數(shù)列與級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式與求和公式

數(shù)列與級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式與求和公式contents目錄數(shù)列基本概念與性質(zhì)通項(xiàng)公式求解方法級(jí)數(shù)基本概念與性質(zhì)求和公式推導(dǎo)與應(yīng)用典型例題分析與解答技巧數(shù)列基本概念與性質(zhì)01按照一定順序排列的一列數(shù)。數(shù)列定義根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的變化規(guī)律，可分為等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等。數(shù)列分類數(shù)列定義及分類03求和公式Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其中Sn為前n項(xiàng)和。01定義等差數(shù)列是一個(gè)常數(shù)差的數(shù)列，即任意兩個(gè)相鄰的項(xiàng)的差相等。02通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)。等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列是一個(gè)常數(shù)比的數(shù)列，即任意兩個(gè)相鄰的項(xiàng)的比相等。定義an=a1*q^(n-1)，其中a1為首項(xiàng)，q為公比，n為項(xiàng)數(shù)。通項(xiàng)公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn為前n項(xiàng)和，q≠1。求和公式010203等比數(shù)列性質(zhì)每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)加上一個(gè)常數(shù)。算術(shù)數(shù)列每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)乘以一個(gè)常數(shù)。幾何數(shù)列每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的倒數(shù)加上一個(gè)常數(shù)。調(diào)和數(shù)列每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和。斐波那契數(shù)列常見特殊數(shù)列通項(xiàng)公式求解方法02觀察法求解通項(xiàng)公式觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，猜測(cè)通項(xiàng)公式。驗(yàn)證猜測(cè)的通項(xiàng)公式是否適用于數(shù)列的所有項(xiàng)。根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，逐步推導(dǎo)通項(xiàng)公式。利用已知的初始條件，求解通項(xiàng)公式中的常數(shù)。遞推關(guān)系式法求解通項(xiàng)公式VS對(duì)于形如$a_{n+1}=pa_n+q$的線性遞推關(guān)系式，可以通過求解特征方程$x=pcdotx+q$得到特征根。利用特征根將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，進(jìn)而求解通項(xiàng)公式。特征根法求解通項(xiàng)公式對(duì)于形如$a_{n+1}-a_n=f(n)$的遞推關(guān)系式，可以采用累加法，將等式兩邊分別累加得到通項(xiàng)公式。對(duì)于形如$frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$的遞推關(guān)系式，可以采用累乘法，將等式兩邊分別累乘得到通項(xiàng)公式。累加累乘法求解通項(xiàng)公式級(jí)數(shù)基本概念與性質(zhì)03級(jí)數(shù)定義級(jí)數(shù)是指將數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次相加所得到的和，記作∑an。要點(diǎn)一要點(diǎn)二級(jí)數(shù)分類根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)，級(jí)數(shù)可分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)等。級(jí)數(shù)定義及分類通過比較正項(xiàng)級(jí)數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)，來判斷其收斂性。比較判別法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的比值來判斷其收斂性。比值判別法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的n次方根來判斷其收斂性。根值判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法萊布尼茨判別法適用于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，通過判斷級(jí)數(shù)的差分序列是否單調(diào)收斂于0來判斷原級(jí)數(shù)的收斂性。阿貝爾判別法適用于部分和有界的級(jí)數(shù)，通過判斷級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否單調(diào)趨于0來判斷原級(jí)數(shù)的收斂性。狄利克雷判別法適用于部分和有界且通項(xiàng)單調(diào)趨于0的級(jí)數(shù)，通過判斷級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否滿足一定條件來判斷原級(jí)數(shù)的收斂性。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法對(duì)于冪級(jí)數(shù)∑an(x-x0)^n，其收斂半徑R定義為滿足|x-x0|<R時(shí)級(jí)數(shù)收斂的最大正數(shù)R。對(duì)于冪級(jí)數(shù)∑an(x-x0)^n，其收斂域定義為使得級(jí)數(shù)收斂的x的取值范圍，即|x-x0|≤R的x的集合。