全國(guó)初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)《用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

21.2.2公式法一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1、內(nèi)容用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式。2、內(nèi)容解析一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它是一元一次方程、二元一次方程(組)等內(nèi)容的深入和發(fā)展。而一元二次方程求根公式和根的判別式又分別是本章的一種方法和思想。它涉及到以后學(xué)生對(duì)二次函數(shù)和一元二次不等式的學(xué)習(xí)，同時(shí)，一元二次方程模型在生活中又普遍存在。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)完直接開方法、配方法解一元二次方程的基礎(chǔ)上，對(duì)一般形式的一元二次方程通過配方法發(fā)現(xiàn)求根公式，培養(yǎng)學(xué)生化歸思想、分類討論思想及由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。另外學(xué)生在八上《實(shí)數(shù)》一章中，學(xué)習(xí)了被開方數(shù)的非負(fù)性，并掌握了開平方運(yùn)算，為這節(jié)課理解求根公式的應(yīng)用條件奠定了基礎(chǔ)。但部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了公式法后，仍然不理解為什么要學(xué)習(xí)，導(dǎo)致在后續(xù)的使用過程中，出現(xiàn)直接套用公式的現(xiàn)象?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程的判別式和求根公式的理解和應(yīng)用。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）學(xué)生能理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，掌握運(yùn)用公式法解一元二次方程的方法．

（2）在教師的指導(dǎo)下，經(jīng)歷觀察、推導(dǎo)、交流、歸納等活動(dòng)推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理與歸納總結(jié)的能力。

（3）通過理解為什么要學(xué)習(xí)公式法培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。探究公式過程中培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的習(xí)慣和與大家的合作交流意識(shí)。學(xué)生在探究習(xí)題過程中,體驗(yàn)黃金分割中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美及通過雷鋒雕像的研究滲透英雄主義的教育思想。2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能自己或依靠小組交流理解求根公式的推導(dǎo)過程，并能正確運(yùn)用公式對(duì)一元二次方程的根進(jìn)行計(jì)算。達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生思維可以經(jīng)歷連貫的探索過程，并自主發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)一元二次方程求根公式的方法，通過對(duì)公式的討論能進(jìn)一步培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)公式法的必要性，即“為什么要學(xué)習(xí)公式法”。能積極主動(dòng)的參與到課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)中并勇于提出自己的想法。在學(xué)習(xí)本節(jié)課后，能對(duì)數(shù)學(xué)中存在的美有新的認(rèn)識(shí)，感受到數(shù)學(xué)的美。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已掌握一元二次方程的一般形式，已學(xué)習(xí)了直接開平方法和配方法，對(duì)數(shù)的開方已積累了一定的經(jīng)驗(yàn)；但有少數(shù)學(xué)生對(duì)配方法解一元二次方程不熟練，其主要體現(xiàn)在：（1）不能準(zhǔn)確配方；（2）運(yùn)算不熟練，特別是化簡(jiǎn)二次根式。這兩點(diǎn)導(dǎo)致學(xué)生在對(duì)進(jìn)行配方時(shí)，可能無從下手，并對(duì)的開方計(jì)算有困難。在對(duì)方程進(jìn)行配方時(shí)，進(jìn)行到時(shí)，部分學(xué)生因?yàn)閷?duì)平方根定義沒有完全的理解和掌握,卻對(duì)配方流程化操作中的“配方-開方”過程已經(jīng)形成了定式思維，導(dǎo)致在沒有對(duì)正負(fù)性進(jìn)行討論的情況下，忽略符號(hào)問題直接開方，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，對(duì)有些學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn)。綜上所述，本節(jié)課的難點(diǎn)確定為：難點(diǎn)：正確地推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式，理解

