2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

I.過點(diǎn)(L-2),且焦點(diǎn)在)，軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【正確答案】χ2=-y

【分析】設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】設(shè)方程為“2=M"0),則有仔=〃.(_2),解得〃=-；，即有/=

所以過點(diǎn)(1,-2)且焦點(diǎn)在)，軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=-；)..

故*2=一9

2.已知直線〃優(yōu)+2y-l=0與x+(l+m)y+2=0平行，則實(shí)數(shù)外的值為.

【正確答案】-2或1

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€，nx+2y-1=0與x+(l+m)y+2=0平行，

∕n(∕n÷l)=2×1

1=>"7=-2或m=1,

m≠——

(2

故-2或1

22

3.設(shè)兩圓G：x+y-l=O?HC2:/+y2-2χ+4y=()的公共弦所在的直線方程為

【正確答案】2x-4y-l=0

【分析】利用兩圓的方程相減即可求解.

【詳解】因?yàn)閳AC：/+丫2_[=0①，圓c?：f+y2-2χ+4y=0②，

由①-②得，2x-4y-l=0,

所以兩圓的公共弦所在的直線方程為2x-4y-1=0.

故答案為?2x-4y-l=0

4.若A為橢圓《+$=1上的點(diǎn)，耳鳥為橢圓的左右焦點(diǎn)，則AAfJK的周長

259

【正確答案】18

【分析】由橢圓的定義可知K周長為∣AΛ∣+∣A周+忻閭=2α+2c,進(jìn)而得解.

22

【詳解】橢圓二+匕=1中，a=5,h=3,c=4,

259

由橢圓的定義可知8周長為IMI+卜用+忻用=2a+2c,

AK居的周長為勿+2c=10+8=18,

故18.

5.己知雙曲線J-V=](“>])的兩條漸近線的夾角為?，則雙曲線的實(shí)軸長為一.

【正確答案】26

【分析】根據(jù)已知條件求得。，由此求得實(shí)軸長.

【詳解】由于“>1,雙曲線的漸近線方程為y=±Lχ,L<l,

aa

π

所以雙曲線的漸近線與X軸夾角小于￡,

由L=tan工=得α=G,實(shí)軸長2。=26.

a63

故2√5

6.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)A(-l,3),且與圓U(x-l)2+y2=4相切，則直線/的方程為.

【正確答案】尸-1或5x+12y-31=0

【分析】分類討論直線/斜率存在與否兩種情況，利用直線與圓相切有d=r,進(jìn)行檢驗(yàn)或列

出關(guān)于左的方程，從而得解.

【詳解】由題意知圓C的圓心為C(LO),半徑為r=2,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/為x=-l,顯然圓心C(LO)到直線/的距離為d=2,

所以d=r,故直線/與圓C相切，滿足題意；

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/斜率為左,貝U直線/為V-3=Mx+l),即h-y+A+3=(),

因?yàn)橹本€/與圓C相切，所以〃=「，即LTTTrI=2,解得％=-亍，

√Jt2+l212

所以直線/為y-3=-^(x+l),即5x+12y-31=。；

綜上：直線/的方程為x=7或5x+12y-31=0.

故戶-1或5x+12y-31=0.

7.若圓O:/+y2=/上有且只有兩點(diǎn)到直線/：3x+4y-20=0的距離為2,則圓的半徑，?的

取值范圍是.

【正確答案】(2,6)

【分析】先求出圓心到直線的距離，利用到直線L3x+4y-20=0的距離為2可以

得出兩條平行直線，判斷該兩條直線與圓的位置關(guān)系，從而得出半徑廠的范圍

|一20|

【詳解】圓心。的坐標(biāo)為(0,0),到直線/:3x+4y-20=0的距離為,l?'?=4而與

√32+42

直線/距離為2的點(diǎn)的軌跡是與/平行且與/距離為2的兩條平行直線，如圖虛線乙，*

而根據(jù)題意知直線4與圓有兩個不同的交點(diǎn)，直線4與圓沒有公共點(diǎn)，所以圓的半

徑"的取值范圍為2<r<6,

8.著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為

軌道定律，即所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.記

地球繞太陽運(yùn)動的軌道為橢圓C,在地球繞太陽運(yùn)動的過程中，若地球軌道與太陽中心的最

遠(yuǎn)距離與最近距離之比為2,則C的離心率為

【正確答案】?

