被2整除.解:(1)原命題可以改寫成:若m>eq\f(1,4),則mx2-x+1=0無實根.因為Δ=1-4m<0,(2)原命題改寫成:若一個整數(shù)的個位數(shù)是0,則這個數(shù)一定能被5整除,也能被2整除,此命題為真命題.10.已知A:5x-1>a,B:x>1,請選擇適當(dāng)?shù)膶崝?shù)a,使得利用A,B構(gòu)造的命題“若p,則q”為真命題.解:若視A為p,則命題“若p,則q”為“若x>eq\f(1+a,5),則x>1”.由命題為真命題可知eq\f(1+a,5)≥1,解得a≥4;若視B為p,則命題“若p,則q”為“若x>1,則x>eq\f(1+a,5)”.由命題為真命題可知eq\f(1+a,5)≤1,解得a≤4.故a取任一實數(shù)均可利用A,B構(gòu)造出一個真命題,比如這里取a=1,則有真命題“若x>1,則x>eq\f(2,5)”.[B級綜合運(yùn)用]11.(多選)在平面四邊形中,下列命題的逆命題是真命題的是()A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.平行四邊形對角線互相平分D.矩形的對角線相等解析:選ABC選項A為平行四邊形的定義,該命題的原命題、逆命題、否命題、逆否命題都為真;選項B的逆命題為“菱形的對角線互相垂直”,該命題為菱形的性質(zhì)定理,是真命題;選項C的逆命題為“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”即平行四邊形的判定定理,是真命題;選項D的逆命題為“對角線相等的四邊形是矩形”,此命題為假命題(如等腰梯形).12.能夠說明“若a,b,c是實數(shù),a>b>c,則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為________.解析:如a=-1,b=-2,c=-3,滿足a>b>c,但不滿足a+b>c.答案:-1,-2,-3(答案不唯一)13.A,B,C,D,E五名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)單元檢測,在未公布成績前他們對自己的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了猜測.A說:“如果我得優(yōu),那么B也得優(yōu)”;B說:“如果我得優(yōu),那么C也得優(yōu)”;C說:“如果我得優(yōu),那么D也得優(yōu)”;D說:“如果我得優(yōu),那么E也得優(yōu)”.成績揭曉后,發(fā)現(xiàn)他們都沒說錯,但只有三個人得優(yōu).請問:得優(yōu)的是哪三位同學(xué)?解:如果A得優(yōu),可推出B,C,D,E均得優(yōu),這與“只有三人得優(yōu)”相矛盾,從而A不可能得優(yōu);如果B得優(yōu),可推出C,D,E也得優(yōu),這與“只有三人得優(yōu)”相矛盾,從而B也不可能得優(yōu);因此,可以判定C,D,E三人得優(yōu).14.試探究命題“方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解”為真命題時,a,b滿足的條件.解:方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解,要考慮方程為一元一次方程和一元二次方程兩種情況:當(dāng)a=0時,方程ax2+bx+1=0為bx+1=0,只有當(dāng)b≠0時,方程有實數(shù)解x=-eq\f(1,b);當(dāng)a≠0時,方程ax2+bx+1=0為一元二次方程,方程有實數(shù)解的條件為Δ=b2-4a≥綜上知,當(dāng)a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0時方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解.[C級拓展探究]15.已知m∈Z,關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0有整數(shù)解是真命題,x2-4mx+4m2-4m-5=0有整數(shù)解也是真命題,解:由已知得m≠0,方程mx2-4x+4=0有整數(shù)解,則判別式Δ1=16-4m×4≥0,且m≠0,解得m≤1且m≠0.方程x2-4mx+4m2-4m-5=0有整數(shù)解,則判別式Δ2=16m2-4(4m
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