對(duì)一元二次方程根的影響。四、教學(xué)支持條件分析以Powerpoint軟件為制作平臺(tái)，運(yùn)用超鏈接、圖片等多媒體手段直觀演示學(xué)習(xí)公式法的必要性及用配方法推導(dǎo)求根公式和運(yùn)用求根公式解一元二次方程的步驟等,邊播放邊講述,以達(dá)到形象化、具體化的目的。五、教學(xué)過程分析（5）教學(xué)過程。教學(xué)過程設(shè)計(jì)問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，回顧舊知1.2.請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍门浞椒ń鉀Q下面三個(gè)問題并說明解題過程。（1）（2）（3）觀察三個(gè)方程及它們的根，你們發(fā)現(xiàn)了什么？3.有沒有一種方法能讓我們更快速的求得一元二次方程的根呢？今天老師帶來一個(gè)工具，只要確定了一般形式中的、、的值，這個(gè)工具通過某種流程操作，就可以直接計(jì)算出方程的根，大家感興趣嗎？我們就以剛才三道題為例看看它的表現(xiàn)。4.在數(shù)學(xué)中，到底有沒有一種方法，可以讓我們避免像剛才那樣每解一個(gè)方程就要把這種重復(fù)性、大量的配方過程再做一遍的情況，而能達(dá)到像剛才工具一樣的效果：只要確定a、b、c的值，就能直接計(jì)算出方程的根呢？這就是我們今天要探究的內(nèi)容。二、合作交流，探究新知1、對(duì)一般形式的一元二次方程，你覺得可以用配方法求根嗎？有什么思路？2.試著用配方法求的根，在求解過程中有困難的同學(xué)可以與同桌交流或參考剛才做的具體數(shù)字系數(shù)方程的解題過程。2.以四人為一個(gè)小組，分別對(duì)、、三種情況下求出一元二次方程的根。哪位同學(xué)可以歸納一下，當(dāng)取不同范圍時(shí)，根的情況？觀察方程右邊的式子，由幾個(gè)字母組成？有什么限制條件？5.也就是說，只要我們保證，在這個(gè)情況下，方程的實(shí)根就可以用公式來表示，這個(gè)公式可以解決一類問題，它就是一元二次方程的求根公式。用求根公式解方程的方法叫做公式法，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。6.觀察公式的結(jié)構(gòu)，哪位同學(xué)能試著分析一下？三、學(xué)以致用，鞏固新知1.（1）利用根的判別式判斷方程根的情況。（2）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍是.1.用公式法解下列方程問：第2題在本節(jié)課前一部分我們有沒有接觸過？對(duì)比兩種解法，你認(rèn)為哪種更簡(jiǎn)單？在解決具體問題時(shí)要先分析選擇什么樣的解法比較合適。2（1）、本章引言中的問題，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部與下部的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感。按此比例，如果雕像的高為2m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？（精確到0.001）2（2）、題目中說到“雕像上部與下部的高度比，等于下部與全部的高度比”，這個(gè)比值大約是多少？3、大家還記得在本節(jié)課最開始時(shí)老師為大家展示的工具嗎？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家能猜出它的操作流程到底是什么嗎？四：小結(jié)收獲、布置作業(yè)1、學(xué)生談收獲。2、布置作業(yè)。鞏固型作業(yè)：習(xí)題21.2第五題、第十題提升型作業(yè)：1.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍是.2.方程是否還有其他的配方方法呢？五：閱讀材料阿貝爾定理教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)配方法解一元二次方程的思想及方法。教師及時(shí)的進(jìn)行總結(jié)和歸納。第三題讓一名學(xué)生上臺(tái)板演。板演學(xué)生對(duì)用配方法解具體系數(shù)的一元二次方程說明過程，有問題的地方教師及時(shí)補(bǔ)充或更正。教師操作“工具”，演示答案，并與學(xué)生一起進(jìn)行驗(yàn)證。教師提出問題，學(xué)生思考。教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考解決問題的辦法，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)求根公式的方法。