∩4-C

【分析】設(shè)橢圓C的焦距為2c,實(shí)軸長為2”,進(jìn)而得竺^=2,再根據(jù)離心率公式計(jì)算即

a-c

可.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓C的焦距為2c,實(shí)軸長為2α,

所以地球軌道與太陽中心的最遠(yuǎn)距離為α+c,最近距離為a-C,

所以'=2,即。=3c,e=-=^~

a-ca3

故C的離心率為:

嗎

9.若直線/過拋物線V=2x的焦點(diǎn)，交拋物線于M,N兩點(diǎn)，則向+血=一.

【正確答案】2

【分析】設(shè)M(XQJ,N(X2,%),根據(jù)拋物線的焦半徑公式求的IFM,IFNI,聯(lián)立方程，利

用韋達(dá)定理求出%+%，E化簡整理即可得解.

【詳解】解：易知焦點(diǎn)尸(；，())，準(zhǔn)線方程為x=-；,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí).，直線方程為X=I,

2

此時(shí)IFMI=L+工=1,IFNl=I+'=1,

2222

所以j?+向=2,

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)尸(J,o)的直線方程為y=

代入拋物線方程得z[x-gj=2x,

化簡后為“2χ2-(二+2卜+；父=O,

設(shè)M(h,y∣),N(x2,y2),

r+21

xx

則有X1+X2=.2，i2=~，

IFMI=X1+?,IFNl=X2+g,

1I1―_+「+1

λ1fm1河飛+小可，

11C

幺宗

考上F1I-F---M-T+lF1--N--lT=2,

故2.

10.已知點(diǎn)P在拋物線V=4x(0≤x≤6)上，P到/∕x-y+2=0的距離是4,P到4：x=6的

距離是d2,則4-4的最小值為.

【正確答案】-7+—

2

【分析】設(shè)P(f,%),利用點(diǎn)到直線的距離公式求出4和4,得到4-4關(guān)于%的函數(shù)解

析式，利用二次函數(shù)知識可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)因?yàn)?≤x≤6,所以—4%≤,

d_d=(%-2)2+46Iy-：-4%+8-24及+國

'24√244√2

(l+√2)^-4y0+8-24√2

二4√2'

對稱軸為%=~2(1^∕2)=2(應(yīng)-D€[-2√6,2√6],

所以當(dāng)為=2(夜-1)時(shí)，4-4取得最小值-7+乎.

故答案為.-7+述

2

11.若實(shí)數(shù)滿足χ∣X+y∣y∣=1,則點(diǎn)(χ,y)到直線χ+y+2=o的距離的取值范圍是.

【正確答案】(夜,1+0]

【分析】分段討論去絕對值判斷出XN+y∣y∣=ι表示的圖形，可得出XIXl+y∣y∣=ι表示的圖

形在y=τ和x+y-JΣ=O之間，利用平行線間距離公式即可求出.

【詳解】實(shí)數(shù)χ,y滿足XN+y∣y∣=ι,

當(dāng)x≥0,yZ0時(shí)，方程為V+尸=1,表示一段圓弧,

當(dāng)X≥0,y<0時(shí)，方程為V-:/=],表示雙曲線的一部分,

當(dāng)x<O,y≥O時(shí)，方程為>2—/=],表示雙曲線的一部分,

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，方程為V+y2=τ,不表示任何圖形，

畫出Xw+MV=ι表示的圖形,

可知雙曲線的一條漸近線為y=τ,和x+y+2=0平行,

設(shè)和x+y+2=0平行且和圓/+V=I在第一象限相切的直線為χ+y+α=o,

則由點(diǎn)到直線的距離可得也=1,解得α=&或a=-夜(舍去)

可得XlM+y∣y∣=ι表示的圖形在y=r和χ+y-√∑=0之間,

則V=-X和x+y+2=O的距離為鬢=夜，

x+y-?∣2=0和x+y+2=O的距離為I1_!■=1+y[2，

則結(jié)合圖形可得點(diǎn)(χ,y)到直線χ+y+l=O的距離的取值范圍是(技1+&].

