高考數(shù)學（山東新高考版）一輪復習單元質檢卷十概率

單元質檢卷十概率

(時間:100分鐘滿分:150分)

—單元質檢卷第23頁

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分)

1.袋中裝有5個大小相同的球,其中有2個白球,2個黑球,1個紅球，現(xiàn)從袋中每次取出1球，取出后不

放回，直到取到有兩種不同顏色的球時即終止，用X表示終止取球時所需的取球次數(shù)，則隨機變量X的

數(shù)學期望E⑺是()

常唁

羨A

|解析儀的可能取值為2,3『(X=3)=：X。：X。=E1(X=2)=1P(X=3)=&.：EC￥)=±X2+!x3=?■，故選

A.

2.(2019廣東潮州二模,7)一試驗田某種作物一株生長果實個數(shù)x服從正態(tài)分布N(90,〃),且

尸(x<70)=0.2,從試驗田中隨機抽取10株，果實個數(shù)在［90,110］的株數(shù)記作隨機變量X,且X服從二項分

布，則X的方差為()

.1

.3.21

H］B

:?%(90,〃),且P(x<70)=0.2,

,：P(x>l10)=0.2,.：P(90<x<l10)=0.50.2=0.3,

.：X~B(10,0.3)4的方差為10x0.3x(10.3)=2丄故選B.

3.將3名教師和3名學生共6人平均分成3個小組，分別安排到三個社區(qū)參加社會實踐活動，則每個

小組恰好有1名教師和1名學生的概率為()

答案|B

畫基本事件總數(shù)〃=C；CjC戸90,每個小組恰好有1名教師和1名學生包含的基本事件個數(shù)

〃?=C抬C；C；C；C：=36,所以每個小組恰好有1名教師和1名學生的概率為工=|.

□ozz11905

4.(2019福建寧德模擬,7)8張卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8,從中隨機取出2張，記事

件4="所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件8="所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”,則

P(B\A)=()

B-l

答案|c

畫事件為“所取2張卡片上的數(shù)字之和為小于9的偶數(shù)”，以他力)為一個基本事件,則事件包

含的基本事件有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6卜(3,5),共6個,由古典概型的概率公式可得「(明*=爲，事

件”為“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概

率公式可得「(/)=善=3,因此,「(8|/)=需=爲x彳=；，故選C.

LoQ/r\/\)14oZ

5.(2019江西九江模擬,6)從集合｛1,2,3,4｝中隨機抽取一個數(shù)a,從集合｛4,6,8｝中隨機抽取一個數(shù)6,則

向量m=(a力)與向量n=(2,l)垂直的概率為()

A.-6B.—4

答案|B

解爾基本事件總數(shù)為4/3=12,當mln時力=2a,滿足mln的基本事件有(2,4),(3,6),(4,8),共3個，故

所求概率為余=；，故選B.

6.設隨機變量X-M1」),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,那么向正方形48CZ)中隨機投擲10000個點,

則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是()

注：若則P(/Z<T<Z<//+<7)~0.6826,尸〃，2(7〈〉V"+2<7)70.9544.

A.6038B.6587C.7028D.7539

解析"X-N(1,1),Z/z=1,<7=1,/z+cr=2.

：^<7<^<//+<7)=68.26%,

?：P(0<X<2)=68.26%,

則P(l<%<2)=34.13%,

.：陰影部分的面積為0.6587..：向正方形N8C。中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分的點

的個數(shù)的估計值是6587.

7.將5本不同的書全發(fā)給4名同學，每名同學至少有一本書的概率是()

c,談D,誤

答案A

解助將5本不同的書分給4名同學，共有45=1024種分法，其中每名同學至少一本的分法有qA：=240

種，則所求概率為襪=會故選A.

丄UZ404

&一個正四面體的四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4.擲這個四面體四次，令第i次得到的數(shù)為次若存在

正整數(shù)人使得￡。產4的概率0』,其中W,〃是互質的正整數(shù)，則10g5〃?10gM的值為()

i=l11

B.lD.2

IgB

廨相當k=l時，概率為;;當％=2時,4=1+3=2+2=3+1,概率為3、(?；當k=3

時,4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率為3x(])3；當左=4時,4=1+1+1+1,概率為,所以p=/+為+

卷+216=,64+4黑".I=裝=■，所以n=44,m=5i,liff以bg5"?log4"=34=l.故選B.

