畢業(yè)論文-解二次函數(shù)常見錯誤

第8頁共9頁第9頁共9頁解二次函數(shù)常見錯誤摘要：本論文對解二次函數(shù)常見錯誤進行了介紹與分析，在此基礎(chǔ)上,探討了正確的解法，總結(jié)出了一些解二次函數(shù)時利用的比較巧妙的方法。關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；常見錯誤；解法中圖分類號：O21文獻標(biāo)識：A引言：中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，二次函數(shù)占有重要的地位，不管在代數(shù)中，解析幾何中，利用此函數(shù)的機會特別多；同時各種數(shù)學(xué)思想如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，等價轉(zhuǎn)換的思想利用二次函數(shù)作為載體，展現(xiàn)的最為充分。學(xué)好二次函數(shù)十分重要，對學(xué)生來說熟練掌握二次函數(shù)和解決有關(guān)二次函數(shù)的問題也是有一定的難度。二次函數(shù)作為高考的重點內(nèi)容之一，經(jīng)久不衰，而且?？汲Ｐ隆６魏瘮?shù)為核心或歸宿的試題，形式多樣。因此，深刻理解二次函數(shù)解析式的不同表現(xiàn)形式，及其彼此的關(guān)系，掌握靈活運用這些關(guān)系式的技巧，增強解答二次函數(shù)相關(guān)問題的能力，式提高高考數(shù)學(xué)成績的一項基本本功。本文就對解二次函數(shù)常見錯誤進行了簡單的介紹與分析，進一步介紹了正確的解法，以便幫助我們更好的理解和把握解二次函數(shù)的概念，準(zhǔn)確求出二次函數(shù)的解?？偨Y(jié)出了一些利用解二次函數(shù)時比較巧妙的方法，便于學(xué)生在今后的解題過程中作為參考，能在較短的時間內(nèi)找到解決的思考點和突破口，提高噓聲的做題效率與解題能力。練好這個基本功，已從系統(tǒng)認(rèn)識，掌握二次函數(shù)的解和圖像入手，通過適量和高率的解題訓(xùn)練，掌握各種數(shù)學(xué)變換和問題轉(zhuǎn)化的技術(shù)，以求達到訓(xùn)練駕所學(xué)知識快速有效解題的目標(biāo)。內(nèi)容概述:定義：二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射AB，使得集合B中的元素與集合A的元素對應(yīng)，記為這里表示對應(yīng)法則，又表示定義域的元素在值域中的象。下面我們討論解二次函數(shù)過程中經(jīng)常遇到的幾個方面的錯誤與它的分析和正確解法：一、？錯解，所以頂點坐標(biāo)剖析：此題學(xué)生用配方法求頂點坐標(biāo)，錯誤就發(fā)生在配方過程中，沒有詳細地書寫過程，在提取公因數(shù)2的時候一次項沒提出來，這是因為學(xué)生心算的過程多急于求成才產(chǎn)生的錯誤。正解：得頂點坐標(biāo)（-1，-2）。例2在平面直角坐標(biāo)系中，點A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0,），點B在x軸上。已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B，C三點，且它的對稱軸為直線x=1。則求該二次函數(shù)的解析式且找出B的坐標(biāo)；

錯解：由題意可設(shè)圖像經(jīng)過點剖析：此題學(xué)生在解的過程中由于把A，C兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式時，沒有統(tǒng)一書寫格式，導(dǎo)致在用加減法解方程組時，符號錯了。當(dāng)然有些同學(xué)由于計算能力不過一成的情況下，也犯了以上的錯誤。正解：有題意可設(shè)，圖像經(jīng)過有a,k的值，我們很容易能寫出二次函數(shù)的解析式與B的坐標(biāo)。有部分學(xué)生因為不注意書寫格式的規(guī)范性和解題步驟的完整性，出現(xiàn)這樣那樣的錯誤。有的學(xué)生在比較重要的考試中解最后一題的壓軸題時，因解題步驟不完整，導(dǎo)致失分；有的由于第1小題書寫不規(guī)范，導(dǎo)致錯誤，有的同學(xué)在做后面的小題時，因抄錯而不得分，留下了多少遺憾和痛心疾首。所以我們解二次函數(shù)的時候一定注意這些錯誤點。二、思想忽視而引起的知識性錯誤1.忽視二次項系數(shù)出錯當(dāng)為何值時，是關(guān)于x的二次函數(shù)？錯解：根據(jù)二次函數(shù)的概念，得=0得： 所以當(dāng)或時，函數(shù)是二次函數(shù)。剖析：根據(jù)二次函數(shù)的定義，給定的函數(shù)必須同時滿足①自變量的最高次冪2;②二次項系數(shù)不等于零。上述錯解中只考慮了第一個條件，而忽視了第二個條件。這是概念不清所致。要使是二次函數(shù)，m必須滿足兩個條件：（1）（2）兩者缺一不可。正解：根據(jù)提意，，解得：m=3所以當(dāng)m=3時是二次函數(shù)。2.