2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）在空間直角坐標系。孫z中，點尸（1,3,-2）關(guān)于平面xOz的對稱點的坐標為

（）

A.(-1,3,-2)B.(1,-3,-2)

C.(1,3,2)D.(-1,-3,-2)

XV

2.（5分）在平面直角坐標系xOy中，直線--乙=1在y軸上的截距為（）

26

1

A.-6B.6C.—D.-

6

3.（5分）雙曲線/一＜=1的漸近線方程為（）

11

A.y=±~xB.y=±~xC.y=±2xD.y=±4x

/4J2

4.（5分）“圓”是中國文化的一個重要精神元素,在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代

表性的便是園林中的門洞.如圖，某園林中的圓弧形洞門高為2.5M，底面寬為加，則該

C.1.4mD.1.5m

5.（5分）已知數(shù)列｛劭｝滿足。1=24,即+i=當為偶數(shù)若以=]],貝0％=（）

a九+2,當為奇數(shù)

A.7B.8C.9D.10

6.（5分）如圖，在直三棱柱48C1中，ZBCA=90°,AC=CCi=2fM是

的中點，以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.若則異面直

線CM與A1B所成角的余弦值為（）

7.（5分）對任意數(shù)列｛〃”｝,定義函數(shù)F（x）=ai+〉2x+a3/+…+。肅1（n6N*）是數(shù)列｛劭｝

的“生成函數(shù)”.已知尸（1）=￡則嗚）=（）

8.（5分）在平面直角坐標系尤Oy中，己知拋物線C：/=4y,過點A（0,a）的直線交C

11

于尸，Q兩點，若;771+3京為常數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

|PA|\QA\

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）在平面直角坐標系xOy中，關(guān)于曲線C：x?+y2-2/nx+2y+2租=0的說法

正確的有（）

A.若機=0,則曲線C表示一個圓

B.若機=1,則曲線C表示兩條直線

C.若根=2,則過點（1,1）與曲線C相切的直線有兩條

D.若優(yōu)=2,則直線x+y=0被曲線C截得的弦長等于2魚

（多選）10.（5分）如圖，已知四面體4BC。的所有棱長都等于2,E,F,G分別是4B,

AD,OC的中點，貝|（）

A.AB-AC=2B.GF-AC=2C.BC?EF=1D.GF-EF=0

（多選）11.（5分）在平面直角坐標系無Oy中，已知橢圓C；冬+\=l（a>6>0）的離心

率為白，直線/：x+y+4=0與C沒有公共點，且C上至少有一個點到/的距離為迎，則

C的短軸長可能是（）

A.1B.2C.3D.4

（多選）12.（5分）將1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)填入如圖所示的3X3正方形

網(wǎng)格中，每個小方格中只能填一個數(shù)，每個數(shù)限填一次.考慮網(wǎng)格中每行從左到右、每

列從上到下、兩條對角線從上到下所填的數(shù)各構(gòu)成一個數(shù)列，共計八個數(shù)列，則下列結(jié)

論中正確的有（）

A.這八個數(shù)列有可能均為等差數(shù)列

B.這八個數(shù)列中最多有三個等比數(shù)列

C.若中間一行、中間一列、兩條對角線上的數(shù)列均為等差數(shù)列，則中心小方格中所填的

數(shù)必為5

D.若第一行、第一列上的數(shù)列均為等比數(shù)列，則其余數(shù)列中至多有一個等差數(shù)列

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）在空間直角坐標系。孫z中，已知A（l,-1,0,2）,點C滿足盛=2幾,

則點C的坐標為.

14.（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓0：/+9=1,寫出滿足條件“過點（3,0）

且與圓。相外切”的一個圓的標準方程為.

15.（5分）已知數(shù)列｛.｝的前〃項和為若｛久｝與｛、甌｝均為等差數(shù)列且公差不為0,則

工的值為?

a5

16.（5分）在平面直角坐標系尤Oy中，已知A（-1,-1）,8（1,-1）,C（0,-2）,直

線AM,BM相交于點M,且AM與BM的斜率之差為2,則的最小值

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知四邊形。48c滿足|。4|=|48|=4,ZOAB

=120°,BC±OB,OC//AB.

（1）求直線A8的方程；

18.（12分）在①53=9,55=25；②d=2,且Si,S2,必成等比數(shù)列；③%=3層-2〃這三

個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.