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

9.若干個人站成排，其中不是互斥事件的是()

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙站排尾”

D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”

客鼐BCD

畫排頭只能有一人，因此“甲站排頭''與"乙站排頭''互斥，而B,C,D選項中，甲、乙站位不一定在同一

位置,可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥.故選BCD.

10.設離散型隨機變量X的分布列為

)1234

/0.40.10.20.2

若離散型隨機變量y滿足y=i￥+i,則下列結果正確的有()

A.q=0.1

B.￡(JV)=2,D(風=1.4

C.EC￥)=2,D(㈤=1.8

D￡(y)=5,D(y)=7.2

SJACD

麻樹因為q+0.4+0.1+0.2+02=1,所以q=0.1,故A正確；

又E(X)=0xO.1+1xO.4+2xO.1+3xO.2+4><0.2=2,

D(A■)=(02)2x0.1+(12)2x0.4+(22)2x0.1+(32)2x0.2+(42)2x0.2=L8,故C正確；

因為丫=2%+1,所以E(y)=2E(X)+l=5,D(y)=4Z)(X)=7.2,故D正確.

IL甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機

取出一球放入乙罐,分別以4/2和4表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件;再從乙罐中隨

機取出一球，以8表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是()

A.P(嗚2

BJWD*

C.事件8與事件小相互獨立

D.4丿243是兩兩互斥的事件

餐氧BD

域羽易見出小小是兩兩互斥的事件，故D正確,P(8⑷)=怖■，故B正確，

P(8)=尸(84)+P(8/2)+P(8X3)=糸x^+^x^-+^x^-=益故A不正確，事件8與事件4

不相互獨立，故C不正確，故選BD.

12.已知隨機變量X服從正態(tài)分布M100,1。2)(參考數(shù)值:隨機變量。服從正態(tài)分布心,后)，則

尸0n<^<〃+<7)=0.6826,尸0,2<7<^<〃+2<7)=0.9544,P(//3<7<^<//+3<7)=0,9974),則下列選項正確的是()

A.E(㈤=100

B.￡)(A)=100

C.P(論90)=0.8413

D.Pg20)=0.9987

答案|ABC

解相;隨機變量x服從正態(tài)分布MIOO,IO2),

.:曲線關于x=100對稱,根據(jù)題意可得，尸(9O<X<110)=0.6826,P(80<x<120)=0.9544,

,：P(x>90)=0.5+1x0.6826=0.8413,故C正確;尸(g120)=0.5+：X0.9544=0.9772,故D錯誤.而

A,B都正確.故選ABC.

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.(2019江西南昌學、洪都中學、麻丘高中等七校聯(lián)考,14)若某學校要從5名男同學和2

名女同學中選出3人參加社會考察活動，則選出的同學中男女生均不少于1名的概率是.

解羽從5名男同學和2名女同學中選出3人，有耳=35種選法.選出的男女同學均不少于1名，有

C2+C2=25種選法.故選出的同學中男女生均不少于1名的概率為意=￡.

14.口袋中有形狀和大小完全相同的4個球，球的編號分別為1,2,3,4,若從袋中一次隨機摸出2個球，則

摸出的2個球的編號之和大于4的概率為.

歯基本事件總數(shù)"=C：=6,摸出的2個球的編號之和大于4包含的基本事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),

共4個，.：摸出的2個球的編號之和大于4的概率為余

15.（2019河北唐山模擬,6）甲、乙、丙三位學生用計算機聯(lián)網學習數(shù)學，每天上課后獨立完成6道自

我檢測題，甲及格的概率為紜及格的概率為訥及格的概率為嗚三人各答一次，則三人中只有一人

及格的概率為.

1^-2^250

I解析I因為甲及格的概率為*乙及格的槪率為|,丙及格的慨率為卷

所以僅甲及格的概率為卷X（1|）X（e）=爲僅乙及格的概率為（礙）x|X備又為僅丙及

格的概率為（1^）x（11）x-^=三人中只有一人及格的概率為^^+^

16.拋一枚均勻硬幣，正、反面出現(xiàn)的概率都是去反復這樣的拋擲，數(shù)列｛斯｝定義如

F（1（第n次拋擲岀現(xiàn)正面），

若S?=ay+a+...+a?（n丘N*）,則事件坂=2"的概率為；事件

,"1-1（第n次拋擲出現(xiàn)反面）,2

'S/）且&=2'’的概率為.

