專題10 分段函數(shù)(參數(shù)或參數(shù)取值范圍)

專題10分段函數(shù)(參數(shù)或參數(shù)取值范圍)主要考查：分段函數(shù)求參數(shù)(或參數(shù)取值范圍)問題一、單選題ax,x<11.已知實數(shù)a>0,a豐1,函數(shù)f(x)=〈 4, 在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是( )x2+—+alnx,x>1、xA.2<a<5 B.a<5C.3<a<5 D.1<a<2【解析】???函數(shù)fG)在R上單調(diào)遞增，.,.當x<1時，有a>14a2x3—4+ax八當x>1時，f(x)=2x——+-= >0恒成立，x2x x2令g(x)=2x3+ax-4,xeh,+^),則g，(x)=6x2+aVa>0,.，.g'(x)>0，即g(x)在h,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)=2+a—4=a—2要使當x>1時f，(x)>0恒成立，則a—2>0,解得a>2.V函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，???還需要滿足a1<1+4+aln1,即a<5綜上，a的取值范圍是2<a<5.故選：A.2.設函數(shù)2.設函數(shù)f(x)=若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,m+H上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是( )A.[2,3] B.(2,3) C.(2,3] D.b,3)函數(shù)f函數(shù)f(x)在(—8,2］以及(4,+J上遞增，在L,4)上遞減,故若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,m+1］上單調(diào)遞減，需滿足2<m且m+1<4即2V機V3,故選：A.ax即2V機V3,故選：A.ax-1,x>1（4>0且。Wl）,對任意eR,當X豐X時總有1 2 1 2f(x)-/(%) 1 4<0,X—x

2 1則實數(shù)。的取值范圍是（）B.(-72,1)C.[1,6【解析】因為對任意弋干乩當了氣時總有上所以4）在R上單調(diào)遞增，2 12-?2>0（2-a2（2-a2解得故選：AIVa—I<2X2,xe（0,l）r（\1] 「nV若有兩解，則”的取值范圍是（ ）log Gll,2JaA.(1

°”B.c.(1,2]D.(1,2A.(1

°”B.c.(1,2]D.(1,2)【解析】由題意可知。>。且當l?x<2時，由/(x)=logx=l,可得x=a；a當0<x<l時，由/(x)=OX2=l,可得x=J.y/al<a<2”I-，解得l<a<2.U<—<1yfa因此，實數(shù)〃的取值范圍是（L2）.故選：d.5.在R5.在R上函數(shù)/（X）滿足/G+2）=/（x）,且/（x）=|3-x|,OW，其中若/（—5）=/（4.5）,則。=（）A.2.5B.3.5C.4.5D.5.5

A.2.5B.3.5C.4.5D.5.5【解析】因為于G+2）=于（X）,所以函數(shù)fG）的周期為2又因為f(—5)=f(—1)=a—2,f(4.5)=f(0.5)=2.5???/(-5)=f(4.5)6.已知函數(shù)f（X???/(-5)=f(4.5)6.已知函數(shù)f（X）=3X+2,X<1若f(f(0))=6a，則實數(shù)a=()A.1B.2C.4D.8【解析】??，。）=2?//(/(0))=f(2)=22+A.1B.2C.4D.8【解析】??，。）=2?//(/(0))=f(2)=22+2a=6a，解得：a=1,故選：A7.設函數(shù)f（x）=<logX,

21X<—2的最小值為-1,則實數(shù)。的取值范圍是（）X>—2A.B.【解析】由于函數(shù)f（X）=<—x+a,10g2X，C.'-8,-1I21x<—2的最小值為-1X>21 1 1=log2不=—122f(X)>——+a>—1，解得a>—5，故選:A.8.已知函數(shù)f8.已知函數(shù)f（X）=<log(x+3),—3<x<12X2—ax,x>1的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）(-1,0][(-1,0][-1,0](-1,+8)[—1,+8)【解析】當-3<x<1時，0<x+3<4貝Uf【解析】當-3<x<1時，0<x+3<42所以，函數(shù)f（x）=X2―aX在區(qū)間（1,+8）上的值域包含（2,+8）所以，存在X￡（1,+8）,使得X2—ax<2，即a>x--X而函數(shù)g（x）=X--在區(qū)間（1,+8）上為增函數(shù)，...g（x）>g（1）=—1, a>-1.故選：D.X

二、多選題x+2,9.已知函數(shù)f(x)=jx2,.. 9 .. 9 一若山）二"則x的可能值是（）1A.一4C.9D.8x+2,【解析】由以x）=x<11<x<2

x>2- -9當x<1時，f(x)=x+2=49當1<x<2時，f(x)=x2=-9當x>2時，f(x)=2x=41解得x=43解得x=59故選：AB.〃/、 Ix2+2x+1,x<010.已知函數(shù)f(x)=]—x2,x>0'滿足f(f(a))=T的a的值有()A.0B.1C.—1D.—2【解析】設t=f（a），則f（t）=T若t>0,則—12=—1,解得t=1或t=—1（舍去），所以f（a）=1，當a>0時，—a2=1方程無解;當a<0時，a2+2a+1=1,解得a=0或a=—2，滿足條件;若t<0時，12+21+1=—1,即12+21+2=0,A=22—4x2=—4<0，方程無解，故選：AD11.函數(shù)11.函數(shù)f（x）=<滿足對任意x1,x2(2a-1)x+8a-2,x<1ax,x>1f(x)—f(x)都有一1 。<0成x—x

