高考數(shù)學(xué)（新高考版）一輪復(fù)習(xí)教師用書 第二章 第四講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第四講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

”多選題］下列說法正確的為()

A.'Va"=(Va)n=a(n￡N)

B.函數(shù)y=32，與y=2"n都不是指數(shù)函數(shù)

C.若am<an(a>O,S.。片1),則m<n

D.指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(0,1)

2.［2020貴陽市高三測試］設(shè)。=0.6。3力=0.3。6￡=0.3。3,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cQ.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.［2019北京高考］設(shè)函數(shù)〃x)=e，+oe\a為常數(shù)).若〃x)為奇函數(shù)，則a=港f(x)是R

上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

4.［2015山東高考］已知函數(shù)/3)=。'+6(。>0,"1)的定義域和值域都是［1,0］,則a+b=.

5.［2015福建高考］若函數(shù)〃x)=2WW(aGR)滿足〃l+x)=f(lx),且〃x)在［m,+8)上單調(diào)遞增,

則實(shí)數(shù)m的最小值等于.

考法1指數(shù)幕的運(yùn)算

O21LLL

(1)(31)-3+(0.002)'210x(V52)屮(夜一遅)。；

Ja3b2y/a^

(2)\!-Ti(o>0,b>0)；

(a4b2)4。3応

33

(3)若博+廣，=3,求答言的值.

'x4+x仁2

解析〉⑴原式=(1)4x(3；)-5+(-1-)4-+1=(^)4+500i10x(V5+2)+1=^+1075

o5UUVb-Zov

10V520+1=—.

9

121

⑵原式=至立響=*京+露i+i《=abi.

ab2a3^3

11

⑶由鬼+盧=3,兩邊平方，得x+xi=7,

：.x2+x2=47..??X2+X22=45.

113113

由(茬+￡5)3=33,得妙4-3x24-3x-2+x-2=27.

3333

.*.X2+X-2=18,.*.X2+X_23=15.

,茲+%Z3_1

考法2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

示例員

(2)若曲線|y|=2*+l與直線y=b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是.

⑴由y=kx+a的圖象宼k,a的取值范同玲后二的圖象|______________

(2)|函數(shù)y=2，+l福闌J作關(guān)于x軸對稱的圖形冃/|=2*+1即為上述曲線口腕察與y=b相交情況圖求b的取值范國

解析>(1)由函數(shù)y=kx+a的圖象可得k<O,O<a<l.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1,所

以k>1,所以l<k<0.函數(shù)片a'+k的圖象可以看成把片爐的圖象向右平移k個(gè)單位長度得

到的,且函數(shù)片a*是減函數(shù)，故此函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1,結(jié)合所給的選項(xiàng)，選

產(chǎn)一2'-1

⑵曲線|y|=2"+l與直線y=b的圖象如圖243所示，由圖象可得:如果曲線|y|=2*+l與直線

片b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是be[1,1].

5拓展變式乜.⑴若將示例2⑵中"曲線|y|=2，+l與直線y=b沒有公共點(diǎn)"改為"曲線片|2、1|

與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn)"，則b的取值范圍為.

⑵若將示例2⑵改為:函數(shù)片|2、1|在(8月上單調(diào)遞減，則k的取值范圍是.

(3)若將示例2(2)改為:直線y=2a與函數(shù)y=|a'l|(a>0且awl)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取

值范圍是.

考法3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

命題角度1比較大小

421

[2016全國卷HI]已知0=23力=4§,C=253,則

A.fa<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

412111

解析〉因?yàn)閍=2i=165力=4W=16m,c=255,且黑函數(shù)片心在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y=16，在R上

單調(diào)遞增，所以b<a<c.

答案〉A(chǔ)

S拓展變式之,已知￡7,66(0,1)“1,+8),當(dāng)乂>0時(shí),1<火。*,則

A.0<b<a<1B.0<a<b<1

C.l<b<a0.1<a<b

命題角度2指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題

示例如⑴［2017北京高考］已知函數(shù)〃x)=3，(乎，則〃x))

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

(2)若不等式1+2*+4乂。>0在xe(8』時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解析〉⑴因?yàn)椤▁)=3*(3,且定義域?yàn)镽,所以/(x)=3*(§*=?)*3"=［3X針］=/(x),

即函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

又片3、在R上是增函數(shù)片()在R上是減函數(shù)，所以f(x)=y()在R上是增函數(shù).故選A.

⑵從已知不等式中分離出實(shí)數(shù)q得a>［(?+(?］.

