數(shù)學（全國卷理科）-金卷：2024年高考第二次模擬考試（考試版A4）

2024年高考第二次模擬考試高三數(shù)學（理科）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．設為虛數(shù)單位，且，則（

）A． B． C． D．3．若向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列，則為（

）A．244 B．243 C．242 D．2415．第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名大學生將前往3個場館開展志愿服務工作．若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則是（

）A．奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)7．“直線與平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A為C的右頂點，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．39．展開式中常數(shù)項為（

）.A．11 B． C．8 D．10．若函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞減，則的值為（

）A． B． C． D．或11．在棱長為的正方體中，、分別為、的中點，則下列說法不正確的是（

）A．當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為B．異面直線與所成角的余弦值為C．點為正方形內(nèi)一點，當平面時，的最小值為D．過點、、的平面截正方體所得的截面周長為12．若點既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點分別為，，且的平分線與垂直，則的長軸長為（

）A． B． C．或 D．或第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．已知，寫出符合條件的一個角的值為.14．在正三棱臺中，，，側棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為．15．已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)m，n都有，則曲線在處的切線方程為．16．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為.三、解答題：本大題共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的前1012項和．18．（12分）在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求證：；(2)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．19．（12分）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續(xù)型隨機變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．(1)已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.（?。┰O，證明：；（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運行的概率．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．20．（12分）已知拋物線的焦點為F，若的三個頂點都在拋物線E上，且滿足，則稱該三角形為“核心三角形”．(1)設“核心三角形”的一邊所在直線的斜率為2，求直線的方程；(2)已知是“核心三角形”，證明：三個頂點的橫坐標都小于2．21．（12分）已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求a的取值集合；(2)證明：．（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程