1 2立的充分不必要條件是（ ）A.—<a<14C.-<a<-D.f(x)—f(x)【解析】一1 。<0成立，即當x<x時，x—x 1212f（x）>f（x）成立;

1 2當x1>x2時，f（x1）<f（x2）成立，即函數(shù)在R是減函數(shù);當f(x)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)時，<解得大<a<-1,11當<a<1時，—<a<—不成立，A不正確;J 乙<0成立的充要條件，B不正確<0成立的充要條件，B不正確;當<a<-或a<a<-時,

3 8 3 22113<a<2成立，反之不成立故CD正確;故選：CD.12.已知函數(shù)f(x)=<-x2-ax-5,(x<1)是R上的函數(shù)且滿足對于任意的\。x2，都有則則〃的可能取值是((x-X)「f(x)-f(x)>0成立1 9L1 。」A.1B.—1C.-2D.-3【解析】由條件對任意的\。x2都有(x-x)「f(x)-f(x)]>0成立,則函數(shù)單調(diào)遞增,若函數(shù)f(x)=<-x2-ax-5,(x<1)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，-a>12需滿足ja<0 ，解得：-3WaW-2.故選：CD-1-a-5<a三、填空題()[(4-3a)x(x<1).已知函數(shù)f(x)=jx22+乂1—〃)x+2G>0在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是‘4-3a>1【解析】要使f(x)在R上是增函數(shù)，則Ja-1<1 ，解得-1<a<1.4-3a<5-2a」\k—-G<0),TOC\o"1-5"\h\z.若函數(shù)fb)=\ x2 恰有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是 .|x-1|-kx2(x>0)11【解析】當X<0時，令f(x)=0可得：k=—，當x>0時，令f(x)=0可得：k=二^,X2 x2—(x<0)令g(x)=]x2 ，若0<x<1，g(x)=x+1，g'(x)=x--^-<0，g(x)為減函數(shù)，曰(x>0) x2 x3、x2若x>1，g(x)=x_-，gf(x)=x+2二0，x=2x2 x3若xj，2)，g?x)<0，g(x)為減函數(shù)，若xe(2,+w)，g'(x)>0，g(x)為增函數(shù)，g(2)=4畫出g(x)的圖像，如下圖:/、 .一一1 C1)如要f(x)有4個零點，則0<k<-，故答案為：0,-.4 k47f(a-2)x+2a+1,x<215.已知函數(shù)f(x)=< (a>0且a豐1)，若f(x)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍[2ax-1,x>2為.【解析】f(2)=2(a-2)+2a+1=4a-3當x=2時，2a2-1=2a若a>2，則當啟2時為增函數(shù)，此時無最小值，不合題意；若a=2，當W2時，f(x)=5,當x>2時，2x2x-1=2x>4，此時無最小值，不合題意；若1<a<2，當W2時，f(x)為減函數(shù)，此時f(x)郊(2)=4a-3

當x>2時，f(x)為增函數(shù)，且此時f(X)>2a，要使f(X)有最小值，…… …「 ，3 ，3則4a—3(2cl，即2a<3,a<—,貝U1<a<—2 2若0<a<1,當話2時f(x)為減函數(shù)，此時f(x彥f(2)=4a-3當x>2時，f(x)為減函數(shù)，且f(x)>0,要使f(x)有最小值，c3則4a-3<0，即%了，貝I」0<a<-TOC\o"1-5"\h\z4. 3八3綜上所述，1<a(萬或0<a<-4 l"?二實數(shù)a的取值范圍是(0,|]°(1,|]16.已知函數(shù)f(x)=<x2x2+8ix-a,x>2,若對任意的5eE+s),,x<2.都存在唯一的x2式-'2)，滿足f(xj二f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是p/X【解析】【法■當x勿小)時，f(x)=春.因為14A2x+-Ix)4.-4. 4 -而x+->2,:xx_=4，當且僅當x=，即x=2時，等號成立，x x x所以y=f(x)的取值范圍是o，1.V8.11Alx-al由題意及函數(shù)f(x)=- ，x<2的圖像與性質(zhì)可得V2)a>2<，1、b-a1一>-IV2) 8a<2(1J2-al2V2)1，如上圖所示.解得2<a<5或-1<a<2>-8所以所求實數(shù)a的取值范圍是1-1,5)【法2】當xeh例)時，f(x戶上，即f"片- - (c1]即x=2時，等號成立，所以y—f(x)的取值范圍是0，；V8.當X￡(-8,2)時,(1)若a>2，則/(x)=0ax(X￡(-8,2))，它是增函數(shù)，此時y=f(X)的取值范圍是.由題意可得〉1，解得a<5，又a>2，所以2<a<5(2)若a<2，則/(X)=<a-x,x<a,.函數(shù)y=f(X)在(-8,a］上是增函數(shù)，此時y=f(X)的取x-a,a<x<2值范圍是(0』］；而函數(shù)y=f(X)在［a,2)上是減函數(shù)，此時y=f(X)的取值范圍是］、2-a(12)J.由題意可得>1，解得a2-1,又a<2，所以-1<a<2綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是［-1，5)四、解答題17.設函數(shù)于(X)=〈X3-3x,x<a, 、、.(qgR)-2x,x〉a(1)若a=0，則/(x)的最大值為:(2)若f(x)無最大值，則求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)X3-3X,運0-2x,x〉0,所以/(X)13X2-3,x<0-2,x〉0當X<-1時,尸(x)>0，此時函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，當X〉-1時,尸(X)<0，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故當X=-1時/(X)有最大值為2.(2)f'(x)=<3x2-(2)f'(x)=<-2,x〉a ，令°，則X=±「若/(X)無最大值，則