記等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,前"項和為S〃，已知.

（1）求｛劭｝的通項公式;

（2）令bn=」—,求數(shù)列｛加｝的前幾項和7k

anan+l

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面ABCDJ_平面P8C,

PC=BC=2,點E,尸分別為尸。的中點.

（1）求證：2EF=BP+AD^

（2）若命?品=0,求平面陰8與平面外。夾角的正弦值.

4*L*V

--------E~

20.(12分)在平面直角坐標系xOy中，己知點尸(百，0),設(shè)動點尸到直線工=:聲的距離

為d,且|PF|=苧山

(1)記點P的軌跡為曲線C,求C的方程；

(2)若過點P且斜率為左1>0)直線/交C于A,B兩點,問在y軸上是否存在點。，

使得△A3。為正三角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

21.(12分)已知數(shù)列｛斯｝中的各項均為正數(shù)，小=2,點4人1+即，何二)在曲線y=?

上，數(shù)列｛氏｝滿足力=0］廝’"為偶數(shù),記數(shù)列｛加｝的前”項和為品.

l(V2)a"-n,n為奇數(shù)

(1)求｛阮｝的前2w項和S2"；

(2)求滿足不等式S2“Wb2,-1的正整數(shù)”的取值集合.

22.(12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知雙曲線*，=l(a>0,b>0)的

左頂點為A，右焦點為R離心率為2,且經(jīng)過點(4,6),點尸(xo,yo)是雙曲線右支

上一動點，過三點A,P,尸的圓的圓心為C,點P,C分別在x軸的兩側(cè).

(1)求『的標準方程；

(2)求xo的取值范圍；

(3)證明：NACF=3/PCF.

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.(5分)在空間直角坐標系。孫z中，點P(1,3,-2)關(guān)于平面xOz的對稱點的坐標為

()

A.(-1,3,-2)B.(1,-3,-2)

C.(1,3,2)D.(-1,-3,-2)

【解答】解：空間直角坐標系。孫z中，

點P(l,3,-2)關(guān)于平面無Oz的對稱點坐標為P'(1,-3,-2).

故選：B.

XV

2.(5分)在平面直角坐標系xOy中，直線---=1在y軸上的截距為()

26

1

A.-6B.6C.—TD.

6

XV

【解答】解：根據(jù)題意，1中令尤=0得：y=-6,

26

XV

故直線--一=1在y軸上的截距為-6.

26

故選：A.

3.(5分)雙曲線/—4=1的漸近線方程為()

11

A.丁=±不B.y=C.y=±2xD.

【解答】解:因為雙曲線4=1,所以雙曲線4=i的漸近線方程為4=0,

444

即y=±2%.

故選：C.

4.(5分)“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代

表性的便是園林中的門洞.如圖，某園林中的圓弧形洞門高為2.5m，底面寬為1根，則該

門洞的半徑為(

Im

A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m

1251

【解答】解：設(shè)半徑為R,(2.5—R)2+&)2=R2,解得+5R,解得R=1.3.

故選：B.

5.(5分)已知數(shù)列｛即｝滿足。1=24,2冊'當為偶數(shù)若以=1],則％=()

、。九+2，當0fl為奇數(shù)

A.7B.8C.9D.10

r鏟生】秋..假a?，當0n為偶數(shù)

【解答】解：.〃1=24,an+\=,

,CLn+2,當QR為奇數(shù)

?111

??。2=2=12,??。3=2。2=6,??。4=2。3=3,

??〃5=44+2=5,??〃6=公+2=7,??cn—。6+2=9,

48=47+2=11,「?〃9=48+2=13,，Q10=49+2=15,

,**cik=11f**?k=8.

故選：B.

6.(5分)如圖，在直三棱柱ABC-481cl中，ZBCA=90°,AC=CCi=2,M■是A181

的中點，以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.若力;B1C》，則異面直

線CM與A\B所成角的余弦值為（

【解答】解：由題意得，設(shè)CB=f>0,則有C(0,0,0),4(2,0,2),B(0,t,0),

tT—￡

%(0,t,2),M(L2),C1(O,0,2),ArB=(-2,t,-2),QM=(1,0),

—>—>—>—>y.2->—>

由1QM得2/?QM=-2+夕=0=>t=2.CM=(1,1,2),ArB=(-2,2,

TT—

c.//^n/rA^n\CM,AAB-4-

—2)，??COS(CM，ArB)=rpy=o-

\CM\\ArB\46x412J

V2

故異面直線CM與AiB所成角的余弦值為

故選：A.