故答案為?(√5,ι+√5]

12.如圖，耳、工是橢圓G與雙曲線G的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、g在第二、四象限

的交點(diǎn)，若CoSN4耳8=-；,則G與G的離心率之積的最小值為.

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義和對稱性，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理、基本不等式

進(jìn)行求解即可.

?)2

【詳解】設(shè)橢圓方程為:■+馬=l(a>6>0),/-從=。2,

ab

r22

雙曲線方程為-T——γ=l(w,n>O),m2+n2=c2,

mn

如下圖，連接AK,63,所以4耳3居為平行四邊形，

由CoSZAFtB=-；得CoSNf；AF；=；,SinNKA瑪=半

設(shè)閨λ∣=s,∣A用=r,

在橢圓中，由定義可知：s+r=2a,

由余弦定理可知:

4c2=s2+t2-2st×-^>4c2=s2+t2--st=(s+t]2--st=i>st=-b2,

33''32

C_1f2√2-√2.2

海S232

在雙曲線中，由定義可知中：：t-s=2m,

由余弦定理可知：

4C2=S2+t2-2st×-=>4c2=s2+t2--st=(t-s]2+-st≡>st=3n2,

33v73

S-?20歷2

s=St

.F,AF22?~7=。2〃，

所以SFAF~-~?2—?∣2n2=>?2=2772,

外人小2

/-c2=2(c?2-∕√)n竺+<=3≥20要，當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)取等號,

?JC-C-C

所以2≥延，

ma3

所以G與C2的離心率之積的最小值為絲.

3

故半

二、單選題

13."A=CHO且8=0”是“A√+Bxy+Cy2+Qx+Ey+F=0表示圓的方程”的()條件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【正確答案】B

【分析】根據(jù)圓的一般方程的形式，求得方程表示圓的條件，再根據(jù)充分條件、必要條件的

判定方法，即可求解.

【詳解】由方程Ar'+BAy+c∕+Qχ+Ey+JF=O表示圓時(shí)，滿足A=C≠0,8=0且

Z)2+E2-4AF>0>

所以“A=Cro且8=O”是“Ax?+Bxy+Cy?+Qx+/+F=O表示圓的方程”的必要不充分

條件.

故選B.

本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，以及圓的一般方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.直線y=2x+l關(guān)于直線y=χ對稱的直線方程為()

A.x—3y+l=0B.x-3y-l=0C.x-2y-l=0D.x—2y+l=()

【正確答案】C

【分析】先聯(lián)立方程得(τ,τ),再求得直線y=2χ+ι的點(diǎn)(0,1)關(guān)于直線y=x對

[y=x

稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(diǎn)(-1,-1),(1,0),進(jìn)而得直線方程.

【詳解】解：聯(lián)立方程”得(-1,-1),即直線y=2χ+ι與直線y=x的交點(diǎn)為(τ,τ)

設(shè)直線y=2χ+1的點(diǎn)((U)關(guān)于直線y=X對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(χ0,%),

%.>0+1

2-2

所以｛1,解得XO=I，%=。

Azl=-I

,?

所以直線y=2x+?關(guān)于直線y=X對稱的直線過點(diǎn)(-1,-1),(1,0)

所以所求直線方程的斜率為

所以所求直線的方程為>=；(X-1),即x-2y-l=0

故選：C

TTγ~

15.已知o<e<z，則雙曲線G：備方)=1與C,入________-_____)

sin2θ2sin20sin20tan2θ

A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

【正確答案】D

【分析】由雙曲線方程求得G，Cz對應(yīng)的。力，C,進(jìn)而判斷選項(xiàng)是否正確.