13

128

解析事件S8=2表示反復拋擲8次硬幣，其中出現(xiàn)正面的次數(shù)是5次.

其概率尸=爲（?5.（?3=/

事件“S2#0,S8=2”表示前兩次全正或全負,

貝I概率為C：（；）8+?（；）8=爲.

6262128

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）（2019江西上饒三模,19）目前共享單車基本覆蓋市區(qū)，根據(jù)統(tǒng)計,市區(qū)所有人騎行過共享單車

的人數(shù)已占60%,騎行過共享單車的人數(shù)中，有30%是學生（含大中專、高職及中學生）,若市區(qū)人口按

40萬計算，學生人數(shù)約為9.6萬.

（1）任選出一名學生，求他（她）騎行過共享單車的概率；

（2）隨著單車投放數(shù)量增加，亂停亂放成為城市管理的問題，如表是本市某組織累計投放單車數(shù)量x與

亂停亂放單車數(shù)量y之間關系圖表：

累計投

放100120150200230

單車數(shù)000000000000000

量X

亂停亂

放

14001700230030003600

單車數(shù)

量y

計算y關于x的線性回歸方程(其中b精確到0.0001,a值保留三位有效數(shù)字)，并預測當x=26000時，

單車亂停亂放的數(shù)量；

(3)已知信州區(qū)、廣豐區(qū)、上饒縣、經開區(qū)四區(qū)中，其中有兩個區(qū)的單車亂停亂放數(shù)量超過標準，在

“大美上饒”活動中，檢查組隨機抽取兩個區(qū)調查單車亂停亂放數(shù)量X表示“單車亂停亂放數(shù)量超過標

準的區(qū)的個數(shù)”,求X的分布列和數(shù)學期望.

n

AAAAIxtyt-nxy

參考公式和數(shù)據(jù):回歸直線方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估計分別為b=i=l

nA

z(和元)(外于)AA

Hi----------,a=y-bx,

Z(Xi-X)2

i=l

55

z孫=2117000000,Z*=1398x108

i=li=l

屬(1)騎行單車的學生人數(shù)為40x60%x30%=7.2,故任選一學生騎行過單車的概率為林=|.

A

⑵由題意得H160000,y=2400,b=然後農農字=霽＞+-0,0167.

AAA

a=24000.0167x160000=272,故所求回歸方程為y=0.0167x272,當x=26000時,y句62,即單車

投放累計26000輛時，亂停亂放的單車數(shù)量為162.

(3次的取值為0,1,2,

q1C1C12儲1

尸(X=O)=W=証(X=l)=蜜=糸尸(%=2)嘖=i

v4

X的分布列為

可屮卜

pi2i

A

E(X)=01x-^2\x-+2x1~\.

030

18.(12分)(2019北京西城區(qū)模擬,16)某汽車生產廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程

數(shù)”,收集了使用該型號電動汽車1年以上的部分客戶的相關數(shù)據(jù),得到他們的電動汽車的“實際平均

續(xù)航里程數(shù)''.從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲(含40歲)以上的客戶

中抽取10位歸為8組,將他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖淇中“+”表示/組的

客戶,表示8組的客戶.

注廣實際平均續(xù)航里程數(shù)''是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.

(1)記48兩組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為W,〃，根據(jù)圖中數(shù)據(jù),試比較

m,n的大小(結論不要求證明)；

(2)從A,B兩組客戶中隨機抽取2位,求其中至少有一位是A組的客戶的概率；

⑶如果客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達人”從48兩

組客戶中，各隨機抽取1位，記“駕駛達人'’的人數(shù)為得求隨機變量E的分布列及其數(shù)學期望

圖⑴

(2)設“從抽取的20位客戶中任意抽取2位,至少有一位是A組的客戶”為事件M,則

CC+C

p(7y)-ioioio=空

()Q。38-

所以從抽取的20位客戶中任意抽取2位至少有一位是Z組的客戶的概率是名.