一名同學(xué)在黑板上展示，教師巡視其他同學(xué)的完成情況并給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和引導(dǎo)。黑板上的同學(xué)完成后，口述過程，教師和學(xué)生一起分析，對(duì)有問題的地方教師指正。學(xué)生合作探究，教師及時(shí)了解討論的情況，對(duì)有困難的小組和個(gè)人進(jìn)行適時(shí)的點(diǎn)撥與幫助。學(xué)生歸納，教師點(diǎn)評(píng)。學(xué)生觀察后口答，教師注意引導(dǎo)。教師進(jìn)行說明，板書補(bǔ)充課題。給學(xué)生觀察和思考的時(shí)間，學(xué)生回答時(shí)教師進(jìn)行正確的引導(dǎo)和補(bǔ)充。學(xué)生口答思路，教師引導(dǎo)點(diǎn)評(píng)。完成后教師對(duì)兩題進(jìn)行歸納。第一題由教師提問，學(xué)生口答，教師板書規(guī)范解題格式，并帶領(lǐng)學(xué)生口頭歸納解題過程。后三小題要求學(xué)生仿照例1的格式獨(dú)立完成。其中第2題請(qǐng)一名同學(xué)上臺(tái)板書過程，完成后要求再次歸納出用公式法解題的過程，教師進(jìn)行流程圖展示。在完成過程中，教師注意觀察學(xué)生完成情況并進(jìn)行巡視指導(dǎo)點(diǎn)撥。第1、3兩題實(shí)物投影展示結(jié)果，教師點(diǎn)評(píng)。通過板書對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于第2題公式法較簡(jiǎn)單，教師及時(shí)給予歸納總結(jié)，對(duì)于不同的問題要注意選擇不同的方法。要求學(xué)生運(yùn)用公式法解決問題，在學(xué)生計(jì)算出方程兩根之后引導(dǎo)學(xué)生思考是不是兩個(gè)根都可以要，落腳點(diǎn)放在“實(shí)際問題需要考慮根的取舍情況”上。學(xué)生計(jì)算出0.618這個(gè)比值，教師對(duì)這個(gè)數(shù)字在數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行說明的同時(shí)，滲透英雄主義教育思想。教師展示完整流程，全班一起再次回顧公式法解題過程。讓學(xué)生談?wù)勥@節(jié)課學(xué)習(xí)的體會(huì)，回答過程中教師給予幫助，讓學(xué)生的語言表達(dá)更準(zhǔn)確。學(xué)生課后完成。學(xué)生朗讀，教師適時(shí)的提出問題，引發(fā)學(xué)生的思考。通過具體的數(shù)學(xué)問題中讓學(xué)生自然的對(duì)配方的思想和方法進(jìn)行回顧。過程中滲透了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想，并強(qiáng)調(diào)所有的方程只要化為的形式用現(xiàn)有的知識(shí)都可以對(duì)方程的根求解，再次鞏固了化歸的思想。以上內(nèi)容都為后續(xù)學(xué)習(xí)做了鋪墊。通過用配方法解決具體數(shù)字系數(shù)的一元二次方程讓學(xué)生回顧了配方法解題的具體步驟。為后續(xù)運(yùn)用配方法解決字母系數(shù)的一元二次方程做鋪墊。突破難點(diǎn)。通過提問讓學(xué)生通過觀察將落腳點(diǎn)放在根和系數(shù)上，直觀感受到系數(shù)對(duì)根有直接影響。為后續(xù)學(xué)習(xí)公式法研究一般形式的一元二次方程做鋪墊。更加重要的是讓學(xué)生自己感受到，只要有微小的系數(shù)變化，想要求得一元二次方程的根，就只能把一模一樣的流程化操作再進(jìn)行一遍，比較繁瑣。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的首先是引起學(xué)生探究的興趣，其次是為后續(xù)公式法的學(xué)習(xí)做鋪墊，即“需要化為一般形式；需要確定一般形式中的、、；需要通過某種流程操作”三個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生有初步的感受。這里是為了讓學(xué)生從直觀感受到理性的體會(huì)，全面認(rèn)識(shí)到“為什么”要學(xué)習(xí)公式法。由于前面問題的鋪墊，學(xué)生基本能想到需要把方程化為的形式再進(jìn)行開方去求解，實(shí)際上這就是運(yùn)用配方法求解，這個(gè)配方過程是在讓學(xué)生體會(huì)了觀察--歸納—類比的數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。學(xué)生親自體會(huì)公式推導(dǎo)的全過程，提高學(xué)生推理技能和邏輯思維能力從而提高自身的觀察能力、分析問題和解決問題的能力，在展示的同學(xué)直接進(jìn)行開方運(yùn)算時(shí)，個(gè)別學(xué)生發(fā)現(xiàn)要對(duì)進(jìn)行討論，這樣的環(huán)節(jié)培養(yǎng)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，讓每一名同學(xué)都對(duì)分類的必要性有了更加清晰的認(rèn)識(shí)。這種合作的形式將更多的時(shí)間留給學(xué)生，增加了這樣學(xué)生感覺到成功的機(jī)會(huì)，從而有一種積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，同時(shí)考慮到在小組合作交流時(shí)要關(guān)注到不同層次學(xué)生的發(fā)展，問題難度不一，使不同的學(xué)生在交流中都能體現(xiàn)自己的作用，小組成員共同提高。