_TL=I與C:Y/

【詳解】因?yàn)殡p曲線G：二一

COS20sin2θ2sin2θsin20tan2θ

222222

所以=Cos0,?1=sinΘ,a}=sinθ,b}=sin0?tanΘ,

Tr

因?yàn)?＜夕＜一,所以％=Cos4=sin6,/=Sine,偽=Sine?tan6,

4

所以qH=”2，所以選項(xiàng)A,B錯誤;

因?yàn)閏；=W+彳=LC；=a；+b；=sin2^(1+tan2=tan2θ,

所以G=1，。2=tan6,C]Wc?，所以選項(xiàng)C錯誤；

c11c7tanθ1。

因?yàn)?=—=-τ^2=-=-^~τ=—^e∣=/,所以選項(xiàng)D正確.

aλCOSea2Slnecos。

故選：D.

16.定義曲線「：±+!=1為橢圓C：4+4=l(α>10)的“倒曲線”，給出以下三個結(jié)論:

Xyah-

①曲線「有對稱軸，②曲線r有對稱中心，③曲線「與橢圓C有公共點(diǎn).其中正確的結(jié)論個

數(shù)為()

A.OB.1C.2D.3

【正確答案】C

2,2

【分析】曲線「￡+F=I上取點(diǎn)(x,y),利用點(diǎn)的坐標(biāo)證得對稱性，從而判斷出①②，

利用X的范圍可以判斷出③，從而得出結(jié)論.

【詳解】曲線「：$+*=1上取點(diǎn)(χ,y),則該點(diǎn)關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)(χ,-y)也在曲線「，

故曲線「關(guān)于X軸對稱，同理可證曲線「關(guān)于y軸對稱，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)(-X,-y)也

212

在曲線r,故曲線r關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①②正確；曲線r：?+?=∣,則N>。，而橢圓c：

22

?+4=l(a>?>0)Φ,W≤α,故曲線「與橢圓C無公共點(diǎn)，③錯誤；綜上，正確的有2

故選：C.

三、解答題

17.已知直線4：2x-y-l=。和4：x-y+2=0的交點(diǎn)為P.

(1)求直線4與4的夾角的大??；

(2)若直線/過點(diǎn)P,且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為32,求直線/的方程.

【正確答案】(l)0=arccos主叵

10

⑵25x+9y-120=0或x+y-8=0

【分析】(1)利用直線的方向向量求解即可；

(2)求點(diǎn)P坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，求出在坐標(biāo)軸上的截距，然后由面積公式可得.

【詳解】(1)取直線4：2x-y-l=O和4：x-y+2=0的方向向量分別為

a=(-1,-2)力=(-1,-1),記直線《與4的夾角為凡

(-1)×(-1)+(-2)×(-1)3√10

?/(-1)2+(-2)2×-^∕(-1)2+(-1)^"?

因?yàn)閑∈，所以。=arccos:------

10

x=3

(2)由,即P(3,5)

y=5

由題可知，直線/的斜率存在且小于0,設(shè)斜率為3則直線方程為y-5=-x-3)

令X=O得y=5-3%,令y=0得χ=3-2,

1525

則有二(5—34)(3—；)=32,整理得9/+34攵+25=0,解得』與或3,T

所以直線/的方程為y-5=-3(x-3)或y-5=-(x-3)

即25》+9丫-120=0或*+丫-8=0

18.已知直線/:(2，〃+l)x+(/M+l)y=7，，+4,橢圓c：±*+工=1.

2516

(1)證明：直線/與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)；

(2)已知點(diǎn)A(l,()),若尸是橢圓C上任意一點(diǎn)，求IPAl的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見詳解

⑵呼,6]

【分析】(1)先求直線/所過定點(diǎn)，然后由定點(diǎn)在橢圓內(nèi)可證；

(2)利用橢圓方程帶入兩點(diǎn)間的距離公式消元，然后由二次函數(shù)性質(zhì)可解.

【詳解】(1)(2m+l)x÷(m+l)?=7m÷4?Jln?Wtn(2x+>,-7)+x÷γ-4=O,

[2x+y-7=0[x=3

由'八解得「所以直線/過定點(diǎn)(3』).