(3)依題意乙的可能取值為0,1,2.

c〔c118

貝IRfqq2尋=

101025'

qq+c弼=13.

/(41)=44"so'

中；=1

P(E=2)=

CioCio50

所以隨機變量4的分布列為

所以隨機變量4的數(shù)學期望E?=0x啞+1x看+2x2=焉即E?二■

乙DOVOV丄U丄U

19.(12分)某市市民用水擬實行階梯水價，每人用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出

w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，

整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

(1)求a,b,c的值及居民用水量介于2?2.5的頻數(shù)；

(2)根據(jù)此次調查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米,應定為多少立方米?(精確到小數(shù)點后

2位)

(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機調查3名居民的用水量，將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記

為X,求其分布列及其均值.

闞(1):,前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

.:所對應的頻率也成等差數(shù)列，

設a=0.2+d力=0.2+2d,c=0.2+3d,.：0.5(0.2+0.2+"0.2+2d+0.2+3"0.2+"+0.1+0.1+0.1)=1,

解得d=0.l,a=0.3力=0.4,c=0.5.

居民月用水量介于2~2.5的頻率為0.25.

居民月用水量介于2?2.5的頻數(shù)為0.25x100=25人.

(2)由題圖和(1)可知,居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8,.：為使80%以上居民月用水價格

為4元/立方米，

應定為。=2.5+訪比2.83(立方米).

(3)將頻率視為概率，設/代表居民月用水量,

由題圖知:尸(念2.5)=0.7,

由題意￥-8(3,0.7),

尸(X=0)=C：x0.7°x0.33=0.027,

P(X=1)=C；xO.32xO.7=O.I89,

P(X=2)=Cjx0.3x0.72=0.441,

P(X=3)=<xO.73=0.343.

的分布列為

0123

\

P0.0270.1890.4410.343

：*8(3,0.7),

?\E(X)=np=2.1.

20.(12分)交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用

(基準保費)統(tǒng)一為。元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通

事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率就越高，具體浮動情況如表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動比

浮動因素

率

下浮

上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

10%

下浮

小上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

20%

上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通下浮

事故30%

上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的

0%

道路交通事故

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道上浮

.1-

路交通事故10%

上浮

1上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故

30%

某機構為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌

同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計如下表：

一

類

型小力2小,14小

一

數(shù)

201010302010

￥

以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

(1)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定,。=950(元)，記X為某同

學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數(shù)學期望；

(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為

事故車，假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：

⑦若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；

彝該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求該銷售商獲得利潤的期望值.

網(1)由題意可知,X的可能取值為0.9a,0.8〃,0.7a,a,1.1”,1.3a,

由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可

.\E(X)=0.9ax|+0.8?x^+0.7aX*+aX^+l.laX1+1.3?x專=帶=931.

(2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為2，三輛車中至

多有一輛事故車的概率為P=Cg

70

②i殳y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利澗,y的可能取值為5ooo,ioooo,p(y=5

Q7

ooo)=已尸(r=ioooo)q,.:y的分布列為

10

100(101)

E(y)=5000x才10000X看=5500.?：該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利

潤的期望值為100E(y)=550000(元)=55(萬元).

21.(12分)(2019四川廣元適應性統(tǒng)考,19)隨著共享單車的成功運營，更多的共享產品逐步走入大家的

世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產品層出不窮.廣元某景點設有共享電動車租車

點，共享電動車的收費標準是每小時2元(不足1小時的部分按1小時計算).甲、乙兩人各租--輛電

動車,若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為另;一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為

；繩;兩人租車時間都不會超過三小時.

(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；

(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量4,求。的分布列與數(shù)學期望E?.

闞(1)甲、乙兩人所付費用相同，即為2,4,6元，

111

都付2元的概率為/7i=-X-=-

4-Zo

都付4元的概率為P2=4x7=

Z4o

都付6元的槪率為03三X"=七

所以甲、乙兩人所付租車費用相同的槪率p=pi+22+23=2+g+焉=得,

⑵依題意忑的可能取值為

4,6,8,10,12,Pd=4)O

…八11,115

P(^=6)-x?+-x-=-,

…c、l1,11,115

P(^=8)=5X-+-X5+-X^=-,

P(<f=10)=ix1+113

2X