排列、組合綜合應(yīng)用（答案版）

深圳外國語學(xué)校（集團）龍華高中部 高二同步學(xué)案編者：小二柴2024年3月26日第第頁排列組合綜合應(yīng)用一、例題講解題型一先選后排問題例1有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________種.答案：432題型二配對問題例2設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個小球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，將五個小球放入五個盒子中（每個盒子中放一個小球），⑴則恰有兩個小球和盒子編號相同的放法有多少種？⑵則恰有一個小球和盒子編號相同的放法有多少種？答案：20練習(xí)1：從5雙不同的襪子中任取4只，則恰有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？答案：120題型三相同元素問題例3現(xiàn)準(zhǔn)備將7臺型號相同的電腦分配給5所小學(xué)，每個學(xué)校至少1臺，則不同的分配方案共有（）A．13種B．15種C．20種D．30種答案：B練習(xí)2：有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有________種分配方案.答案：84練習(xí)3：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，則不定方程正整數(shù)解的組數(shù)為________．答案165解析問題相當(dāng)于將12個完全相同的小球放入4個不同的盒子，且每個盒子中至少放入1個小球，使用“隔板法”得不定方程正整數(shù)解的組數(shù)為Ceq\o\al(3,11)＝165.練習(xí)4：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，則不定方程自然數(shù)解的組數(shù)為________．答案455例4馬路上有七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案共有()A．60種B．20種C．10種D．8種答案C解析根據(jù)題意，可分為兩步：第一步，先安排四盞不亮的路燈，有1種情況；第二步，四盞不亮的路燈排好后，有5個空位，在5個空位中任意選3個，插入三盞亮的路燈，有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)情況．故不同的開燈方案共有10×1＝10(種)．練習(xí)5：某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)同時搶4個紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，4個紅包中有兩個2元，兩個5元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有（）A．36種 B．24種 C．18種 D．9種【來源】云南省保山一中2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試理數(shù)試卷【答案】C【分析】分三種情況：（1）都搶到2元的紅包（2）都搶到5元的紅包（3）一個搶到2元，一個搶到5元，由分類計數(shù)原理求得總數(shù)．【詳解】甲、乙兩人都搶到紅包一共有三種情況：（1）都搶到2元的紅包，有C32種；（2）都搶到5元的紅包，有C3【點睛】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，是根據(jù)得紅包情況進行分類．題型四古典概型與排列組合例5（2021全國甲卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【來源】2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為610故選：C.二、課后鞏固1．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.2.（2020新高考I卷）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【來源】2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題（山東卷）【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有C6然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法數(shù)有C5最后剩下的3名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有C6故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.3.（2021全國甲卷理）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．13 B．25 C．23【來源】2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題【答案】C【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有C51=5所以2個0不相鄰的概率為105+10故選：C.4．（2019全國乙卷）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）A．516 B．1132 C．2132【來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）【答案】A【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有26情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有C63，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為C【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．5．（2022新高考II卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【來源】2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!×2×2=24種不同的排列方式，故選：B6．受疫情影響，某學(xué)校按上級文件指示，要求錯峰放學(xué)，錯峰有序吃飯.高三年級一層樓六個班排隊，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有（）A．240種 B．120種 C．188種 D．156種【答案】B【分析】根據(jù)題意，按甲班位置分3種情況討論，求出每種情況下的安排方法數(shù)目，由加法原理計算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，按甲班位置分3種情況討論：（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩余的三個班全排列，安排到剩下的3個位置，有種情況，此時有種安排方案；（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情況有種，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有種情況，此時有種安排方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有種情況，此時有種安排方案；由加法計數(shù)原理可知共有種方案，故選：B【點睛】此題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7．某城市新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不能影響正常的照明，可以熄滅其中的3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，則熄燈的方法有（）A．種B．種C．種D．種答案：D8．為進一步規(guī)范電動自行車管理，某社區(qū)持續(xù)開展了兩輪電動車安全檢查和宣傳教育，為了解工作效果，該社區(qū)將四名工作人員隨機分派到A，B，C三個小區(qū)進行抽查，每人被分派到哪個小區(qū)互不影響，則三個小區(qū)中恰有一個小區(qū)未分配到任何工作人員的概率為（

