福福建省泉州市2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末監(jiān)測模擬試題含解析

福福建省泉州市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競賽模擬考試，成績分別記為再，馬,與，…，者0,為研究該生成績的起伏變化

程度，選用一下哪個(gè)數(shù)字特征最為合適（）

A.再，/玉0的平均值；B.再，/，/玉0的標(biāo)準(zhǔn)差；

C.x2,/，…，占0的中位數(shù)；D.，.??,占0的眾數(shù)；

2

2.過點(diǎn)P（4,6）且與雙曲線/一］_=1有相同漸近線的雙曲線方程為（）

412124

3.圓代+V+2x-4y-6=0的圓心和半徑分別是。

A.(—1,-2),11B.(-1,2),11

C.(-l,-2),y/iiD.(-l,2),^/n

4.已知4+i

4+1,是奇數(shù)

5.已知圓G：X2+V+2X=0,圓。2父+_/—6y=0相交于P,。兩點(diǎn)，其中G，。2分別為圓G和圓的圓心.

則四邊形PGQG的面積為（）

C.6D.2V10

6.某中學(xué)的校友會(huì)為感謝學(xué)校的教育之恩，準(zhǔn)備在學(xué)校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看

作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30。，側(cè)棱長為亞米，則以下說法不正確()

A.底面邊長為6米B.體積為12行立方米

C.側(cè)面積為24^/3平方米D.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為號

7.曲線/(x)=lnx—必在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程為O

A.y=~xB.y=2x-3

C.y=—3x+2D.y=—2x+1

8.設(shè)/(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若1面/國+')_/("°_、=20為常數(shù))，則尸(%)=()

力一。h

A.—2。B?—a

C.aD.la

9.已知等差數(shù)列｛〃/且3(%+4)+2(。6+%0+。14)=24,則數(shù)列｛4｝的前13項(xiàng)之和為()

A.26B.39

C.104D.52

22

10.雙曲線^--L=1的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

43

A.(O,l)和(0,—1)B.(1,0)和(—1,0)

c僅，⑺和(0,-a)D.(S,O)和gs,o)

11.定義在區(qū)間-；,4上的函數(shù)了(尤)的導(dǎo)函數(shù)/'(%)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不F確的是O

A.函數(shù)八％）在區(qū)間（0,4）上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/（%）在尤=1處取得極大值D.函數(shù)“X）在％=0處取得極小值

22

12.橢圓C:=+與=1（?！?〉0）的左右兩焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)],過耳垂直于x軸的直線交C于A,5兩點(diǎn),

ab

^AF2B=60°,則橢圓C的離心率是（）

A.V3-1B巫

2

C.3D,1

32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校共有學(xué)生480人；現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進(jìn)行體能測試；若這80人中有30人是男生，則該校

女生共有.

14.已知定義在R上的偶函數(shù)”無）的導(dǎo)函數(shù)為了（X）,當(dāng)x>0時(shí)，有/（x）+才（x）>0,且/（1）=。，則使得/。）<。

成立的X的取值范圍是.

15.若2“=3〃=加，且!+?=2,貝!|m=

ab

16.已知正三棱臺(tái)ABC-A51cl上、下底面邊長分別為1和2,高為1,則這個(gè)正三棱臺(tái)的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r2V21

17.（12分）已知p：方程工+1=1所表示的曲線為焦點(diǎn)在工軸上的橢圓；q：當(dāng)xe匕,2]時(shí)，函數(shù)

3-tt+12

1。5

f（x）=x+—>t——f+3恒成立.

x2

（1）若p為真，求實(shí)數(shù)f的取值范圍；

（2）若夕八4為假命題，且為真命題，求實(shí)數(shù)f的取值范圍

18.（12分）分別求滿足下列條件的曲線方程

22i

(1)以橢圓土+乙=1的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為e=—的橢圓方程；

2592

(2)過點(diǎn)卜,6),且漸近線方程為y=±gx的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

19.(12分)有1000人參加了某次垃圾分類知識(shí)競賽，從中隨機(jī)抽取100人，將這100人的此次競賽的分?jǐn)?shù)分成5組:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中。的值；

(2)估計(jì)總體1000人中競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù).

