河南省頂尖名校聯盟2022-2023學年高二下學期5月期中聯考數學試題

頂尖名校聯盟2022~2023學年下學期5月聯考高二數學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并收回.4.本卷主要考查內容：高考范圍.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，由特稱命題的否定是全稱命題即可得到結果.【詳解】原命題的否定為.故選:A2.已知復數z滿足:，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先設復數，根據條件，列式求復數，再求模.【詳解】設則，得，所以.故選：B3.集合，，則中的元素個數為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】直接進行交集運算即可求解.【詳解】集合，，，所以中的元素個數為，故選：A.4.若，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據倍角公式，三角函數的基本關系式，化齊次，弦化切即可求解.【詳解】，故選：D5.已知函數為定義在上的奇函數，且當時，則關于的不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，由函數的奇偶性得到時的解析式，分別求解，即可得到結果.【詳解】因為為定義在上的奇函數，當時,，由得，即，解得，當時，，則，則，由得，即，解得，又，所以的解集為.故選：D.6.已知在過去的六年中，某市燃油私家車保有量(萬輛)與新能源私家車保有量(萬輛)隨著年數()變化的線性回歸方程分別為則從今年開始，預計新能源私家車保有量超過燃油私家車保有量需要經歷的年數約為（）A.11 B.12 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】令，解之即可得解.【詳解】令，解得，又，所以，則，所以預計新能源私家車保有量超過燃油私家車保有量需要經歷的年數約為年.故選：B.7.在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件結合圓與圓的位置關系可得點到直線的距離小于等于2，列不等式求的取值范圍.【詳解】圓的圓心的坐標為，半徑為，設直線上的點滿足條件，則以點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，即兩圓相交或相切，所以，所以點到點的距離小于等于，所以點到直線的距離小于等于2，所以解得所以k的取值范圍為，故選：A.8.如圖所示，將一個矩形紙片ABCD切去四個角處的陰影部分，其中四個陰影部分為相互全等的直角梯形，且此直角梯形較長的底邊長為，是直角梯形的一個內角．將剩下的部分沿著虛線折起，恰好拼接成一個無蓋直四棱柱，且直四棱柱的底面PQEH為等腰梯形．已知，，．則此直四棱柱的體積為（）A28 B.32 C.36 D.40【答案】A【解析】【分析】由題意可求得底面梯形的兩底邊長和高進而求得其面積，再求得直四棱柱的高，即可求得體積.【詳解】由圖可知，，，所以，梯形PQEH的高，所以其面積，直四棱柱的高，則直四棱柱體積,故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數據:4，1，6，4，6，6，8，下列說法中正確的是（）A.這組數據的極差為7 B.這組數據的眾數為4C.這組數據的平均數為5 D.這組數據的中位數為6【答案】ACD【解析】【分析】分別求出這組數據的極差，眾數，平均數，中位數，即可判斷每個選項．【詳解】對于A：這組數據的極差為，故A正確；對于B：這組數據的眾數為6，故B錯誤；對于C：這組數據的平均數為：，故C正確；對于D：這組數據按從小到大的順序排列為1，4，4，6，6，6，8，可得這組數據的中位數為6，故D正確；故選：ACD．10.如圖，在正方體ABCDA?B?C?D?中，E為A?D?的中點，F為C?D?的中點，則下列說法中正確的是（）A.EF∥ACB.直線EF與平面BCC?B?所成的角為45°C.異面直線EF和AD?所成的角為45°D.BD?⊥EF【答案】ABD【解析】【分析】根據線線平行傳遞性可判斷A選項，根據線面角得出B選項，根據異面直線所成角判斷C選項，根據線面垂直判斷D選項.【詳解】對于A選項，由EF//A?C?，AC//A?C?，可得EF//AC，可得A選項正確;對于B選項，由平面ADD?A?//平面BCC?B?，D?F⊥平面ADD?A?，直線EF與平面所成的角為∠FED?，，可得B選項正確；對于C選項，由EF//A?C?，AD?//BC?，△A?C?B是等邊三角形，可得異面直線EF

和AD?所成的角為60°,C選項錯誤;對于D選項，由平面BDD?,平面BDD?，,AC⊥平面BDD?，EF//AC，EF⊥平面BDD?,可知D選項正確.故選：ABD.11.已知點P是焦點為F的拋物線上的動點，拋物線C的準線l的方程為.則（）A.B.過點P作準線l的垂線，垂足為H，直線與準線l相交于點D，若為等腰直角三角形，點P位于第一象限，直線PF的傾斜角為銳角，則點P的橫坐標為8C.直線與拋物線C交于另一點E，若，則點P與點E的橫坐標之差為D.過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由求出可判斷A；由為等腰直角三角形，可得直線PF的方程，與拋物線方程聯立，解得可判斷B；設點P、點E的坐標分別為、，直線PF的方程為，與拋物線方程聯立可得，，由，可得，可求出可得可判斷C；設，可求出的最小值，設，根據的范圍可判斷D.【詳解】對于A選項，由可得，故A選項正確；對于B選項，如圖，由為等腰直角三角形，可得，可知直線PF斜率為1，直線PF的方程為，聯立方程，解得，故B選項錯誤；對于C選項，如圖，設點P的坐標為，點E的坐標為，直線PF的方程為，聯立方程，有，可得，有，又由，有，可得，聯立方程，解得，可得，故C選項正確；對于D選項，如圖，設，則12，即的最小值為，設，則，即，所以，故D選項正確.故選：ACD.12.已知函數，下列結論中正確的是（）A.若ω=3，則函數f(x)的最小正周期為B.若，則函數為偶函數C.若，函數在區(qū)間上單調遞增，則ω的取值范圍為D.若存在，使得，則ω的值為2【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據周期函數公式，即可計算，對于B，根據函數奇偶性即可判斷，對于C，根據，得到，即可求解.對于D，根據范圍，求得，即可得ω的值.