函數(shù)醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)課件

醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)教研室

尹玲課程介紹33學(xué)時(shí)，考查課授課內(nèi)容：前三章考試內(nèi)容：前三章成績(jī)計(jì)算：30%平時(shí)成績(jī)（作業(yè)、出勤）70%卷面成績(jī)參考資料醫(yī)用高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題全解（第二版）馬建忠主編科學(xué)出版社出版高等數(shù)學(xué)（第五版）上冊(cè)同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編高等教育出版社出版Chapter1函數(shù)、極限與連續(xù)§1.1函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的特性初等函數(shù)分段函數(shù)和反函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1.常量與變量常量:在某一變化過程中始終保持同一個(gè)數(shù)值的量稱為常量，一般用a,b,c表示。注意:常量與變量是相對(duì)于過程而言.變量:在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量稱為變量,一般用x,y,z表示。2.函數(shù)的定義定義：設(shè)在某個(gè)變化過程中存在兩個(gè)變量x、y，若對(duì)于某一非空數(shù)集中的每一個(gè)x值，按照某一確定關(guān)系?都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)，記為y=f(x).因變量自變量3.定義域、值域定義域：自變量所有允許值的集合稱為函數(shù)的定義域。值域：所有函數(shù)值的集合稱為值域。函數(shù)的三要素定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域EE’?4.函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域完全相同時(shí)，我們才說兩個(gè)函數(shù)相同或者說這兩個(gè)函數(shù)是相同的函數(shù)。例3公式法圖像法表格法5.函數(shù)的表示法公式法如果兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系是借助于公式或分析式直接給定的,則我們稱這種函數(shù)的表示方法為分析法或公式法。如y=x2。這是函數(shù)最常用的表示方法。例4:正常嬰兒在出生后1～6個(gè)月的體重近似滿足以下關(guān)系y=3+0.6x圖像法由于函數(shù)的圖像與函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以我們可以用函數(shù)的圖像來表示函數(shù)，并稱這種方法為函數(shù)的圖像法。例5:監(jiān)護(hù)儀記錄某患者在一段時(shí)間內(nèi)的體溫T的變化情況,即用曲線描述了函數(shù)關(guān)系T=T(t).表格法在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常將一系列的自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)的值列成表格，如對(duì)數(shù)表，三角函數(shù)表等。稱這種表示函數(shù)的方法為表格法。例6:某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了某年1-12個(gè)月當(dāng)?shù)亓餍行猿鲅獰岬那闆r(如圖),即用數(shù)據(jù)表描述函數(shù)y=y(t).t123456789101112Y16.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.06.區(qū)間區(qū)間的定義:界于某兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b(a<b)之間的全體實(shí)數(shù)被稱為一個(gè)區(qū)間.a,b稱為區(qū)間的端點(diǎn)。7.鄰域定義：以x0為中心,以（

>0）為半徑的開區(qū)間稱為x0的一個(gè)鄰域,x0

叫做鄰域的中心,

叫做鄰域的半徑.記為U(x0,

)或(x0),即

U(x0,

)=(x0-,x0+)例7:(-1,1)是一個(gè)開區(qū)間,也是0的一個(gè)1鄰域.|y-y0|<是y0的一個(gè)鄰域二、函數(shù)的特性單調(diào)性奇偶性有界性周期性

a.函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)增

:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果在

D中某一個(gè)子區(qū)間I中任意取兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1<x2

時(shí)，必有

f(x1)<

f(x2)，則稱該函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的。單調(diào)增函數(shù)的圖形是沿x軸的正向上升的。如下圖所示xyxy設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果在

D中某一個(gè)子區(qū)間I中任意取兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，必有f(x1)>

f(x2)，則稱該函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。單調(diào)減函數(shù)的圖形是沿x軸的正向下降的。如下圖所示單調(diào)減

xyxy說明：在整個(gè)區(qū)間I內(nèi)單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)增加與單調(diào)減少不是相互對(duì)立的概念。有的函數(shù)可能既不單調(diào)增加又不單調(diào)減少。1.函數(shù)

y=x2

在(0,+)內(nèi)是單調(diào)增加的,而在

(-,0)內(nèi)是單調(diào)減少的。例8:2.函數(shù)

y=x3

在

(-,+)內(nèi)是單調(diào)增加的。xyy=x3oxyy=x2ob.奇偶性奇函數(shù)