20.(12分)如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面為等邊三角形，ABC^90，AB=BC=2,平面&止，平

面ABC,。為AC的中點(diǎn).

(1)求證：AB±SD；

(2)若PC=2SP，求二面角S-AB—尸的大小.

22_

21.(12分)已知雙曲線C：=―b>0)的離心率為逐，且雙曲線的實(shí)軸長為2

ab

(1)求雙曲線。的方程；

(2)已知直線x—y+帆=0與雙曲線。交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段中點(diǎn)在圓好+了2=17上，求機(jī)的值

22.（10分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為

世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時(shí)間

（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：

（1）求f的值;

（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于[50,60）,[60,70）和

[80,90）的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于[80,90）的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.

【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波

動(dòng)大小估計(jì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.

故選：B.

2、C

22

【解析】設(shè)與雙曲線必―5=1有相同漸近線的雙曲線方程為必-[=4（2wO）,代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出X的值,

即可的解.

22

【詳解】設(shè)與雙曲線￡-q=1有相同漸近線的雙曲線方程為X?-4=4（2w0）,

代入點(diǎn)。(4,6),得16—1=解得2=4,

222

所以所求雙曲線方程為爐-匕=4,即上一匕=1

3412

故選：C.

3、D

【解析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.

【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x++(y-2『=11,故圓心為(-1,2),半徑為舊.

故選：D.

4、C

【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式計(jì)算即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榍投?是偶數(shù)，neN*，%=21,

q+1”是奇數(shù)

貝!jo,=q+1=22,a=^_=11,a.=+1=12,

-s2

故選：C.

5、A

【解析】求得|GG|，|PQ|，由此求得四邊形PGQG的面積.

【詳解】圓G的圓心為(—1,0),半徑11；

圓C2的圓心為(°，3),

所以|GQI=J(T『+(-3)2=Vid,

由Y+V+2x=0、x2+y2-6y=0兩式相減并化簡得了+3y=0,

即直線PQ的方程為x+3y=0,

1

(-1,0)到直線PQ的距離為

Vid

所以|尸。|=2/6

所以四邊形PGQG的面積為gx

=3.

故選：A

6、D

【解析】連接底面正方形ABCD的對角線AC,交于點(diǎn)。，連接P0,則P0為該正四棱錐P-ABC。的高，即

POL平面ABC。，取CD的中點(diǎn)〃，連接OH,PH,則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形ABC。的邊

長為。，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】連接底面正方形ABCD的對角線AC,3。交于點(diǎn)。，連接尸0

則P0為該正四棱錐P-ABCD的高，即P0,平面48。

取CD的中點(diǎn)“，連接OH,PH,由正四棱錐的性質(zhì)，可得PH_LCD

由。H分別為的中點(diǎn)，所以O(shè)H//BC,則C歸，CD

所以ZPHO為二面角P-CD-0的平面角，由條件可得ZPHO=30°

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則OH=￡又丹/=^PC2-CH2=.21--

2V4

a

，解得。=6故選項(xiàng)A正確.

所以PH=Q21—5=26，PO={PH2—OH2*12—9=6

則該正四棱錐的體積為丫=工義62義6=12G,故選項(xiàng)B正確.

3

該正四棱錐的側(cè)面積為4X-XCDXPH=2X6X2A/3=24#),故選項(xiàng)C正確.

2

由題意NPCO為側(cè)棱與底面所成角，則sin/PCO=re=￡=也，故選項(xiàng)D不正確.

PC后7

故選：D

H

BC

7、A

【解析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

【詳解】由r（x）='—2x,有/（i）=—i,/（i）=-i

X

曲線/（X）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程為y+1=—（尤—1）,整理為y=-x

故選：A

8、C

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

［詳解］/（%）=1向/函=-x2a—a.

