離散型隨機變量及其分布列

關于離散型隨機變量及其分布列問題1：1）拋擲一個骰子，出現(xiàn)的點數(shù)可以用數(shù)字1,2,3,4,5,6來表示.——可以用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上.2）還可以用其他的數(shù)字表示這兩個試驗結果嗎?3）任何隨機試驗的所有結果都可以用數(shù)字表示嗎?

可以,只要建立一個從試驗結果到實數(shù)的對應關系,就可以使每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示.——該變量的值隨著試驗結果的變化而變化.4)在這個對應關系下,變量的值和試驗結果有什么關系？也即，試驗的結果可以用一個變量表示.那么擲一枚硬幣的結果是否也可用數(shù)字表示呢?第2頁,共37頁，2024年2月25日，星期天如果隨機試驗的結果可用一個變量來表示,而這個變量是隨著試驗結果的變化而變化的，稱這個變量為隨機變量.隨機變量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.1.隨機變量的概念：2.隨機變量的表示：問題2：隨機變量與函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別?共同點：

隨機變量把試驗的結果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)；

試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數(shù)的值域；3.所有隨機變量的取值范圍的集合叫做隨機變量的值域.隨機變量和函數(shù)都是一種映射；區(qū)別: 聯(lián)系：第3頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（）A、兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和B、兩次擲出的最大點數(shù)C、第一次減去第二次的點數(shù)差D、拋擲的次數(shù)D例1：第4頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例2.在含有10件次品的100件產(chǎn)品中,任取4件,可能含有的次品件數(shù)X1)X的取值為多少?它的值域為多少?2)｛X=0｝,｛X=4｝,｛X<3｝各表示什么?3)“抽出3件以上次品”如何表示?解:｛0,1,2,3,4｝.0,1,2,3,4“抽出0件次品”“抽出4件次品”“抽出3件以下次品”｛X>3｝2)｛X=0｝表示:

｛X=4｝表示:

｛X<3｝表示:3)“抽出3件以上次品”:1)X的取值:X的值域:第5頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1)離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．2)連續(xù)型隨機變量:

隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.4.隨機變量的分類：第6頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習二

1.①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；

②某無線尋呼臺一天內(nèi)收到尋呼的次數(shù)為X；

③一天之內(nèi)的溫度為X；

④某市一年內(nèi)的下雨次數(shù)X.以上問題中的X是離散型隨機變量的是（ ）A、①②③④ B、①②④C、①③④ D、②③④B第7頁,共37頁，2024年2月25日，星期天（1）電燈泡的壽命X是離散型隨變量嗎？思考（2）如果規(guī)定壽命在1500小時以上的燈泡為一等品，壽命在1000到1500小時之間的為二等品，壽命在1000小時以下的為不合格品。如果我們關心燈泡是否為合格品，應如何定義隨機變量？如果我們關心燈泡是否為一等品或二等品，又如何定義隨機變量？第8頁,共37頁，2024年2月25日，星期天問題3：拋擲一枚骰子，所得的點數(shù)ξ有哪些值？ξ取每個值的概率是多少？126543列成表的形式解：ξ的取值有1,2,3,4,5,6第9頁,共37頁，2024年2月25日，星期天5.離散型隨機變量的分布列設離散型隨機變量X可能取的不同值為

x1，x2，…，xn，X取每一個值xi(i=1,2,…n)的概率P(X=xi)=pi，則稱表Xx1x2…xi…pp1p2…pi…為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.也可用等式P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n表示X的分布列.或圖像(如課本P47圖2.1-2)表示.6.離散型隨機變量的表示第10頁,共37頁，2024年2月25日，星期天6.概率分布還經(jīng)常用圖象來表示.O12345678p0.10.2（1）離散型隨機變量的分布列完全描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象。（2）函數(shù)可以用解析式、表格或圖象表示，離散型隨機變量可以用分布列、等式或圖象來表示?？梢钥闯龅娜≈捣秶莧1,2,3,4,5,6}，它取每一個值的概率都是。第11頁,共37頁，2024年2月25日，星期天7.離散型隨機變量的分布列兩個性質(zhì)：(1)pi≥0,i=1,2,3,…n(2)p1+p2+…+pn=1x1234p1/31/6a1/6練習：若隨機變量X的概率分布如下,則表中a的值為1/3第12頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習1.隨機變量ξ的分布列為解:(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)有ξ-10123p0.16a/10a2a/50.3（1）求常數(shù)a;（2）求P(1<ξ<4)(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42解得a=-0.9(舍)或a=0.6第13頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習2:已知隨機變量ξ的分布列如下：-2-13210(1)求P(ξ>0);(2)求隨機變量η1=ξ/2的分布列；(3)求隨機變量η2=ξ2的分布列.第14頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例：在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中,令如果針尖向上的概率為p,試寫出隨機變量X的分布列解:根據(jù)分布列的性質(zhì),針尖向下的概率是(1—p)，于是，隨機變量X的分布列是：X01P1—pp第15頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1.兩點分布列（最簡單的類型之一）第16頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