因?yàn)槠?力看會均為減函數(shù)，

所以片［(；),+(扔為增函數(shù).

42

所以當(dāng)碎1時(shí)，［(*?氷!

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(；,+8).

目拓展變式？3/2019湖南五市十校聯(lián)考］若〃x)=e'ae'為奇函數(shù),則滿足〃x1)弓e?的

x的取值范圍是()

A.(2,+8)B.(1,+8)C.(2,+8)D.(3,+8)

命題角度3與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題

示例

⑴若a=1,則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為：

⑵若/(x)有最大值3,則a的值為；

⑶若/(x)的值域是(0,+8),則。的值為.

解析〉⑴當(dāng)a=1時(shí),f(x)=?嚴(yán)心+3,

令u=x24x+3=(X+2)2+7,

則該函數(shù)在(8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減.而片(乎在R上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(刈在(8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(8,2).

⑵令h(x)-ax24x+3,則/(x)=(9叫

因?yàn)?(x)有最大值3,所以h(x)有最小值1,

(a>0,

因此必有工=解得。=1,即當(dāng)/(x)有最大值3時(shí),a的值為1.

(3)令g(x)=ax24x+3,由/(x)的值域是(0,+8)知,g(x)=ax24x+3的值域?yàn)镽,則必有a=0.

s拓展變式44.［改編題］已知函數(shù)〃刈=2向ml(m為常數(shù)).若〃X)在［2,+8)上單調(diào)遞增，則m的

取值范圍是.

易錯忽略對底數(shù)a的分類討論而出錯

示例6已知函數(shù)y=a2x+2ax1(。>0,且axl),當(dāng)x>0時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?

錯因分析隔忽略對底數(shù)a的分類討論而出錯.⑴當(dāng)a>l時(shí)，如果x溝那么⑵當(dāng)0<a<l時(shí),

如果松0,那么0<ax<l.

解析》y=a"+2ax1,令t=ax,

則y=g(t)=t2+2tl=(t+l)22.

當(dāng)a>l時(shí),；x20,電1,當(dāng)o>l時(shí),yN2.

當(dāng)0<a<l時(shí),：x>O,.,.O<t<l.

Vg(0)=l,g⑴=2,.?.當(dāng)0<a<1時(shí),l<y<2.

綜上所述，當(dāng)a>l時(shí),函數(shù)的值域是［2,+河；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)的值域是(1,2］,

1.BD根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知AC錯誤,BD正確，故選BD.

2.C指數(shù)函數(shù)y=0.3，在R上單調(diào)遞減，所以。3。6<0.3。汽即b<c.基函數(shù)尸戶在。+8)上單調(diào)

遞增，所以0.3。3<0.6叱即c<a.綜上可知力<c<a故選C.

3.1(8,0］:/(x)為奇函數(shù)，.??/(x)=/(x),即ex+aex=exaex,/.(l+a)e

x+(l+a)ex=0,a=1.

?；/(x)單調(diào)遞增，，/1(x)=exaex=^>0,/.。20,，。工。,故Q的取值范圍是(00,0］.

4.1①當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)/(刈在［1,0］上單調(diào)遞減，

由題意可得勿界)即療+?=?解得卜=也此時(shí)a+b=

1/(0)=-1,la。+b=-1,(b=-2,2

②當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)〃刈在［1,0］上單調(diào)遞增，

由題意可得￡僅)二0：'即｛：：：；二o：'顯然無解、

所以a+b=|.

5.1因?yàn)?(l+x)=/(lx),所以函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以a=l,所以函數(shù)〃x)=2l*

11的圖象如圖D241所示，因?yàn)楹瘮?shù)〃x)在［m,+8)上單調(diào)遞增，所以所以實(shí)數(shù)m的最

小值為1.

圖D241

1.⑴(0,1)曲線y=|2*1|與直線y=b的圖象如圖D242所示，由圖象可得，如果曲線y=|2*

1|與直線片b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,1).

圖D242

(2)(oo.o］因?yàn)楹瘮?shù)片|2、1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(8Q］,所以的0,即k的取值范圍為

(8,0］.

⑶(0$y=\ax1|的圖象是由y=a,先向下平移1個(gè)單位長度，再將x軸下方的圖象沿x軸翻

折過來得到的.

當(dāng)a>l時(shí),兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，如圖D243(1)；當(dāng)0<a<l時(shí)，要使兩個(gè)圖象有兩

個(gè)公共點(diǎn)，則0<2a<l,得到0<a4,如圖D