7.(5分)對任意數(shù)列｛斯｝,定義函數(shù)F(x)=〃1+〃2%+。3/+…+〃肥1(〃€N*)是數(shù)列｛斯｝

的“生成函數(shù)”.已知/(1)=川，則尸弓)=()

、2n+32n+l

A.3--B.4-

2nT

6-當D-6-猾

c.2n-1

nr

【解答】解：因為產(chǎn)(%)=%+g%+。3%2T----Fanx~,且/(1)=〃2,

所以的+。2+。3+…+CLn=層①,

當〃=1可得〃1=1,

當〃22時的+a2x+a3H----Fan_r=(n-1/②，

①-②得為i=n2-(n-I)2=2n-1,顯然當n=l時上式也成立,

所以an=2n~1,

所以F8)=l+3x±+5x8)2+…+(2TL—1)x8)九一1,

則?,15F(-1)=1x1-+3x(1-)22+5x(1-)33+…+(2n-1)x(1-)nn,

123

所以5網(wǎng)鼻1)=1+2x31+2x(-)2+2x(1-)3+…+2x(1-)n1-(2n-1)x(1-)nn

=1+——(2n-1)x(1)n=3-(2n+3)x(1)n,

1—2

所以F8)=6-猾?

故選：D.

8.(5分)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C/=4?過點人(0,a)的直線交C

11

于尸，。兩點，若市薩+石扉為常數(shù)，則實數(shù)〃的值為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：當過點A(0,〃)的直線斜率不存在時，

此時直線與拋物線C/=4y只有1個交點，不合要求，舍去；

當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為>="+〃，

聯(lián)立可得/-4"-4。=0,設(shè)尸(xi,yi),Q(x2,"),

貝!j11+工2=4攵，xix2=-4〃，

\PA\2=就+(yi—a)2=好+k2x1=(1+/c2)%^,

同理可得：\QA\2=(1+fc2)%2?

ii_______i_j_j__i(X]+久2)22%到116fc2+8a

故,(后+)

|PA|2+|QA|2—1+k2x2-1+k222

(Xl%2)1+fc16a2

11

要想為常數(shù)，與左無關(guān),

\PA\2|QA|2

,16/c2+8a、-”，

故rl+H為r定值,所以8。=16,

111

解得°=2,此時正游—,滿足要求.

3|2

故選：B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

(多選)9.(5分)在平面直角坐標系xOy中，關(guān)于曲線C：x?+y2-2/nx+2y+2m=0的說法

正確的有()

A.若加=0,則曲線C表示一個圓

B.若機=1,則曲線C表示兩條直線

C.若m=2,則過點(1,1)與曲線C相切的直線有兩條

D.若m=2,則直線x+y=0被曲線C截得的弦長等于2a

【解答】解：：曲線C：jr+y2-2mx+2y+2m=0,

.?.對A選項，..,當〃2=0,則曲線C：jr+y2+2y—0,即/+(y+1)2=1,

表示圓心為(0,-1),半徑為1的圓，選項正確；

對8選項，?..當機=1,則曲線C：/+/-2x+2y+2=0,即(尤-1)2+(y+1)2=0,

表示點(1,-1),...B選項錯誤；

對C選項，?當相=2,則曲線C：/+;/-4x+2y+4=0,即(x-2)2+(y+1)2—1,

表示圓心為C(2,-1),半徑為1的圓，

V(1-2)2+(1+1)2=5>1,.?.點(1,1)在圓外，

過點（1,1）與曲線C相切的直線有兩條，...C選項正確；

對D選項，?.?圓心C到直線無+y=0的距離d=|2+（-1）|=孝，

Jl2+12

...直線與圓相交所得弦長2=2Vr2-d2=&，二。選項錯誤.

故選：AC.

