線性代數(shù)行列式與克拉默法則

關(guān)于線性代數(shù)行列式與克拉默法則教學(xué)要求：1.了解行列式的定義和性質(zhì);2.掌握三階、四階行列式的計算法，會計算簡單的n階行列式;3.了解排列與對換;4.會用克拉默(Gramer)法則解線性方程組.第2頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第3頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義1.

二階行列式定義為主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算第4頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義2.

三階行列式定義為三階行列式的計算---對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．第5頁,共65頁，2024年2月25日，星期天說明1.

對角線法則只適用于二階與三階行列式．

2.

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).考察三階行列式如下：第6頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義3.

代數(shù)余子式剩下的元素按原來的排法構(gòu)成一個新的行列式第8頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義4.

是一個算式，且第9頁,共65頁，2024年2月25日，星期天注意：行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項乘積都是由行列式中位于不同行不同列的元素構(gòu)成的.(3)定義4中行列式按第一行展開，同樣也可按第一列展開，甚至按行列式中任意行或列展開.

由此可計算一些行列式.Example1.第10頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Proof.（數(shù)學(xué)歸納法）第11頁,共65頁，2024年2月25日，星期天不是對角行列式，第12頁,共65頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.第13頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例如推論如果行列式有兩行(列)完全相同,則行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.第14頁,共65頁，2024年2月25日，星期天推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明注意與矩陣數(shù)乘運算的區(qū)別,第15頁,共65頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5

若行列式D的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和:則D等于下列兩個行列式之和：例如第16頁,共65頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第17頁,共65頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)7.行列式按行（列）展開法則下面證明:證第18頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共65頁，2024年2月25日，星期天相同同理第20頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共65頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)8.Laplace定理(2)

Laplace定理第22頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共65頁，2024年2月25日，星期天為方便起見，引用以下符號：其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過將行列式化為三角行列式來計算行列式的值.第24頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第25頁,共65頁，2024年2月25日，星期天ex3.已知204,527,255三數(shù)都能被17整除，不計算行列式的值，證明三階行列式也能被17整除.Solution.第26頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第27頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第29頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.其二、當(dāng)行列式各行(列)元素之和相同時，應(yīng)先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考慮.第30頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第31頁,共65頁，2024年2月25日，星期天故原方程的解為第32頁,共65頁，2024年2月25日，星期天思考其三、根據(jù)行列式的特點，利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行(列)化出盡量多的0元素，然后由定義按該行(列)展開.第33頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第34頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第35頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共65頁，2024年2月25日，星期天其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時，可利用數(shù)學(xué)歸納法計算或證明行列式的值.第38頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.（數(shù)學(xué)歸納法）第39頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共65頁，2024年2月25日，星期天這個行列式稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，可見Vandermonde（范德蒙）行列式為零的充要條件是注意不是Vandermonde行列式第41頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解法1其五、先用展開或拆項等方法，將原行列式表成低階同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果.第42頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解法2第44頁,共65頁，2024年2月25日，星期天其六.當(dāng)行列式為三線非0行列式時，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式來計算.

第45頁,共65頁，2024年2月25日，星期天其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一行一列.用于主對角線上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.第46頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第47頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第48頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Solution.第49頁,共65頁，2024年2月25日，星期天五.分塊矩陣的行列式①②③第50頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義1.如2431是一個4級排列.定義2.在一個排列中,如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱為一個逆序,一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù).第51頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例如排列32514中，32514逆序逆序逆序32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.第52頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義3.逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.定義4.在一個排列中某兩個數(shù)的位置調(diào)換，而其余的數(shù)不動，從而構(gòu)成一個新的排列，這種調(diào)換叫做對換.將相鄰兩個數(shù)字對換，叫做相鄰對換.結(jié)論1.對換改變排列的奇偶性.第53頁,共65頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論2.關(guān)于n階行列式的另一定義第54頁,共65頁，2024年2月25日，星期天ex14.已知Solution.含的項有兩項,即在中對應(yīng)于第55頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共65頁，2024年2月25日，星期天1.線性方程組當(dāng)方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同時,線性方程組的形式為:則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.第57頁,共65頁，2024年2月25日，星期天2.Gramer法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即第58頁,共65頁，2024年2月25日，星期天那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為其中是把系數(shù)行列式

中第j

列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n

階行列式，即第59頁,共65頁，2024年2月25日，星期天證明在把個方程依次相加，得第60頁,共65頁，2024年2月25日，星期天由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時,方程組(2)有唯一的一個解第61頁,共65頁，2024年2月25日，星期天由于方程組與方程組等價,故也是方程組(1)的解.3.重要定理定理1.

如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于0，則方程組一定有解，且解是唯一的.定理2.

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為0.第62頁,共65頁，2