—o2h2

故選：C.

9、A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件可得%+%o的值，再由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a2+a6=2a4,a6+a10+^4=3aw,

所以由3（。2+。6）+2（&+4（）+44）=24可得：3x2a4+2x3al0=24,

解得：/+%）=4,

所以數(shù)列｛4｝的前13項(xiàng)之和為

c_13（6+%3）_13（&+4o）_13彳_cv

13222

故選：A

10、C

【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得到焦點(diǎn)所在軸及半焦距的長，進(jìn)而得到兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo).

22

【詳解】雙曲線：一；=1中，a=2,b=6則c=，7T=內(nèi)與=甘

22

又雙曲線焦點(diǎn)在y軸，故雙曲線；=1的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,療）和（0,-J7）

故選：c

11、C

【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)

系可判斷C、D的結(jié)論

【詳解】函數(shù)f(x)在(0,4)上/(幻>0,故函數(shù)在(0,4)上單調(diào)遞增，故A正確；

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在xe(-g,0)時(shí)，r(x)<0,

故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-；,0)上單調(diào)遞減，故B正確；

由A的分析可知函數(shù)在(0,4)上單調(diào)遞增，故％=1不是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間(-；,0)上單調(diào)遞減，在(0,4)上單調(diào)遞增，

故函數(shù)x=0處取得極小值，故D正確，

故選：C

12>C

【解析】由題可得AgB為等邊三角形，可得2c=3x也，即得.

2a

【詳解】???過耳垂直于*軸的直線交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，ZAF2B=6Q°,

：.A&3為等邊三角形，

V22h2

由x=-C代入=+與v=1,可得y=±2,

a2b2a

：.2c—所以2ac=G(4-c2),

2av7

即Ge2+2e—6=0,又ee(O,l),

解得e=

3

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、300人##300

【解析】根據(jù)人數(shù)占比直接計(jì)算即可.

【詳解】該校女生共有480義空要=300人.

80

故答案為：300人.

14、(-i,o)5。」)

【解析】根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，有+4(x)X),令g(x)=4("，8'("=靖(力士/'(%)>(),得到g(x)在(0,+x)

上遞增，再根據(jù)〃龍)在R上的偶函數(shù)，得到g(x)在R上是奇函數(shù)，則g(x)在(-8,0)上遞增，然后由/⑴=0,

得到g6=g(T)=0求解

【詳解】?.?當(dāng)尤X)時(shí)，有〃力+才(x)>0,令g(x)=4(x)，

：,g'(x)=礦(x)+/(x)>0,

:.g(x)在(0,+oo)上遞增，

又?.?/(￡)在R上的偶函數(shù)

g(-x)=—#(一%)=—V(x)=-g(x),

.?.g(x)在R上是奇函數(shù)

.”(%)在(-”,0)上遞增,

又,??"1)=0，

?*-g6=g(T)R'

當(dāng)x>0,/(x)<0時(shí)，g(x)<0,此時(shí)，0<x<l,

當(dāng)x<0,/(x)(0時(shí)，g(x)>0,此時(shí)，-Kx<0,

〃尤)<0成立的x的取值范圍是(—l,O)u(0,1)

故答案為：(-l,O)u(O,l)?

15、底

【解析】由2“=3&=根，可得a=log2〃z,b=\og3m,m>0,從而利用換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：因?yàn)?"=3"=加，所以a=log2〃z,b=\og3m,m>0,又L+'=2,

ab

+

所以▲+J=~T^~=l0g,“2+log,“3=log?1(2x3)=2,

ablog2mlog3m

所以m2=6,所以加=A/6,

故答案為：A/6.

16、

12

【解析】先計(jì)算兩個(gè)底面的面積，再由體積公式計(jì)算即可.

【詳解】上底面的面積為Lxlxlxsin60°=3,下底面的面積為工x2x2xsin600=JL則這個(gè)正三棱臺(tái)的體積

242

為U旦用庫而=速.