（多選）10.（5分）如圖，已知四面體ABC。的所有棱長都等于2,E,F,G分別是AB,

AD,OC的中點，貝I（）

A.AB-AC=2B.GF-AC=2C.BC-EF=1D.GF-EF0

【解答】解：由題意得：四面體ABC。為正四面體，

故/BAC=NC8Z)=60°,

故4B-AC=\AB\■\AC\cos600=2x2x1=2,AA正確；

因為E,F,G分別是AB,AD,DC的中點，

11

所以FG〃AC,EF//BD,且FG=*4C=1,EF=^BD=1,

TT—?—>

故GF■AC=\GF\'|XC|cosl80°=-2,錯誤；

:BC?EF=^BC-BD=^\BC\'\BD\cos60°^^x2x2xj=l,；.C正確；

取8。的中點H,連接AH,CH,

因為△AB。，△BC。均為等邊三角形，

所以J.CH±BD,

因為且A//,CHu平面ACH,

所以8Z)_L平面ACH,又ACu平面ACH,

所以BZ）_LAC,所以跖_LBG,

~?—>

故GF-EF=0,。正確.

故選：ACD.

（多選）11.（5分）在平面直角坐標系尤Oy中，已知橢圓C：卷+，=l（a〉b〉0）的離心

率為三，直線/：x+y+4=0與C沒有公共點，且C上至少有一個點到/的距離為VL則

C的短軸長可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:依題意，橢圓C；冬+'=l（a>b>0）的離心率6=也?=1—，=乎,

解得。2=3必，

橢圓。的方程為f+3/=3層，設(shè)橢圓C上的點P（百兒os。，bsinB）,0<0<2n,

直線/：x+y+4=0與C沒有公共點，即方程組1I2無實數(shù)解，

因止匕方程47+24x+48-3廬=。無實根，有A=242-48（16-Z?2）<0,即/<4,解得0

<b<2,

因為C上至少有一個點到/的距離為則有點P到直線I的距離d的最小值不大于企，

d=1回郎0譽譏°+/=@加譏（0+$+2|=V2[bsin（6+J）+2]>V2（2-b）,

當且僅當0+8學(xué)，即8=藉時取等號，

于是得讓（2-b）〈VL從而1W6<2,有2W26<4,顯然選項A,。不滿足，選項8,

C滿足.

故選：BC.

（多選）12.（5分）將1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)填入如圖所示的3X3正方形

網(wǎng)格中，每個小方格中只能填一個數(shù)，每個數(shù)限填一次.考慮網(wǎng)格中每行從左到右、每

列從上到下、兩條對角線從上到下所填的數(shù)各構(gòu)成一個數(shù)列，共計八個數(shù)列，則下列結(jié)

論中正確的有（)

A.這八個數(shù)列有可能均為等差數(shù)列

B.這八個數(shù)列中最多有三個等比數(shù)列

C.若中間一行、中間一列、兩條對角線上的數(shù)列均為等差數(shù)列，則中心小方格中所填的

數(shù)必為5

D.若第一行、第一列上的數(shù)列均為等比數(shù)列，則其余數(shù)列中至多有一個等差數(shù)列

將1,2,3,4,5,6,7,8,9填入網(wǎng)格中,

則這8個數(shù)列均為等差數(shù)列，.?*選項正確;

VI,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)中，成等比數(shù)列的有:

1,2,4；{bn］；2,4,8；4,6,9,

但1,2,4與2,4,8這兩個等比數(shù)列不可能在同一列，同一行，或?qū)蔷€上,

???這8個數(shù)列中最多有3個等比數(shù)列，比如圖2,

若三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則2b=a+c,

根據(jù)題意要有4組數(shù)列成等差數(shù)列，且中間的6相同，則只能是6=5,

V2X5=l+9=2+8=3+7=4+6,

如圖3滿足要求,

□□

□□EJ

□□[ZJ

圖3

；.C選項正確；

若第一行為1,2,4,第一列為1,3,9,滿足第一行，第一列均為等比數(shù)列,

第二行為3,5,7,第二列為2,5,8,

則第二行和第二列均為等差數(shù)列，此時有兩個等差數(shù)列，選項錯誤，

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(l,1,0),8(-1,0,2),點C滿足力C=2AB,

則點C的坐標為(-3,-1,4).

—>—>

【解答】解：設(shè)C(x,y,z),則2C=(x—l,y-1,z),AB=(-2,-1,2),

—>—>

因為AC=2AB,

x—1=-4x=—3

所以(％-l,y-l,z)=2(-2,-1,2)—(-4,-2,4),即y—1=—2,得y=-

z=4z=4

所以點。的坐標為（-3,-1,4）.

故答案為：（-3,-1,4）.

14.（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓。：/+/=1,寫出滿足條件”過點（3,0）

且與圓。相外切”的一個圓的標準方程為（尤-2）2+y2=l（答案不唯一）.