忽視二次函數(shù)增減性的范圍出錯例4已知點，，在函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）。錯解：因為，所以故選C.剖析：對于函數(shù)的增減性應(yīng)按x≥2和x≤2來分類討論，當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而減小，因為-5<1<2，所以．對于對稱軸兩側(cè)的x值，應(yīng)根據(jù)它到對稱軸的距離來比較函數(shù)值的大?。驗?，所以．所以．正解：故選B3.忽視自變量的取值范圍產(chǎn)生錯誤例5已知,當(dāng)（2≤x≤5）時，求它的最大值與最小值．錯解：因為函數(shù)的圖象開口向上，頂點坐標(biāo)是（0，1），所以函數(shù)的最小值為1，此函數(shù)沒有最大值．剖析：函數(shù)與函數(shù)（2≤x≤5）的圖象不同，函數(shù)（2≤x≤5）的圖象是函數(shù)圖象的一部分．對于,自變量的取值是全體實數(shù)，它的函數(shù)有最小值，沒有最大值,當(dāng)自變量的取值限定在一定的范圍內(nèi)時,函數(shù)的最值可能要發(fā)生一定的變化．正解：因為當(dāng)x≥0時，y隨x的增大而增大，所以（2≤x≤5）中，當(dāng)x=2時，函數(shù)的最小值為5；當(dāng)x=5時，函數(shù)的最大值為26．4.忽視隱含條件所產(chǎn)生錯誤例6已知拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)恰為一直角三角形令銳角的正弦值，求k的值。錯解：設(shè)兩交點為：,,而,解得：。剖析直角三角形兩銳角的正弦，不僅隱含關(guān)系“平方和等于1”，還隱含取值范圍，上述錯解忽視了取值范圍這個隱含條件。正解同上求得：。，，則，，。學(xué)生在思想上的忽視反映了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握不夠扎實，由此產(chǎn)生的運算錯誤的原因常常是概念模糊，公式、法則遺忘、混淆及運用呆板的結(jié)果。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基礎(chǔ)，“無知者無能”，沒有數(shù)學(xué)知識的人不可能有數(shù)學(xué)能力。所以，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握基礎(chǔ)知識是培養(yǎng)學(xué)生運算能力和掌握數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)。三、在解題技巧上因數(shù)學(xué)思想意識缺乏而導(dǎo)致解題錯誤例7心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與接受時間（分）存在關(guān)系式，其中y的值越大，表示接受能力越強。（1）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步提高？（2）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步降低？錯解：當(dāng)時，學(xué)生的接受能力逐步提高；當(dāng)時，學(xué)生的接受能力逐步降低。剖析：此題中的自變量本身有一定范圍限制，討論函數(shù)值變化的情況要考慮對稱軸和開口方向，還需要結(jié)合圖象找到準(zhǔn)確的范圍。此題如果不運用數(shù)形結(jié)合思想，畫出拋物線的圖示，回答正確的難度較大。很多學(xué)生都干脆不去考慮這個自變量取值范圍。正解：當(dāng)0≤≤13時學(xué)生的接受能力逐步提高；當(dāng)13≤≤30學(xué)生的接受能力逐步降低。例8在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線不動，將x軸、y軸分別向上、向右平移兩個單位長度，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（）A、B，C、D，錯解：選（A）．剖析：寫出平移后得到的函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，因為函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（0，0），將X軸、Y軸分別向上、向右平移兩個單位長度，根據(jù)運動的相對性，可以把這題的條件轉(zhuǎn)化成拋物線分別向下和向左平移兩個單位長度，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律，得到的函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（-2，-2），由于平移前后函數(shù)圖象的開口大小和方向不變，所以得到的二次函數(shù)的關(guān)系式為。學(xué)生往往由于審題不清或者經(jīng)驗主義和思維定勢，誤將題目看成是拋物線的平移，有些同學(xué)即使看到了不同也因為缺少了轉(zhuǎn)化思想，不知所措，無從下手。正解：選（B）例9已知拋物線觀點的頂點在坐標(biāo)軸上,試求a的值.