培養(yǎng)學(xué)生觀察--歸納的能力。第一個(gè)問題說明了根的結(jié)果由、、唯一確定，與引課中的問題呼應(yīng)。第二個(gè)問題培養(yǎng)學(xué)生的觀察和歸納能力，并再次潛移默化的強(qiáng)調(diào)使用公式法的前提是。從教師的語言表述中讓學(xué)生明白下面幾點(diǎn)：1.公式法使用前提為；2.公式法是一種通法，是可以解決一類問題的。一元二次方程求根公式的記憶對(duì)學(xué)生來說是難點(diǎn)。通過對(duì)結(jié)構(gòu)的分析，不但再次強(qiáng)調(diào)的重要性，而且為學(xué)生記憶公式提供了一種方法。此題設(shè)計(jì)目的有：1.讓學(xué)生直觀感受到判別式的意義，明白對(duì)一元二次方程而言，先用判斷根的情況是一個(gè)最佳方法；2.強(qiáng)調(diào)“有實(shí)根”代表兩種情況，即有兩個(gè)不相等或者相等的實(shí)根；3.通過將常數(shù)項(xiàng)由數(shù)字變字母的過程，再次讓學(xué)生體會(huì)“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。5.通過教師歸納，滲透了“充要條件”的概念，為后續(xù)幾何學(xué)習(xí)做鋪墊。第一題由學(xué)生自己說思路教師進(jìn)行補(bǔ)充更正并板書，起到示范作用。其他三小題交給學(xué)生自己完成，鞏固公式法的使用方法。在鞏固的過程中要求學(xué)生及時(shí)對(duì)解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。同時(shí)，學(xué)生上臺(tái)展示分享的過程中，建立了對(duì)數(shù)學(xué)的信心，加深了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，自信心得到充分滿足。此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)讓學(xué)生從實(shí)例中意識(shí)到學(xué)習(xí)公式法的必要性。數(shù)學(xué)來源于生活并最終服務(wù)于生活。本題設(shè)計(jì)在這里就是為了讓學(xué)生在對(duì)理論學(xué)習(xí)完成后能意識(shí)到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。這里對(duì)精確度的設(shè)計(jì)為下一步講解黃金分割做鋪墊。設(shè)計(jì)此環(huán)節(jié)，目的有3個(gè)：首先，是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)中的最美比例-黃金分割，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。其次，通過雕像運(yùn)用黃金分割去設(shè)計(jì)，告訴學(xué)生運(yùn)用黃金分割塑造了雷鋒的英雄美感，滲透英雄主義教育思想。最后，這里對(duì)黃金分割的了解為后續(xù)“黃金分割數(shù)”的閱讀思考做了鋪墊。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)不但呼應(yīng)了引課的內(nèi)容，并再一次回顧了用公式法解方程的一般過程。學(xué)生小結(jié)的過程實(shí)際上對(duì)所學(xué)知識(shí)從內(nèi)容、方法、思想等方面進(jìn)行梳理和再次鞏固。作業(yè)的布置是為了鞏固和升華本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)。其中提升型作業(yè)第一題有意將二次項(xiàng)系數(shù)設(shè)置為字母m，培養(yǎng)學(xué)生討論的思想。提升型作業(yè)的第二題開發(fā)學(xué)生思維，發(fā)展一題多解的思想，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)。設(shè)計(jì)此環(huán)節(jié)目的有三個(gè)：讓學(xué)生理解高次方程解法實(shí)際上就是通過降低化為低次方程，滲透化歸思想。激發(fā)有興趣的學(xué)生對(duì)高次方程進(jìn)行進(jìn)一步的了解。回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容----對(duì)公式法進(jìn)行探究。人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《21.2.2公式法》教學(xué)課評(píng)本節(jié)課的引入，一是通過復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用這種方法解一元二次方程的共性，二是通過找出一元二次方程一般式的系數(shù)，用計(jì)算器解這個(gè)一元二次方程，給學(xué)生設(shè)置懸念。這兩種方式的引入，能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白推導(dǎo)一元二次方程求根公式的必要性。在