07（2024新題型）-2024年高考數學模擬卷（新題型地區(qū)專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數學模擬卷（新題型地區(qū)專用）黃金卷07（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設，故，故選：A2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式得或，記，因為AB，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A3．已知橢圓：的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，所以，則離心率.故選：B.4．已知向量，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上的投影向量為，故選A5．已知等差數列的前項和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】在等差數列中，，，所以，故構成公差為的等差數列，所以，即，故選C6．在黨的二十大報告中，習近平總書記提出要發(fā)展“高質量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導教育教學工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個地區(qū)指導教育教學工作的安排方法共有：種；每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.7．我圓古代數學家趙爽在注解《周髀算經》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設大正方形的邊長為，則直角三角形的直角邊分別為，因為是直角三角形較小的銳角，所以，可得，則，即，所以，解得或（舍去），所以，故選C.8．已知雙曲線的左焦點為，離心率為e，直線分別與C的左?右兩支交于點M，N.若的面積為，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】D【解析】連接，有對稱性可知：四邊形為平行四邊形，故，，，由面積公式得：，解得：，由雙曲線定義可知：，在三角形中，由余弦定理得：，解得：，所以，解得：，故，當且僅當，即時，等號成立.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．設為復數，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則復平面內對應的點位于第二象限C． D．若，則的最大值為2【答案】ABD【解析】對于A，設，故，則，，故成立，故A正確，對于B，，，顯然復平面內對應的點位于第二象限，故B正確，對于C，易知，，當時，，故C錯誤，對于D，若，則，而，易得當時，最大，此時，故D正確.故選：ABD10．將函數向左平移個單位，得到函數，下列關于的說法正確的是（

）A．關于對稱B．當時，關于對稱C．當時，在上單調遞增D．若在上有三個零點，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】，當時，得，，故選項A正確；當時，，是函數的最小值，所以關于對稱，故選項B正確；當時，，得，所以在上單調遞增，故選項C正確；由，得，由于在上有三個零點，所以，所以，故選項D錯誤.故選：ABC．11．已知函數滿足：①對任意，；②若，則.則（

）A．的值為2 B．C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】對于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對于B，令，結合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對于D，取，則且單調遞增，滿足，但，故D錯誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的常數項為.【答案】40【解析】依題意，的展開式的通項為，令可得.故常數項為.13．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為4、6，高為，則正四棱臺的體積為，外接球的半徑為.【答案】【解析】根據題意易知該棱臺的上、下底面積分別為：，所以正四棱臺的體積為；連接，交于點，連接，交于點，如圖所示：當外接球的球心在線段延長線上，設，外接球半徑為R，則，因為，上、下底面邊長分別為4、6，則，，所以當外接球的球心在線段延長線上，顯然不合題意；當球心在線段之間時，則，同上可得，，不符舍去．14．定義：為實數中較大的數．若，則的最小值為．【答案】【解析】設，則由題意可得，因為，所以①當時，，只需考慮，所以，，所以，可得，當且僅當時取等號；②當時，，只需考慮，所以，可得，當且僅當時取等號.綜上所述，的最小值為2.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（本小題滿分13分）已知函數．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)當時，求函數的最大值．【解】（1）的定義域為，當時，，，當，解得：，當，解得：．在上為增函數；在上為減函數；（2）的定義域為，，當時，令，得，令時，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.16．（本小題滿分15分）如圖，在五面體中，底面為平行四邊形，平面，為等邊三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【解】（1）不妨設，則，在平行四邊形中，，，，連接，由余弦定理得，即，，.又，，，平面，又平面.平面平面.（2）取中點，連接，，，由（1）易知平面，且.如圖，以為原點，分別以射線所在直線為軸，豎直向上為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，得，令，得，設平面的法向量為，則，得，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值.17．（本小題滿分15分）已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機抽取了50個軟籽石榴，按質量（單位：）將它們分成5組：，，，，得到如下頻率分布直方圖.

(1)用樣本估計總體，求該品種石榴的平均質量；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)按分層隨機抽樣，在樣本中，從質量在區(qū)間，，內的石榴中抽取7個石榴進行檢測，再從中抽取3個石榴作進一步檢測.（?。┮阎槿〉?個石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；（ⅱ）記這3個石榴中質量在區(qū)間內的個數為，求的分布列與數學期望.【解】（1）該品種石榴的平均質量為，所以該品種石榴的平均質量為.（2）由題可知，這7個石榴中，質量在，，上的頻率比為，所以抽取質量在，，上的石榴個數分別為2，2，3.（?。┯洝俺槿〉?個石榴不完全來自同一區(qū)間”，“這3個石榴恰好來自不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為.（ⅱ）由題意的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123所以.18．（本小題滿分17分）已知拋物線：，直線，且點在拋物線上．(1)若點在直線上，且四點構成菱形，求直線的方程；(2)若點為拋物線和直線的交點（位于軸下方），點在直線上，且四點構成矩形，求直線的斜率．【解】（1）由題意知，設直線．聯(lián)立得，則，，則的中點在直線上，代入可解得，，滿足直線與拋物線有兩個交點，所以直線的方程為，即．

（2）當直線的斜率為或不存在時，均不滿足題意．由得或（舍去），故．方法一：當直線的斜率存在且不為時，設直線．聯(lián)立得，所以．所以．同理得．由的中點在直線上，得，即．令，則，解得或．當時，直線的斜率；當時，直線的斜率不存在．所以直線的斜率為．方法二：設，線段的中點，則．由，得，即．所以．又，故可轉化為，即．解得或．所以直線的斜率．當時，斜率不存在；當時，斜率．所以直線的斜率為．

19．（本小題滿分17分）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應用．設，，，是直線上互異且非無窮遠的四點，則稱（分式中各項均為有向線段長度，例如）為，，，四點的交比，記為．(1)證明：；(2)若，，，為平面上過定點且互異的四條直線，，為不過點且互異的兩條直線，與，，，的交點分別為，，，，與，，，的交點分別為，，，，證明：；(3)已知第（2）問的逆命題成