極坐標(biāo)與參數(shù)方程基本題型－一輪復(fù)習(xí)資料：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、普通方程與參數(shù)方程 的互相轉(zhuǎn)化

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化一、直角坐標(biāo)的伸縮設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′（x′,y′），稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換．平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來(lái)表示．在伸縮變換eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x,λ>0,y′＝μ·y，μ〉0）)下，直線仍然變成直線,拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓（重點(diǎn)考察）．【強(qiáng)化理解】1．曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后，對(duì)應(yīng)曲線的方程為：x2+y2=1,則曲線C的方程為(）A． B． C． D．4x2+9y2=1【解答】解：曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換①后,對(duì)應(yīng)曲線的方程為：x′2+y′2=1②，把①代入②得到：故選:A2、在同一直角坐標(biāo)系中，求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線4x2＋9y2＝36變成曲線x′2＋y′2＝1．【解答】解：設(shè)變換為φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy(μ>0），)）可將其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1．將4x2＋9y2＝36變形為eq\f(x2，9）＋eq\f(y2,4)＝1，比較系數(shù)得λ＝eq\f（1,3）,μ＝eq\f（1,2）．所以eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x′＝\f(1,3)x,，y′＝\f(1,2）y．）)將橢圓4x2＋9y2＝36上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f（1,3），縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f（1，2)，可得到圓x′2＋y′2＝1．＝1,與x′2＋y′2＝1對(duì)應(yīng)項(xiàng)比較即可得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x′＝\f（x,3),,y′＝\f（y,2）．）)3、（2015春?浮山縣校級(jí)期中）曲線x2+y2=1經(jīng)過(guò)伸縮變換后,變成的曲線方程是（）A．25x2+9y2=1 B．9x2+25y2=1 C．25x+9y=1 D．+=1【解答】解：由伸縮變換，化為,代入曲線x2+y2=1可得25（x′）2+9（y′）2=1，故選:A．二、極坐標(biāo)1.公式：（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表:點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式已知極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)已知直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化（1）點(diǎn)：有關(guān)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角轉(zhuǎn)化的思路A:直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的步驟=1\*GB3①運(yùn)用=2\＊GB3②在內(nèi)由求時(shí),由直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷點(diǎn)所在的象限．B：:極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的步驟，運(yùn)用直線：直線的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的思路A：直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)思路：直接利用公式，將式子里面的x和y用轉(zhuǎn)化，最后整理化簡(jiǎn)即可。例如:x+3y-2=0：用公式將x和y轉(zhuǎn)化，即B：極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)類(lèi)型①：直接轉(zhuǎn)化—-—直接利用公式轉(zhuǎn)化例如：ρ（eq\r（2)cosθ＋sinθ）＝1思路：第一步：去括號(hào),ρeq\r(2)cosθ＋ρsinθ＝1第二步：用公式轉(zhuǎn)化，即類(lèi)型②：利用三角函數(shù)的兩角和差公式，即思路：第一步：利用兩角和差公式把sin（θ±α)或cosθ±α)化開(kāi),特殊角的正余弦值化成數(shù)字,整理化簡(jiǎn)第二步：利用公式轉(zhuǎn)化例如：直線的極坐標(biāo)方程是解:第一步:利用兩角和差公式把sin（θ±α）或cosθ±α)化開(kāi)特殊角的正余弦值化成數(shù)字,整理化簡(jiǎn)，即第二步：第二步:利用公式轉(zhuǎn)化類(lèi)型③:，該直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(極點(diǎn)）,對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為例如：思路：直接代入(注：直線的直角坐標(biāo)方程一般要求寫(xiě)成一般式：Ax+By+C=0)曲線極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換（一）圓的直角與極坐標(biāo)互換1。圓的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)類(lèi)型一：詳解：一般要轉(zhuǎn)化成x、y都需要跟搭配,一對(duì)一搭配.所以兩邊同時(shí)乘以，即類(lèi)型二:沒(méi)有三角函數(shù)時(shí)，可以考慮兩邊同時(shí)平方圓的直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)解題方法一：拆開(kāi)—-公式代入解題方法二:代入-拆—合【強(qiáng)化理解】1。將下列點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)進(jìn)行互化．①將點(diǎn)M的極坐標(biāo)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（4，\f(14,3）π)）化成直角坐標(biāo)；②將點(diǎn)N的直角坐標(biāo)(4，－4eq\r（3)）化成極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ〈2π)．