高三人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第六章不等式推理與證明第5節(jié)

第六章第5節(jié)[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號14577564)命題“有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是()A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但大前提錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤解析：C[由題目可知滿足“三段論”形式，但是大前提表述不正確而使結(jié)論錯誤．]2．(導(dǎo)學(xué)號14577565)由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：B[①②正確，③④⑤⑥錯誤．]3．(導(dǎo)學(xué)號14577566)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)解析：D[若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1,2)，即{dn}為等比數(shù)列．]4．(導(dǎo)學(xué)號14577567)(2018·渭南市一模)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，則這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列{an}，那么a10的值為()A．45 B．55C．65 D．66解析：B[由已知中：第1個圖中黑點有1個，第2個圖中黑點有3＝1＋2個，第3個圖中黑點有6＝1＋2＋3個，第4個圖中黑點有10＝1＋2＋3＋4個，…故第10個圖中黑點有a10＝1＋2＋3＋…＋10＝eq\f(10×11,2)＝55個．故選B.]5．(導(dǎo)學(xué)號14577568)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運算規(guī)則為0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝A．11010 B．01100C．10111 D．00011解析：C[對于選項C，傳輸信息是10111，對應(yīng)的原信息是011，由題目中運算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應(yīng)是10110.]6．(導(dǎo)學(xué)號14577569)(理科)(2018·咸陽市二模)觀察下列式子：eq\r(1×2)<2，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)<eq\f(9,2)，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)<8，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)＋eq\r(4×5)<eq\f(25,2)，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n個不等式是____________.解析：根據(jù)所給不等式可得第n個不等式是eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n×n＋1)<eq\f(n＋12,2).答案：eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n×n＋1)<eq\f(n＋12,2)6．(導(dǎo)學(xué)號14577570)(文科)(2018·濰坊市一模)觀察式子1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)…，則可歸納出1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<________.解析：根據(jù)題意，每個不等式的右邊的分母是n＋1.不等號右邊的分子是2n＋1，∴1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)(n≥1)答案：eq\f(2n＋1,n＋1)(n≥1)7．(導(dǎo)學(xué)號14577572)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________.解析：由題意知，凸函數(shù)滿足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)8．(導(dǎo)學(xué)號14577573)(理科)(2018·日照市一模)在計算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”時，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項：k(k＋1)＝eq\f(1,3)[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]由此得1×2＝eq\f(1,3)(1×2×3－0×1×2)，2×3＝eq\f(1,3)(2×3×4－1×2×3)，…，n(n＋1)＝eq\f(1,3)[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2)．類比上述方法，請你計算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)”，其結(jié)果為____________.解析：∵n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,4)[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]，∴1×2×3＝eq\f(1,4)(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝eq\f(1,4)(2×3×4×5－1×2×3×4)，…，n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,4)[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]，∴1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,4)[(1×2×3×4－0×1×2×3)＋(2×3×4×5－1×2×3×4)＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)－(n－1)×n×(n＋1)×(n＋2)＝eq\f(1,4)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)．答案：eq\f(1,4)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)8．(導(dǎo)學(xué)號14577574)(文科)(2018·菏澤市一模)a1＝eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,3)(1－a1)＝eq\f(1,6)；a3＝eq\f(1,4)(1－a1－a2)＝eq\f(1,12)；a4＝eq\f(1,5)(1－a1－a2－a3)＝eq\f(1,20)；…照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時，an＝___________.解析：a1＝eq\f(1,2)；a2＝eq\f(1,3)(1－a1)＝eq\f(1,6)；a3＝eq\f(1,4)(1－a1－a2)＝eq\f(1,12)；a4＝eq\f(1,5)(1－a1－a2－a3)＝eq\f(1,20)；…；照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時，an＝eq\f(1,n＋1)(1－a1－a2－…－an－1)＝eq\f(1,nn＋1).答案：eq\f(1,nn＋1)[能力提升組]9．(導(dǎo)學(xué)號14577575)(2017·安徽江淮十校三聯(lián))我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定出來x＝2，類似地不難得到1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2) D.eq\f(1－\r(5),2)解析：C[1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(x＝eq\f(1－\r(5),2)舍)，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.]10．(導(dǎo)學(xué)號14577576)已知結(jié)論：“在正△ABC中，若D是邊BC的中點，G是△ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體A－BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：C[如圖設(shè)正四面體的棱長為1，則易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時易知點O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)，r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3.]