又例：拋一枚硬幣，記ξ=0表示反面向上，ξ=1表示正面向上.求ξ的分布列.ξ01p0.50.5第17頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例：籃球比賽中每次罰球命中得1分,不中得0分,已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求他一次罰球得分的分布列.解:設他一次罰球得分為X,則X的分布列為X10p0.70.3第18頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

注：兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.練習：袋中裝有8個紅球和2個白球，現(xiàn)任取兩球，記ξ=1表示全是紅球，ξ=0表示取到的兩球有白球，求ξ的分布列第19頁,共37頁，2024年2月25日，星期天第二課時：復習引入：

如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，（或隨著試驗結果變化而變化的變量），那么這樣的變量叫做隨機變量．

隨機變量常用希臘字母X、Y、ξ、η等表示。1.隨機變量

2、隨機變量的分類：（1）取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。（2）如果隨機變量可能取的值是某個區(qū)間的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.第20頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

注3：若是隨機變量，則（其中a、b是常數(shù)）也是隨機變量．注1：隨機變量分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。注2：某些隨機試驗的結果不具備數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來表示它。3.離散型隨機變量的分布列設離散型隨機變量X可能取的不同值為

x1，x2，…，xn，X取每一個值xi(i=1,2,…n)的概率P(X=xi)=pi，則稱表Xx1x2…xi…pp1p2…pi…為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.第21頁,共37頁，2024年2月25日，星期天4、求離散型隨機變量ξ分布列的解題步驟為：(1)判斷隨機變量ξ的取值；(2)說明ξ取各值的意義(即表示什么事件)并求出取該值的概率，如果取各值的意義基本相似，則可只說明第一個值，后面的值同理即可；(3)列表寫出ξ的分布列.

☆求分布列重在過程，必須有文字說明和詳細過程，切忌只有數(shù)、式或表！第22頁,共37頁，2024年2月25日，星期天[思路探索]已知隨機變量X的分布列，根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a及相應區(qū)間的概率．例1：第23頁,共37頁，2024年2月25日，星期天解由題意，所給分布列為XPa2a3a4a5a第24頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例2：袋中裝有編號為1～6的同樣大小的6個球，現(xiàn)從袋中隨機取3個球，設ξ表示取出3個球中的最大號碼，求ξ的分布列．[思路探索]確定隨機變量ξ的所有可能取值，分別求出ξ取各值的概率．超幾何分布第25頁,共37頁，2024年2月25日，星期天ξ3456P第26頁,共37頁，2024年2月25日，星期天在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的分布列．超幾何分布【例3】第27頁,共37頁，2024年2月25日，星期天X01P第28頁,共37頁，2024年2月25日，星期天Y010205060P(12分)第29頁,共37頁，2024年2月25日，星期天【題后反思】解決超幾何分布問題的兩個關鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．第30頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

備注:一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。ξ45678910p0.020.040.060.090.280.290.22(1)P(ξ≥7)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.88(2)P(ξ≥6)=P(ξ=6)+P(ξ≥7)=0.94(3)P(ξ<4)=0練習：某一射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：（1）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率（2）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥6”的概率（3）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)＜4”的概率解:第31頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1、若離散型隨機變量ξ的分布列為ξ01P9a2－a3－8a求常數(shù)a及相應的分布列．ξ01P第32頁,共37頁，2024年2月25日，星期天2、已知隨機變量X只能取三個值x1，x2，x3，其概率值依次成等差數(shù)列，求公差d的取值范圍．解設分布列為Xx1x2x3Pa－daa＋d第33頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1、連續(xù)拋擲兩個骰子，得到的點數(shù)之和為X，則X取哪些值？X的分布列是什么？2、從集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一個．記所取出的