a>—1-2a>a3—3a①或5—-2a>a3—3a①—2a>2由①得a￡(—8,—1)，由②得無解，4x———a,x>a,x18.已知函數(shù)f(x)=j z4x,a￡R.a—x+—,x<a、Ix)(1)當a=0時，求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間(只需寫出單調(diào)區(qū)間，不需要證明)；(2)若關于x的方程If(x)-a1=4(a>0)恰有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.’4八x-x，x>0【解析】(1)當a=0時，f(x)=5z4、，其圖象如圖所示：—x+—,x<0II x)所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,笆)，(-2,0)；減區(qū)間是(-8,—2)(2)由題意得：f(2)由題意得：f(x)—a=<xz 4、x+-I x)4、x+—x)=4時，x=±2一z一z4」當a<2時，―x+-=4只有一個解，

Ix)則g(x)=x—4-2a=±4需要有3個解，x而g(x)二x一x-2a遞增,至多有2個解,故不成立;一Z一Z4、，當a>2時，―x+—=4有兩個解，

Ix)4則x--2a=±4需要有2個大于a的解，x因為g(Q=元—4—2a在(〃,+8)遞增，x所以g(x)>g(a)=---a，而a>2,g(a)=---a<-4aa所以g(所以g(x)￡所以x---2a=±4有2個解，

x所以實數(shù)a的取值范圍是（2,+8）19.已知函數(shù)f(x)=產(chǎn)2+Lx<0且f(0)+f(-1)=3.Ie-x,x>0（1）求實數(shù)a的值;（2）若對任意的xe［-1,1］，不等式f((b+1)x-2b+1)>(fQ))恒成立，求正數(shù)b的取值范圍.【解析】（【解析】（1）???/（］）=<ax2+1,x<0，：,f(0)+f(-1)=1+a+1=3，所以a=1e-x,x>0(2)(f(x2-x2)=e-bx2=f(bx2)函數(shù)f（x）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間h+8）上單調(diào)遞減，因為02+1=e-0，所以，函數(shù)f（x）在R上連續(xù)，所以，函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，f((b+1)x-2b+1)>(fCx2)=fQx2)等價于(b+1)x-2b+1<bx2即當b>0時，bx2-(b+1)x+2b-1>0在xe［-1,1］上恒成立，可得b(x2-x+2)>x+1( 1A27 . x+1?.xr+2=lx-2J+4>0，所以，b>^^x+1當x=-1時，b>0= ^成立；x2-x+2當一1<x<1時，令t=x+1e(0,2］，可得x=t-1

< _L—=< _L—=1,(t-1?_(t-1)+2 — 12—3t+4 ~ 4 3丁——Jt當且僅當t=2時，即當x=1時，等號成立.綜上所述,函數(shù)y=二在區(qū)間［-1［］上的最大值為L「221因此，實數(shù)b的取值范圍是11,+8)./、［lg(-x),x<020.已知函數(shù)f(x)=\,Iex—2,x>0(1)若f(a)=1，求a的值；(2)若關于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5個實數(shù)根，求m的取值范圍.【解析】(1)若a<0，則f(a)=lg(—a)=1解得a=-10若a>0，則f(a)=ea-2=1，解得a=0或ln3.故故a的值為0或-10或ln3.lg(-x),x<0(2)由題可知f(x)=<當t>1或t=0時，方程t=f(x)有兩個不同實根;―ex(2)由題可知f(x)=<當t>1或t=0時，方程t=f(x)有兩個不同實根;當t<0時，方程t=f(x)有一個實根;因此關于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5個實數(shù)根等價于關于t的方程12+mt+2m+1=0有2個不相等的實數(shù)根t1，12，不妨設(>t2

11>1 11=0則［0<t<1或］02<t<1，I2 I1令h(t)=12+mt+2m+1'h(0)>0若t>1,0<t<1，則，h(1)<0,2A>0m+1>0即<3m+2<0 ，不等式無解;m2-8m-4>0'h(0)>0 ］2m+1>