錯解:∵拋物線=∴頂點坐標(biāo)為，由題意可知=0，則a=±4剖析：坐標(biāo)軸包括x軸和y軸，錯解只考慮了一種情況，解答此題需分兩種情況進行分類討論，顯然學(xué)生分類思想完整性不足。正解：=∴頂點坐標(biāo)為，當(dāng)頂點在x軸上時∴a=±4。當(dāng)頂點在y軸上時，a=0∴a=±4或a=0要使學(xué)生形成與發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力，除了理解、掌握有關(guān)概念、公式、法則外，還要進行科學(xué)系統(tǒng)的技能訓(xùn)練。技能訓(xùn)練是通過課內(nèi)外的數(shù)學(xué)練習(xí)來進行的。要使訓(xùn)練科學(xué)、合理、有效，在組織學(xué)生練習(xí)時，一般應(yīng)注意以下幾個方面：（1）訓(xùn)練必須有序：運算技能的訓(xùn)練應(yīng)經(jīng)過三個階段：第一，模仿練習(xí)階段；這一階段，教師所選的習(xí)題難度不要太高，變化不大，要求學(xué)生按照習(xí)得的步驟和法則進行運算；第二變式練習(xí)階段，習(xí)題難度適當(dāng)提高，習(xí)題形式應(yīng)該變化。第三，綜合練習(xí)階段，此時可選擇具有一定難度的綜合題，訓(xùn)練學(xué)生確定運算方向、靈活運用法則的能力。（2）訓(xùn)練時間、訓(xùn)練量必須適中，教師應(yīng)根據(jù)自己學(xué)生的總體水平以及運算能力，準(zhǔn)確把握每一階段的訓(xùn)練量，在完成一個階段的練習(xí)后及時進入下個階段的訓(xùn)練。（3）讓學(xué)生及時了解練習(xí)的效果，及時糾正練習(xí)中的錯誤。首先教師要針對學(xué)生中普遍出現(xiàn)的錯誤進行原因診斷；其次，要采取有效的方法幫助學(xué)生糾正錯誤。在教學(xué)中，教師應(yīng)想方設(shè)法讓學(xué)生自己意識到運算的錯誤及錯誤的原因，然后主動去糾正錯誤。四、用判別式法求值域常見錯誤辨析判別式法是求函數(shù)值域的重要方法之一,它主要適用于分式型二次函數(shù)’或可通過換元法轉(zhuǎn)化為分式型二次函數(shù)的一些函數(shù)求值域問題,判別式法的理論依據(jù)是:任何一個函數(shù)的定義域應(yīng)是非空數(shù)集,故將原函數(shù)看成關(guān)于的方程應(yīng)有實數(shù)解,從而求出的值域,判別式法雖然用起來很方便,但如果不加注意,卻又很容易產(chǎn)生錯誤,下面就大家容易出錯的情形舉例加以說明1.忽視對二次方程的二次項系數(shù)加以討論例10求函數(shù)的值域。錯解，①因為方程①是關(guān)于的方程，有實根的充分條件是，或，原函數(shù)的值域為。剖析事實上，當(dāng)即時，方程①不再是關(guān)于的二次函數(shù)了，就不能再用判別式。正解①當(dāng)即時，方程①為，恒不成立；當(dāng)即時，或且，綜上，得原函數(shù)的值域為。2.分子分母有公因式不能轉(zhuǎn)化為二次方程則不能用判別式法；例11求函數(shù)的值域。錯解①②當(dāng)即時，由②得；當(dāng)，即時，，得R,綜上可得，原函數(shù)的值域為。剖析事實上，當(dāng)，即時，解得，而當(dāng)時原函數(shù)沒有意義，故，產(chǎn)生錯誤的原因在于，當(dāng)時，的值等于零，所以是方程②的根，但不屬于原函數(shù)的定義域，所以方程②與方程①不同解，故函數(shù)不能轉(zhuǎn)化為二次方程，用二次方程的理論行不同。本題正確的解法是：原函數(shù)可化為，即。又，，原函數(shù)的值域為教師在教各種接題方法時，不僅要是學(xué)生會用這種方法，同時又要讓學(xué)生知道這種方法的適用范圍，以及應(yīng)該注意那些常見錯誤，有哪些局限性，這樣避免學(xué)生盲目套用，也會使學(xué)生在出現(xiàn)錯誤時加以糾正，只要這樣，學(xué)生才算是真正掌握種種方法了?？偨Y(jié)：本論文主要討論了解二次函數(shù)題常見錯誤，更進步討論產(chǎn)生錯誤的主要原因并系統(tǒng)的指出了該題的正確解法。解二次函數(shù)時要注意給定二次函數(shù)的有關(guān)條件，且要掌握二次函數(shù)的概念，性質(zhì)，圖像性質(zhì)，系數(shù)關(guān)系，判別式的應(yīng)用，值域，定義域等關(guān)鍵點，我們可以有效的避免一些錯誤。另一個重點是解題時一定要正確的思想來求解。參考文獻：[1]楊世明.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù).青島海洋大學(xué)出版社[M],1998.[2]陸興元