X—+—=—<1,所以點(diǎn)(3』)在橢圓內(nèi)部，

2516400

所以直線/與橢圓C恒有兩個交點(diǎn).

g25

令/=玉χ2-2χ+i7,χ∈J5,5],其對稱軸為X=I,且開口向上

-w25,19,25、，c25「128

所tcι以u，當(dāng)X=瓦時(shí)，*=為、(5)--2、3+17=5

9

2

當(dāng)x=—5時(shí)，rmax≈-×(-5)-2X(-5)+17=36

所以掾≤f≤36,所以榨≤∣PA∣WA,即手≤∣P4∣≤6

所以IPAl的取值范圍為[半,6]

19.某團(tuán)隊(duì)開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲，如圖所示，A、B兩個信號源相距10米，。是AB

的中點(diǎn)，過。點(diǎn)的直線/與直線AB的夾角為45。，機(jī)器貓?jiān)谥本€/上運(yùn)動，機(jī)器鼠的運(yùn)動軌

8

跡始終滿足：接收到A點(diǎn)的信號比接收到8點(diǎn)的信號晚一秒，其中%(單位：米/秒)是信

%

號傳播的速度.

⑴以。為原點(diǎn)，以O(shè)B方向?yàn)閄軸正方向，且以米為單位建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)機(jī)器鼠所

在位置為點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)若游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線/不超過2米的區(qū)域運(yùn)動時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠

保持目前的運(yùn)動軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？

22

【正確答案】⑴二-匕=Iam4)

169v,

(2)如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動軌跡不變，有被抓風(fēng)險(xiǎn).

【分析】(1)結(jié)合雙曲線的定義求得正確答案.

(2)求與直線/距離為2的平行直線的方程，結(jié)合平行直線與P點(diǎn)軌跡有無公共點(diǎn)即可.

Q

【詳解】(D依題意，IPAHpM=—%=8<10=∣陰,

vO

所以尸點(diǎn)的軌跡是以48為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

=8,6/=4,2c=10,c=5,Z?=?∣c2—a2=3，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為S=l(x24).

169''

(2)直線/的方程為y=x,BPx-J=O,

設(shè)與直線/的距離為2的平行直線的方程為χ-y+f=O,

=2,W=2y[2,t=±2V2

所以與直線/的距離為2的平行直線的方程為4：X-y+20=O或￡x-y-2√2≈0,

2.,23

雙曲線2r-]=1(Q4)的漸近線為y=?%,

直線x-y+2后=0,即y=x+2√Σ,斜率為1,過點(diǎn)(。,201

所以直線y=x+2√Σ與P點(diǎn)的軌跡沒有公共點(diǎn).

直線x-y-2&=0,即y=x-2y∕2,

y=x-2ypl

由

Ly2消去)'并化簡得7χ2-64√2Λ+272=0,

-----=l(x≥4)

1169v7

Δ=(64√2)2-4×7×272=576>0,

-

又玉馬=^->16,x∣+x2>0，所以方程7χ2-64√Ir+272=0存在大于4的實(shí)數(shù)解，

所以直線y=x-2&與尸點(diǎn)的軌跡有公共點(diǎn).

綜上所述，如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動軌跡不變，有被抓風(fēng)險(xiǎn).

20.已知拋物線「：V=2px焦點(diǎn)為*1,0),拋物線r上存在不同兩點(diǎn)A、B(異于原點(diǎn)。).

(1)求拋物線「的方程；

(2)若直線A8的傾斜角為?且拋物線焦點(diǎn)廠到直線AB的距離不小于1,求直線AB在)，軸上

的截距〃的取值范圍；

(3)若點(diǎn)人艮F三點(diǎn)共線，求/AOB的取值范圍.

【正確答案】⑴∕=4x

⑵卜8,—2-Λ∕5]U2—?/?,?-

【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求解方程即可;

(2)設(shè)直線AB的方程為y=6x+",再根據(jù)直線48與拋物線有兩個交點(diǎn)，焦點(diǎn)尸到直線

AB的距離不小于1列式求解即可

UHUim

OAOB

(3)聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，利用COSNA08=硬斤池求出cosNAOB的值域，進(jìn)

?OA???OB?