）A．49 B．2027 C．1627【來源】廣東省廣州市番禺區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】D【分析】根據(jù)分組分配法求出分配方案數(shù)后，由古典概型概率公式計算出概率．【詳解】由題意知，每個人都有去三個小區(qū)的可能性，即總共有34三個小區(qū)中恰有一個小區(qū)未分配到任何工作人員，第一類，兩個小區(qū)分別為3人、1人，總共有C3第二類，兩個小區(qū)分別為2人、2人，總共有C3所以三個小區(qū)中恰有一個小區(qū)未分配到任何工作人員的概率為18+2481故選：D9．將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為（

）A．18 B．16 C．112【來源】【名校面對面】2022-2023學(xué)年高三大聯(lián)考（1月）理數(shù)試題【答案】B【分析】求出任意放球共有A5【詳解】由題得任意放球共有A5第一步：先從5個小球里選2個編號與所在的盒子相同，有C5第二步：不妨設(shè)選的是1、2號球，則再對后面的3，4，5進行排列，且3個小球的編號與盒子的編號都不相同，則有5,3,4,所以有2個小球與所在的盒子的編號相同，共有10×2=20種方法．由古典概型的概率公式得恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為P=20故選:B10.（多選）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1、A2、A3、A4、A5是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的5個交匯處，現(xiàn)在甲需要從道路網(wǎng)M出發(fā)，隨機選擇一條沿街的最短路徑走到NA．如果甲需要經(jīng)過A5，那么從M到NB．如果甲需要經(jīng)過A2，那么從M到NC．如果甲需要經(jīng)過A3，那么從M到ND．甲從M到N的線路一共有70條；【答案】BCD【分析】結(jié)合分步計數(shù)原理以及分類計數(shù)原理逐項分析即可求出結(jié)果.【詳解】如果甲需要經(jīng)過A5，那么從M到N如果甲需要經(jīng)過A2，從M到A2共有C41=4條，從A2到N共有C4如果甲需要經(jīng)過A3，從M到A3共有C42=6條，從A2到N共有C4因此從從M到N的線路有C8故選：BCD.11．（2020新高考II卷）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.【來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）【答案】36【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計數(shù)原理得解.【詳解】∵4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)∴先取2名同學(xué)看作一組，選法有：C現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：A根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法6×6=36種故答案為：36.【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.12.（2023新高考Ⅰ卷）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【來源】2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C4（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C4②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C4綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.故答案為：64.13．某班兩位老師和6名學(xué)生出去郊游，分別乘坐兩輛車，每輛車坐4人.若要求兩位老師分別坐在兩輛車上，共有種分配方法.【來源】福建省莆田市第七中學(xué)、第十一中學(xué)、第十五中學(xué)等校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】40【分析】選一位老師坐第一輛車，再選3名學(xué)生坐第一輛車，列式計算即得.【詳解】選一位老師坐第一輛車，共C21種選法，再選3名學(xué)生坐第一輛車，共余下的老師和3名學(xué)生坐第二輛車，所以不同的分配方法共有C2故答案為：4014.（教材28頁）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有________種不同情況．【答案】54【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故5人的名次排列可能有54種不同情況．15．某微信群中五人同時搶4個紅包，每人最多搶一個且紅包全部被搶完，已知4個紅包中有兩個2元，一個3元，一個5元（紅包中金額相同視為相同的紅包），則有種不同的情況.【來源】上海市七寶中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】60【分析】可分2步進行分析：①在5人中任選2人，搶兩個2元的紅包；②經(jīng)剩下的2個紅包分給剩下的3人中的2個人，最后由分步計數(shù)原理，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，可分2步進行分析：①在5人中任選2人，搶兩個2元的紅包，有C5②經(jīng)剩下的2個紅包分給剩下的3人中的2個人，有A3由分步計數(shù)原理可得，共有10×6=60種不同的情況．故答案為60.【點睛】本題主要考查了排列、組合及計數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中認真審題，合理分類是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（浙江卷）在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有__________種(用數(shù)字作答)．【答案】60【解析】試題分析：當(dāng)一，二，三等獎被三個不同的人獲得，共有