:

對(duì)于函數(shù)

y=f(x),x

D,如果

D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

,而且對(duì)任意的

x

D,恒有

f(-x)=-f(x),則我們稱函數(shù)

f(x)

為

D上的奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。偶函數(shù)

:

對(duì)于函數(shù)y=f(x),x

D,如果

D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

,而且對(duì)任意的

xD,恒有

f(-x)=f(x),則我們稱函數(shù)

f(x)

為

D上的偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖形是關(guān)于

y軸對(duì)稱的。奇函數(shù)的圖形對(duì)稱于原點(diǎn)偶函數(shù)的圖形對(duì)稱于y軸偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的.奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.例9：1.函數(shù)

y=x3,x

[-1,1]是一個(gè)奇函數(shù)2.函數(shù)

y=x2,x

[-1,1]

是一個(gè)偶函數(shù)3.函數(shù)

y=x2,x

[-1,2]

既不是一個(gè)偶函數(shù),又不是一個(gè)奇函數(shù)。c.有界性有界函數(shù)

:對(duì)于函數(shù)y=f(x),xD,如果存在正數(shù)M,使得對(duì)任意的xD,恒有

|

f(x)|M,則我們稱函數(shù)

f(x)為D上的有界函數(shù)。否則稱為無界函數(shù)。例10：函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是有界的。注意：有界和無界是對(duì)立的,非此即彼的.例11：函數(shù)y=1/x在區(qū)間(1,+∞)上有界，但是在(0,1)上無界。有界性是相對(duì)于一定區(qū)間來講的概念，函數(shù)在某一區(qū)間上有界，但是在另一區(qū)間上可能無界。具有下界的函數(shù)被稱為下方有界函數(shù),具有上界的函數(shù)被稱為上方有界函數(shù)。說明：有界函數(shù)必同時(shí)為下方有界函數(shù)和上方有界函數(shù)。d.周期性周期函數(shù)

:對(duì)于函數(shù)

y=f(x),xD,如果存在正數(shù)

T,對(duì)任意的

xD,x+TD

,恒有

f(x+T)=f(x),則我們稱函數(shù)

f(x)為

D上的周期函數(shù)。T稱為函數(shù)

y=f(x),xD的周期,通常,周期函數(shù)的周期

T都是指最小正周期。周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)：注意：周期函數(shù)的圖形在每一個(gè)周期中都是相同的。周期函數(shù)的定義域一定是一個(gè)無窮區(qū)域,但不一定是整個(gè)實(shí)數(shù)軸

(-,)

。函數(shù)

y=tanx

,

xn±/2

是一個(gè)

T=

的周期函數(shù)。三、初等函數(shù)基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.六類基本初等函數(shù)冪函數(shù)y=x

(為常數(shù))

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,a1)

三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx

,y=cotx

反三角函數(shù)y=arcsinx，y=arccosx，

y=arctanx，y=arccotx

常數(shù)函數(shù)y=C(C為常數(shù))冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)a>10<a<1對(duì)數(shù)函數(shù)a>10<a<1三角函數(shù)反三角函數(shù)y=arccosx2.復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)變量y是變量u的函數(shù),變量u

是變量x的函數(shù),即

y=f(u),u=

(x)

如果變量

x的某些值通過變量u可以確定變量y的值,

則稱y是x的復(fù)合函數(shù),記為

y=f[

(x)]

其中u

稱為中間變量。3.復(fù)合函數(shù)的分解方法從最外層函數(shù)開始分析，找出最接近的基本初等函數(shù)形式開始分解，直到最后形式變成基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)（即簡(jiǎn)單函數(shù)）為止。例12：例13：例11解一：解二：例12解：綜合起來，分解應(yīng)該是4.初等函數(shù)定義

:由基本初等函數(shù),經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的,僅用一個(gè)解析式子表達(dá)的函數(shù),

稱為初等函數(shù)。例14:

y=,y=xtanx

+sin等都是初等函數(shù)。四、分段函數(shù)和反函數(shù)

1.分段函數(shù)定義:某些函數(shù),對(duì)于其定義域內(nèi)自變量不同的值,不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析表達(dá)式表示,而要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。例如：例15:

設(shè)某藥物的每天劑量為y(m