34V412

故答案為：述

12

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)

⑵卜T。在,2)

【解析】⑴由給定條件結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解作答.

⑵求命題g真時(shí)的f值范圍，再借助“或”聯(lián)結(jié)的命題為真命題求解作答.

【小問1詳解】

22

因方程」一+二=1所表示的曲線為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，

3—t/+1

則有3T>r+l>0,解得

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是-1</<1.

【小問2詳解】

xe[-,2],貝！J有/(%)=》+工22、%,=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=L即x=l時(shí)取“="，即/(尤)1nm=7'⑴=2,

2x\xx

11551

因當(dāng)犬w[—,2]時(shí)，函數(shù)八：九)=%+—0——1+3恒成立，則/9——1+3<2,解得一</<2,命題q為真命題有

2x222

1c

一<f<2,

2

因?yàn)榧倜}，且為真命題，則。與q一真一假，

當(dāng)P真g假時(shí)，—當(dāng)P假q真時(shí)，1</<2,

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-l,1]o[l,2).

2

(2)-=1

4'

【解析】(1)由題意得出a/,c的值后寫橢圓方程

(2)待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解

【小問1詳解】

22

土+乙=1的短軸頂點(diǎn)為(0,-3),(0,3),

259

二所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=3

c1

又0=—=—，.??。=6./.b1=a2—c2=36—9=27

a2

22

所求橢圓方程為工+乙=1

2736

【小問2詳解】

12

根據(jù)雙曲線漸近線方程為V=±-X,可設(shè)雙曲線的方程點(diǎn)—y2=m,

把(4,百)代入f—J?=力得帆=1.所以雙曲線的方程為J—V=i

19、(1)0.040；(2)750；(3)76.5.

【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中。的值；

(2)先求出競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率，由此能估計(jì)總體1000人中競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)

(3)由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計(jì)總體1000人的競賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：

(0.010+0.015+a+0.020+0.015)x10=1,

解得a=0.040

???圖中a的值為0.040

(2)競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率為：1-(0.010+0.015)x10=0.75,

估計(jì)總體1000人中競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)為1000x0.75=750

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,

估計(jì)總體1000人的競賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：

x=0.010x10x55+0.015x10x65+0.040x10x75+0.020x10x85+0.015x10x95=76.5

【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對這些知

識(shí)的理解掌握水平

20、(1)證明見解析

⑵《

【解析】(1)取中點(diǎn)E,由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)合石，由線面垂直判定可證得

AB，平面SDE,由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)乘運(yùn)算可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

取AB中點(diǎn)E,連接

△SAB為等邊三角形，石為A3中點(diǎn)，A3,

平面5AB_L平面ABC,平面平面ABC=AB,SEu平面ABC,

平面ABC,又ABi平面ABC,.?.SELAB；

。,￡分別為4(7,45中點(diǎn)，，￡)￡〃48,又/ABC=90，.?.AB，。石,

DE,SEu平面SDE,DESE=E,.?.AB,平面SDE,

又SZ)u平面SDE,AB_LSD.

【小問2詳解】

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,ED,ES為x，%z軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

B

則A（-1,O,O）,B（1,0,0）,5（0,0,73）,C（l,2,0）,/.AB=（2,0,0）,

設(shè)P（x,y,z）,則PC=（1—x,2—y,—z）,SP=（x,y,z—百）,

1

x=一

l-x=2x3

2'122疔

由PC=2SP得：p-y=2y解得:y=—,即P

-31333J

273

z=-----

3

’422疔

[333J

設(shè)平面PAB的法向量〃=(a,反c),

AB-n=2a=Q

則<422\（39令c=l，解得：a=0,b=-y/3,.\n=[o,—A/3,1）；

AP-n=-a+-b+^—c=O'7

I333

ii?..i\m-n\J3

又平面SAB的一個(gè)法向量m=（0,1,0）,/.cos<m,n>\=",,'=；