【解答】解：設(shè)滿足條件的圓的標準方程為（尤-。）2+（y-b）2=J（r>0）,則有

(3-a)2+(0-b)2=r2a2—6a+9+b2—r2

兩式相減化簡得r=3a-5.

a2+b2=(r+I)2a2+b2=r2+2r+1'

不妨取。=2,則r=l,b=0,故滿足條件的圓的標準方程為（尤-2）2+y2=i.

故答案為：（尤-2）2+尸=1（答案不唯一）.

15.（5分）已知數(shù)列｛外｝的前"項和為曲，若｛斯｝與｛、國｝均為等差數(shù)列且公差不為0,則

消勺值為二

【解答】解：設(shè)數(shù)列｛即｝的公差為d,則劭=〃1+(〃-1)d,Jnan=y]nar+n(n-l)d,

因為數(shù)歹U｛河力是等差數(shù)列，則有2，^=何+/^,即2,2%+2d=風+

J3al+6d,

2

化簡整理得：al—2atd+d=0,解得〃i=d,顯然d>0,Qn=nd與yJnan=4均為

等差數(shù)列，Sn-"("寸即)=^dn(n+1),則&==2,

乙乙。55a

所以也的值為2.

。5

故答案為：2.

16.(5分)在平面直角坐標系xOy中，已知A(-1,-1),B(1,-1),C(0,-2),直

V7

線AM,相交于點且AM與5M的斜率之差為2,則IMCI的最小值為二.

2

【解答】解：設(shè)M(%,y)(%W土1),則^BM=x-lf

?,y+iy+i廣0

所以...-----=2,即y=-x2,

x+1x-1

即動點M的軌跡方程為y=-/,(%W±1),

所以|MC|=+(y+2)2=yj-y+(y+2)2=J(y+1)2+

所以當y=-怖時|MC1mm=今

V7

故答案為：一.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC滿足|OA|=|AB|=4,ZOAB

=120°,BCLOB,OC//AB.

(1)求直線AB的方程;

(2)求點C的坐標.

【解答】解：(1)由圖知/。48=120°,則直線AB的傾斜角為60°,直線A8的斜率

kAB=b，點A(4,0),

所以直線AB的方程為y=V3(x—4),即百萬—y—4V3=0.

(2)因為OC〃4B,則直線OC的方程為y=V3x,而|OA|=|A8|=4,則直線OB的傾斜

角為30°,斜率6=亭，

直線03的方程為y=亨%，由],—3x解得％=6,y=2b，即點8(6,2V5),

又則有直線3c斜率砧；=-百，因此直線BC的方程為y-2百=-V3(x-6),

即y——V3%+8v5,

由｛:二篇"8小解得]：：忖即點皿G

所以點C的坐標是(4,4V3).

18.(12分)在①S3=9,S5=25；②d=2,且Si,S2,必成等比數(shù)列；③％=3后-2〃這三

個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.

記等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,前〃項和為的，已知.

(1)求｛劭｝的通項公式；

(2)令阮求數(shù)列｛為｝的前〃項和7k

anan+l

【解答】解：(1)若選條件①53=9,出=25,

貝嘿煞霽廠、解得傷i=J，

+10a=25Id=2

??Cln--2H-1;

若選條件②d=2,且Si,S2,S4成等比數(shù)列，

則廢=S「S4，?,?(2%+2)2=的?(4的+12),解得m=l,

??2〃-1；

若選條件③際=3川-2n,

當n=\時，m=Si=l；

22

當時，an=Sn-Sn_1=(3n—2n)—[3(n—l)—2(n-1)]=6n—5.

又〃1=1滿足上式，

?*cin~~6n—5.

(2)若選條件①②，

,

由（1）知,=（2n-i）（2n+l）=2n=l-2n+l

?萬_〃1、，/1、，,/11、i12n

F=（1-W）+（@一目+…+（^=I一=1-2^+1=2^+1;

，數(shù)列｛M｝的前〃項和取=扁:；

若選條件③，由（1）知6n=（6n-5X6n+l）=I（總白一瓦%）'

F=京1—》+（>否+”?+（上—焉）］巖（1—焉）=磊，

，數(shù)列｛加｝的前n項和〃=嘉廣

19.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為正方形，平面A2Cr>_L平面P2C,

PC=BC=2,點E,尸分別為AB,尸。的中點.