【詳解】對于A選項，若，則故A選項不正確；對于B選項，若，則，可知函數f(x)為偶函數，故B選項正確；對于C選項，若，若，則，又函數在區(qū)間上單調遞增，所以，解得：.故C錯誤.對于D選項，因為，所以最小正周期所以所以解得，故D選項正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，滿足，，且，則___________【答案】【解析】【分析】由向量的模的坐標表示求，再由數量積的性質和運算律求.【詳解】因為，所以又，，所以故答案為：.14.的展開式中，的系數為________【答案】【解析】【分析】已知式變形為，根據二項式的展開式的通項公式可得答案.【詳解】，展開式通項，展開式中的系數為，展開式中的系數為，則，故答案為：.15.在平面直角坐標系中，已知雙曲線左、右焦點為，點，直線與雙曲線的漸近線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為__________【答案】【解析】【分析】利用條件求出直線的方程，再聯立漸近線方程，得出，再由，得到，進而求出結果.【詳解】因為，，，所以直線的方程為，又雙曲線的漸近線方程為，由，解得，所以，又因為，所以，整理得，所以，即，解得離心率或（舍去），故答案為：.16.已知函數，其中是自然對數的底數，經研究：“在平面直角坐標系中，軸是函數的圖象的漸近線”．若方程有六個互不相等的實數解，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】利用導數研究函數的性質，作出的大致圖象，設，則，設的兩根為，可知，且，列式求解即可.【詳解】，令，解得或，當或時，；當時，，則在和上單調遞減，在上單調遞增，當時，取極小值；當時，取極大值，當或時，.作出的大致圖象，如圖，設，則，設的兩根為，可知，且，有得，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】小問1：證法一：運用余弦定理可證，證法二：利用正弦定理可證；小問2：由余弦定理求得，結合三角形面積公式可求結果．【小問1詳解】（1）證法一：∵，∴，由余弦定理可得．則，，∴．證法二：∵，由正弦定理得，∴，可得，所以由正弦定理可得．【小問2詳解】（2）由余弦定理可得．∴，∴，∵，A為三角形內角，∴，∴．18.如圖，在長方體中，，是的中點，且.（1）求的長;（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先證明，結合條件，根據線面垂直判定定理和性質定理證明，再證明，由相似性質求；（2）建立空間直角坐標系，求直線的方向向量與平面的方向向量，結合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，在長方體中，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，又，，解得所以；【小問2詳解】以D為坐標原點，以為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，所以，取，則，則為平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則19.已知等差數列的前項和為，等差數列的公差為，且.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用當時，，可求得，進而求得數列公差為，再由，解得，從而求得數列和數列的通項公式（2）利用裂項相消法求和即得所求【小問1詳解】由可得，當時，則所以即數列的公差為，又所以，解得，故數列的通項公式為，數列的通頂公式為；【小問2詳解】由（1）可知，，所以.20.有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有2個白球2個紅球，從甲袋中隨機取出一球與乙袋中隨機取出一球進行交換．（1）一次交換后，求乙袋中紅球與白球個數不變的概率；（2）二次交換后，記X為“乙袋中紅球的個數”，求隨機變量X的分布列與數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）分甲乙交換的均是紅球，甲乙交換的均是白球，兩種情況討論即可得解；（2）寫出隨機變量X的所有可能取值，先分別求出一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有1個白球3個紅球，乙袋中有3個白球1個紅球的概率，從而可求得對于隨機變量的概率，寫出分布列，根據期望公式即可求出數學期望.【詳解】解：（1）甲乙交換的均是紅球，則概率為，甲乙交換的均是白球，則概率為，所以乙袋中紅球與白球個數不變的概率為；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球的概率為，乙袋中有1個白球3個紅球的概率為，乙袋中有3個白球1個紅球的概率為，則，，，，，所以隨機變量X的分布列為X01234P所以數學期望.21.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，短軸長為2.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點A，B分別為橢圓C的左、右頂點，點D為橢圓C的下頂點，點P為橢圓C上異于橢圓頂點的動點，直線AP與直線BD相交于點M，直線BP與直線AD相交于點N.證明：直線MN與x軸垂直.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據短軸長和離心率得到，，，得到橢圓方程.（2）確定各點坐標，設點P的坐標為，，計算各直線的方程，得到的橫坐標，作差為0得到證明.【小問1詳解】設橢圓C的焦距為2c，由題意有：，解得，，，故橢圓C的標準方程為.小問2詳解】點A的坐標為，點B的坐標為，點D的坐標為，設點P的坐標為，，有，可得，直線BD的方程為，整理為；直線AD的方程為，整理為；直線AP的方程為；聯立方程，解得，M的橫坐標為，直線BP的方程為，聯立方程，解得：，N的橫坐標為，，故點M和點N的橫坐標相等，可得直線MN與x軸垂直.【點睛】關鍵點睛：本題考查了橢圓方程，橢圓中的位置關系，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將直線與的垂直關系轉化為橫坐標相等是解題的關鍵.22.設函數，其中是自然對數底數，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：