收斂半徑收斂域級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域求和公式推導(dǎo)與應(yīng)用04等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)及應(yīng)用舉例等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$為首項(xiàng)，$d$為公差。對(duì)于前$n$項(xiàng)和$S_n$，有$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)=frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$。等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)求等差數(shù)列$1,3,5,ldots,99$的前$n$項(xiàng)和。根據(jù)等差數(shù)列求和公式，有$S_n=frac{n}{2}(1+99)=frac{n}{2}times100=50n$。應(yīng)用舉例等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1timesq^{(n-1)}$，其中$a_1$為首項(xiàng)，$q$為公比。對(duì)于前$n$項(xiàng)和$S_n$，當(dāng)$qneq1$時(shí)，有$S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$；當(dāng)$q=1$時(shí)，有$S_n=na_1$。應(yīng)用舉例求等比數(shù)列$1,2,4,ldots,2^{n-1}$的前$n$項(xiàng)和。根據(jù)等比數(shù)列求和公式，有$S_n=frac{1times(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)及應(yīng)用舉例裂項(xiàng)相消法求和公式對(duì)于形如$frac{1}{atimesb}$的分?jǐn)?shù)，可以將其拆分為$frac{A}{a}-frac{B}$的形式，其中$A,B$為待定系數(shù)。通過求解方程組確定系數(shù)后，可以將原數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)列求和。應(yīng)用舉例求數(shù)列$frac{1}{1times2},frac{1}{2times3},ldots,frac{1}{n(n+1)}$的前$n$項(xiàng)和。根據(jù)裂項(xiàng)相消法，有$frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$。因此，原數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$(1-frac{1}{2})+(frac{1}{2}-frac{1}{3})+ldots+(frac{1}{n}-frac{1}{n+1})=1-frac{1}{n+1}=frac{n}{n+1}$。裂項(xiàng)相消法求和公式及應(yīng)用舉例對(duì)于形如${a_ntimesb^n}$的等比乘等差數(shù)列，可以采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和。首先將原數(shù)列的每一項(xiàng)乘以公比并錯(cuò)位排列，然后與原數(shù)列相減得到一個(gè)新的等比數(shù)列，最后求解該等比數(shù)列的和即可得到原數(shù)列的和。錯(cuò)位相減法求和公式求數(shù)列${ntimes2^n}$的前$n$項(xiàng)和。設(shè)原數(shù)列為${a_n}$，其中$a_n=ntimes2^n$。首先構(gòu)造一個(gè)錯(cuò)位數(shù)列${b_n}$，其中$b_n=(n-1)times2^{n+1}$。然后將兩個(gè)數(shù)列相減得到一個(gè)新的等比數(shù)列${c_n}$，其中$c_n=a_n-b_n=(n+1)times2^n$。最后求解該等比數(shù)列的和即可得到原數(shù)列的和為$(n-1)times2^{n+2}+4$。應(yīng)用舉例錯(cuò)位相減法求和公式及應(yīng)用舉例典型例題分析與解答技巧05010203例題已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an+1=2Sn+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。分析本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，通過遞推關(guān)系可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。解答由已知條件可得，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1+1，將兩式相減可得an+1-an=2an，即an+1=3an(n≥2)，又因?yàn)閍2=2a1+1=3，所以{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此an=3n-1。典型例題一：利用通項(xiàng)公式求解數(shù)列問題例題求數(shù)列{n^2}的前n項(xiàng)和Sn。分析本題考查了數(shù)列的求和公式，通過求和公式可以求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。解答利用求和公式Sn=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，可以直接求出Sn。典型例題二：利用求和公式求解級(jí)數(shù)問題解答：首先利用通項(xiàng)公式求出Sn=(1^2-5*1+6)+(2^2-5*2+6)+...+(n^2-5n+6)=(1^2+2^2+...+n^2)-5(1+2+...+n)+6n=n(n+1)(2n+1)/6-5n(n+1)/2+6n=(n^3-9n^2+23n)/3。然后判斷Sn的最小值，由于Sn是一個(gè)關(guān)于n的三次函數(shù)，可以通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值。例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n^2-5n+6，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，并判斷