【解答】解:①∵x＝4coseq\f（14，3）π＝4coseq\f（2π,3）＝4×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)）)＝－2，y＝4sineq\f（14，3)π＝4sineq\f(2π，3）＝2eq\r（3），∴點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是(－2，2eq\r(3)）．②∵ρ＝eq\r（42＋(－4\r（3))2)＝8，tanθ＝eq\f(－4\r（3)，4)＝－eq\r（3)，θ∈0,2π)，又點(diǎn)(4，－4eq\r(3))在第四象限，∴θ＝eq\f(5π，3），∴對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(5π，3））)．2、將下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化．①y2＝4x； ②θ＝eq\f（π，3）（ρ∈R)；③ρ2cos2θ＝4； ④ρ＝eq\f(1,2－cosθ）．【解答】解：①將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得（ρsinθ）2＝4ρcosθ．化簡(jiǎn)得ρsin2θ＝4cosθ．②當(dāng)x≠0時(shí)，由于tanθ＝eq\f(y,x），故taneq\f(π，3)＝eq\f(y,x)＝eq\r(3），化簡(jiǎn)得y＝eq\r(3）x（x≠0)；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0．顯然（0,0)在y＝eq\r（3)x上,故θ＝eq\f(π，3）（ρ∈R)的直角坐標(biāo)方程為y＝eq\r(3）x．③因?yàn)棣?cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4．④因?yàn)棣眩絜q\f(1,2－cosθ），所以2ρ－ρcosθ＝1,因此2eq\r(x2＋y2)－x＝1，化簡(jiǎn)得3x2＋4y2－2x－1＝0．3．化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ﹣ρ=0為直角坐標(biāo)方程為（）A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1【解答】解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵,∴x2+y2=0或x=1，故選C．4．將曲線ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為（）A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=0【解答】解：由曲線ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0，及,可得x+2y﹣1=0．∴曲線ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x+2y﹣1=0．故選：B．5、在極坐標(biāo)系下，已知圓O:ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，4））)＝eq\f（\r(2），2)。，求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；【解答】解:（1）圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圓O的直角坐標(biāo)方程為:x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直線l：ρsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,4))）＝eq\f（\r(2)，2），即ρsinθ－ρcosθ＝1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為:y－x＝1，即x－y＋1＝0。三、參數(shù)方程1.必記的曲線參數(shù)方程已知條件普通方程參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0)，傾斜角為αeq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα,，y＝y(tǒng)0＋tsinα)）（α為參數(shù)）圓心在點(diǎn)M0（x0，y0)，半徑為req\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，，y＝y(tǒng)0＋rsinθ))（θ為參數(shù))長(zhǎng)半軸a和短半軸b橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞b＞0)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝acosθ，,y＝bsinθ)）(θ為參數(shù)）實(shí)軸a和虛軸b雙曲線eq\f（x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a＞0，b＞0）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(a，cosθ)，,y＝btanθ））（θ為參數(shù)）已知p拋物線y2＝2px（p＞0）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2pt2，,y＝2pt))參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程類(lèi)型一：含t的消參思路：含有t的參數(shù)方程消參時(shí)，想辦法把參數(shù)t消掉就可以啦，有兩個(gè)思路:思路一：代入消元法，把兩條式子中比較簡(jiǎn)單的一條式子轉(zhuǎn)化成t=f(x)或t=f(y），思路二:加減消元：讓含有t前面的系數(shù)相同或成相反數(shù)后相加減。例如：曲線C：解:思路一：代入消元:∵x＝2＋eq\f（\r（2)，2)t,∴eq\f(\r(2），2）t＝x－2,代入y＝1＋eq\f（\r(2），2）t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.思路二：加減消元:兩式相減，x－y－1＝0。類(lèi)型二：含三角函數(shù)的消參思路：三角函數(shù)類(lèi)型的消參一般的步驟就是：移項(xiàng)-化同—平方-相加移項(xiàng)：把除了三角函數(shù)的其他相加減數(shù)字移動(dòng)左邊化同：把三角函數(shù)前面的系數(shù)化成相同平方：兩道式子左右同時(shí)平方相加：平方后的式子進(jìn)行相加(注:有時(shí)候并不需要全部步驟）例如：圓eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝－2＋sinθ））消參數(shù)θ，化為普通方程是(x－1）2＋（y＋2)2＝1。解：移項(xiàng)：（三角函數(shù)前面系數(shù)已經(jīng)相同,省去化同，直接平方)平方：相加：參數(shù)方程涉及題型直線參數(shù)方程的幾何意義距離最值（點(diǎn)到點(diǎn)、曲線點(diǎn)到線、）【強(qiáng)