（1）求證：2EFo=BP+AD；

~?—>

（2）若PC-DE=O,求平面陰8與平面抬。夾角的正弦值.

【解答】解：（1）證明：尸分別為A8,尸。的中點,

—>—>—>T—>—>

：.BE+AE=0,FP+FD=0,

：.BP+AD=BE+EF+FP+AE+EF+FD=BE+AE+2EF+FP+FD=2EF,

：.2EF=BP+AD；

—>—>

(2)\'PC-DE=0,：.PC±DE,

又平面A8C￡)_L平面PBC,平面ABC￡)n平面尸BC=BC,DC±BC,DCc?ABCD,

，DC_L平面PBC,又尸Cu平面PBC,

J.DCLPC,又DCCDE=D,DC,DEu平面ABC。,

，PC_L平面ABC。，又BCu平面ABC。，

：.PC±BC,

分別以C8,CD,CP所在直線為無，y,z軸，建系如圖，則根據(jù)題意可得:

A(2,2,0),B(2,0,0),F(0,1,1),P(0,0,2),D(0,2,0),

：.BA=(0,2,0),FA=(2,L-1),DA=(2,0,0),

設(shè)平面FAB的法向量為幾=（%>Zi）,

(T7

n-BA=2yl=0口/八

則-t,取幾=(1,0,2),

n-FA=2%i+%—Z]=0

設(shè)平面的法向量為就=（%2,丫2,Z2）,

->T

m-DA=2x=03-x〃、

則tt?2，取m=(0,1,1),

m-FA=2X2+y2—z2=0

設(shè)平面FAB與平面PAD的夾角為0,

則cos。=\cos(m,n)|=魯魯=廳j后=孚

.".sind=V1—cos26=

V15

平面FAB與平面PAD夾角的正弦值為

20.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點F（百，0）,設(shè)動點P到直線x=的距離

為d,且|PF|=*d.

（1）記點P的軌跡為曲線C,求C的方程;

（2）若過點尸且斜率為左（左>0）直線/交C于A,2兩點，問在y軸上是否存在點

使得△A8Q為正三角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【解答】解：⑴設(shè)點尸（無，＞）,：四|=梟,

4

：.l(x-V3)2+y2X

-3-V3I

化簡可得一+4/=4,

光2

?'-C的方程為丁+y?=1；

4

(2)設(shè)直線Z；y=/c(x-V3)(fc>0),4(%%),B(如%)，線段A3的中點為M,

(Q+丫2=1

聯(lián)立《4十y'，可得(1+軌2)%2一8次卜2%+12卜2一4=0,

(y=fc(x-A/3),

.工_875k2_12k2—4

??11+%2=-----7，%i%?=--------T-?易得△>0,

l+4/cZl+4r

,2

._%i+%2_4nk二k(x—V3)=----"k,

,,=2-M

1+4戶i+4r

即M(包吟_73k

1+4后)’

1+4/

若△A3。為等邊三角形，則為線段A5的中垂線，

即的直線方程為y+上勺=一（%—生嗎），???。（0,史當）,

1+加k1+加l+4/c2

4V3|fc|Jfc^+l

又=V1+k2\x-x\=\MD\=7

r2襦-31+4/c

4何刈迎2+1

?」??由“|J耳3明，一可口得陋4（1+/）

l+4Zc2

36k9

解得左2=1,學(xué)，此時

:.k=l+4/c2―7’

...存在點。（0,電，使得△A3。為等邊三角形.

21.（12分）已知數(shù)列｛即｝中的各項均為正數(shù)，刈=2,點41cL+即，河二）在曲線y=￡

上，數(shù)列｛加｝滿足力=0］廝’”為偶數(shù),記數(shù)列｛加｝的前〃項和為品.

l（V2）a"-n,n為奇數(shù)

（1）求｛阮｝的前2w項和S2〃；

（2）求滿足不等式S2nWb2n八的正整數(shù)”的取值集合.

【解答】解：（1）根據(jù)題意可得再；=風釘,

??Un+1-Cln=l9又41=2,

???數(shù)列｛斯｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，

—n,n=2k

??Cln~〃+1,bn—kGN*,

(V2)n+1—n,n=2k—1

S2n=b\+歷+83+…+歷展1+b2n=(bl+/?3+…+歷展1)+(歷+/?4