11．(導(dǎo)學(xué)號14577577)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析：B[依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有eq\f(nn＋1,2)個“整數(shù)對”，注意到eq\f(10×10＋1,2)＜60＜eq\f(11×11＋1,2)，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各對數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7)，選B.]12．(導(dǎo)學(xué)號14577578)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，其面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r＝eq\f(2S,a＋b＋c).這是一道平面幾何題，其證明方法是“等面積法”．請用類比推理的方法猜測對空間四面體ABCD存在的類似結(jié)論為________.解析：由題意可得，題目要求寫出類似的結(jié)論，則在保證該結(jié)論正確的前提下，盡量在語言表達上與前面的結(jié)論一致．本題體現(xiàn)了平面幾何與立體幾何在如下詞語上的對應(yīng)：“△ABC”與“四面體ABCD”，“邊長”與“表面面積”，“面積”與“體積”，“內(nèi)切圓”與“內(nèi)切球”，這是結(jié)構(gòu)上的類比．再者，本題也體現(xiàn)了方法上的類比，即等面積法推理到等體積法，同樣是將整體分割成幾個小的部分，然后利用體積不變得出結(jié)論，即V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，從而r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：已知空間四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，其體積為V，則四面體的內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).13．(導(dǎo)學(xué)號14577579)(理科)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如下圖1所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形．近年來國外也逐漸承認(rèn)這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinesetriangle)如圖1,17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如下圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式：Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r＋1,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1)，其中n是行數(shù)，r∈N.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是________.1112113311464115101051…Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)…Ceq\o\al(r,n)…Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n)圖1eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,30)eq\f(1,60)eq\f(1,60)eq\f(1,30)eq\f(1,6)…eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(0,n))eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(1,n))…eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(r,n))…eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(n－1,n))eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(n,n))圖2解析：類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)eq\f(1,C\o\al(1,n＋1))，而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù)，所以類比式子Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r＋1,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1)，有eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(r,n))＝eq\f(1,C\o\al(1,n＋2)C\o\al(r,n＋1))＋eq\f(1,C\o\al(1,n＋2)C\o\al(r＋1,n＋1)).答案：eq\f(1,C\o\al(1,n＋1)C\o\al(r,n))＝eq\f(1,C\o\al(1,n＋2)C\o\al(r,n＋1))＋eq\f(1,C\o\al(1,n＋2)C\o\al(r＋1,n＋1))13．(導(dǎo)學(xué)號14577580)(文科)如圖所示，將正整數(shù)從小到大沿三角形的邊成螺旋狀排列起來，2在第一個拐彎處，4在第二個拐彎處，7在第三個拐彎處，……，則在第二十個拐彎處的正整數(shù)是________.解析：觀察題圖可知，第一個拐彎處2＝1＋1，第二個拐彎處4＝1＋1＋2，第三個拐彎處7＝1＋1＋2＋3，第四個拐彎處11＝1＋1＋2＋3＋4，第五個拐彎處16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：拐彎處的數(shù)是從1開始的一串連續(xù)正整數(shù)相加之和再加1，在第幾個拐彎處，就加到第幾個正整數(shù)，所以第二十個拐彎處的正整數(shù)就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.答案：21114．(導(dǎo)學(xué)號14577581)(理科)閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ①，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ②，由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ③.令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③得sinA＋sinB＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A－B,2).(1)類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2)；(2)若△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足cos2A－cos2B＝1－cos2C，試判斷△ABC(提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論)解：(1)證明：因為cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③得cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2).(2)由二倍角公式，cos2A－cos2B＝1－cos21－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2所以sin2A＋sin2C＝sin2設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．14．(導(dǎo)學(xué)號14577582)(文科)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證