而得到/AO3的取值范圍

【詳解】(1)因?yàn)閽佄锞€「:V=2px焦點(diǎn)為F(1,0),故5=l,p=2,故拋物線「的方程為

y2=4X

(2)由題，設(shè)直線AB的方程為y=√L+",聯(lián)立拋物線有(石x+nf=4x,化簡得

3X2+(2√3H-4)X+∕Z2=0,∣?(2√3n-4)2-12n2>0,解得〃<弓.

l?/?,1—O÷∏∣

又拋物線焦點(diǎn)廠(1,0)到6》7+〃=0的距離不小于1,故！/,∣≥1,解得〃≤-2-百

√√3'+l2

或“≥2-G,綜上有AB在y軸上的截距〃的取值范圍為(YO,-2-6]02-√3,^-

(3)設(shè)直線AB的方程為X=(y+l,A(x∣,yl),B(x2,y2),聯(lián)立y?=4x有爐-4∕y-4=O,故

X+%=4f,χ%=T,百+9=r(y+κ)+2=4/+2,XIx,=Λ2L=ι

16

OA-OB_xx+yy-3

cosZ.AOB=l2l2

|。Al,網(wǎng)收+短.4+%2Cx+4)(w+4)

3)3

I---------------------------I-----------∈----,0g[J―

2—≤cosZAOB<0

AJX1X2+4(x1+x2)+16√16r+25L5)'5

故NAo3的取值范圍為

本題主要考查了聯(lián)立直線與拋物線的方程，求解交點(diǎn)的有關(guān)問題，同時(shí)也考查了利用韋達(dá)定

理化簡所求表達(dá)式的問題，屬于中檔題

21.已知寫、F?分別為橢圓「:工+V=］的左、右焦點(diǎn)，M為「上的一點(diǎn).

4

⑴若點(diǎn)用的坐標(biāo)為(1,，〃)(〃10),求的面積；

⑵若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1),且直線y=fcr-∣(?∈R)與『交于不同的兩點(diǎn)A.B,求證：MA-MB

為定值，并求出該定值；

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(s"),過坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓(X-S)2+(y-f)2=/(其中r為定

值，0<r<l且kIHr)的兩條切線，分別交「于點(diǎn)P,Q,直線OP,OQ的斜率分別記為勺,

右.如果火人為定值，求IOPHOQl的取值范圍，以及QH?∣OQ∣取得最大值時(shí)圓M的方程.

3

【正確答案】(1)∣?;

(2)證明見解析，0；

(3)(2,∣］,圓M的方程為(x±2)2+/=［或J+(”1)2=2

【分析】(1)將點(diǎn)M(1,M(%>O)代入求出〃?=祖，再求出左、右焦點(diǎn)即可求解.

2

(2)將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

(3)設(shè)出直線OP：y=占X,直線。。：y=%χ,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得乙、質(zhì)是關(guān)于

2

g的方程爐-r)?-2.蟆+/-尸=0的兩實(shí)根，根據(jù)題意klk2為定值，可得姐=5=-；,

=苧，設(shè)將直線。尸：了=虹，直線。。：心》與橢圓聯(lián)立，求出

rP(X1,yJ,Q(Λ2,%),V=

?OP?-?OQ?<^,即求.

【詳解】⑴由已知條件得:+加=1,因?yàn)闄C(jī)>0,則機(jī)=乎，又E(",O),K(6θ),

因此MK的面積為S-,=LWGbn=?lχ2gx且=L

4122222

X22_

⑵設(shè)A(%%),B(∕,%),由4,3,得(4公+心2_曰-譚=0,

V=kx——

I5

24人6433

、"+/=5(4公+1)'3""-25件2+1)，又以=3-：，

λM=(XA,%T),MB=(??,%T)>

2

于是MA?MB=XAXB+(AΛ-A-∣)(fcrβ-1)=(?+1)XAXB-∣?(XΛ+xβ)+∣^

/,2八「64^∣8,24k64

=Ik÷1)------7?Ck—7rH----

，，［25(4?2+l)J55(4?2+l)25

22

64(?+l)192型I64(4?+1)=θ

25(4?2+l)^25(4AΓ2