-人教版八年級(jí)下冊勾股定理

勾股定理勾股定理1一、新知探究

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．我們也來觀察右圖中的地面圖案，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？一、新知探究相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友2數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：①A，B，C的面積有什么關(guān)系？②直角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+SB=SC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABC數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：①A，B，C的面積有什么關(guān)系？②直角3（1）探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系如圖，每個(gè)小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A,B,C的面積，能得出什么結(jié)論ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2（1）探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)BCABC（圖中每個(gè)小方4ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2方法1：分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2方法15ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2方法2：把C“補(bǔ)”成邊長為6的正方形面積的一半ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2方法26ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2SA+SB=SCA的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖19918圖2448A，B，C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系兩直角邊的平方和等于斜邊的平方SA+SB=SCABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2S7（2）探究：一般的直角三角形三邊關(guān)系請問：三個(gè)正方形A，B，C面積之間有什么關(guān)系？ABCSA+SB=SC即：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（2）探究：一般的直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)BCSA+SB=SC即8ABCacbSA+SB=SCa2+b2=c2（3）直角三角形三邊關(guān)系設(shè)：直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c，它們之間的關(guān)系？ABCacbSA+SB=SCa2+b2=c2（3）直角三角形9趙爽弦圖畢達(dá)哥拉斯證法總統(tǒng)證法數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2趙爽弦圖畢達(dá)哥拉斯證法總統(tǒng)證法如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么5或C.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么S部分面積之和=S整體的面積5、如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，求陰影部分的面積S部分面積之和=S整體的面積=（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2方法1：分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形①A，B，C的面積有什么關(guān)系？（1）若a=b=2,求c②∵FC=AC-AF∴FC=10-6=4（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2∵c>0∴c=∵DE=EF,且DE+EC=CD=8∴EF+EC=8如圖，將長方形的一邊AD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的長.（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）48=16xx=3∴EC=3命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么趙爽弦圖畢達(dá)哥拉斯證法總統(tǒng)證法命題1：10（3）直角三角形三邊關(guān)系如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么∵Rt△EFC,∠C=90°∴EF2=FC2+EC2S部分面積之和=S整體的面積=（2）若a=24，c=25，則b=__________________如圖，每個(gè)小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A,B,C的面積，能得出什么結(jié)論4、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）①A，B，C的面積有什么關(guān)系？S部分面積之和=S整體的面積5、如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，求陰影部分的面積設(shè)：直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c，它們之間的關(guān)系？（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（1）若a=b=2,求c如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么趙爽弦圖畢達(dá)哥拉斯證法總統(tǒng)證法（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2（1）探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系（3）若a=,b=，則c=________設(shè)：直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c，它們之間的關(guān)系？趙爽弦圖例1：已知：如圖為四個(gè)全等的直角邊為a，b，斜邊為c的直角三角形拼接而成的大正方形，中空部分為小正方形，求證：a2+b2=c2abc∵∴思路：等積法，部分面積之和=整體的面積二、典型例題（3）直角三角形三邊關(guān)系趙爽弦圖例1：已知：如圖為四個(gè)全等的11變式練習(xí)1、已知：如圖，大正方形的邊長為a+b，中間正方形的邊長為c周圍是四個(gè)全等的直角三角形，求證：a2+b2=c2畢達(dá)哥拉斯證法證明：S部分面積之和=S整體的面積=

∵S部分面積之和=S整體的面積∴∴∴變式練習(xí)畢達(dá)哥拉斯證法證明：122、已知：如圖，為兩個(gè)直角邊為a，b的全等的直角三角形和一個(gè)以c為直角邊的等腰直角三角形拼接而成的，求證：a2+b2=c2總統(tǒng)證法證明：S部分面積之和=S整體的面積=

∵S部分面積之和=S整體的面積∴∴∴2、已知：如圖，為兩個(gè)直角邊為a，b的全等的直角三角形和一個(gè)13幾何語言：∵Rt△ABC中，∠C=90°勾股定理：（畢達(dá)哥拉斯定理）

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么∴幾何語言：∵Rt△ABC中，∠C=90°勾股定理：（畢達(dá)哥拉14（2）若a=24，c=25，則b=__________________S部分面積之和=S整體的面積5B.5或C.（1）若a=b=2,求c兩直角邊的平方和等于斜邊的平方S部分面積之和=S整體的面積1、已知：如圖，大正方形的邊長為a+b，中間正方形的邊長為c周圍是四個(gè)全等的直角三角形，（1）探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系方法1：分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）D.AB=8→S=64→陰影部分的面積=64如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么1、已知：如圖，大正方形的邊長為a+b，中間正方形的邊長為c周圍是四個(gè)全等的直角三角形，（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2（1）探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（3）若a=,b=，則c=________（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么趙爽弦圖畢達(dá)哥拉斯證法總統(tǒng)證法（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2S部分面積之和=S整體的面積（2）若a=24，c=25，則b=__________________（3）若a=,b=，則c=________①AF=10,∵Rt△ABF,∠B=90°∴BF2=AF2-AB2（1）探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系5B.（1）若a=b=2,求c（3）若a：b=3:4，c=15，求b②直角三角形三邊有什么關(guān)系？（2）探究：一般的直角三角形三邊關(guān)系∴c2=22+22=4+4=8c=（4）若a=6，b=8，求c的長及斜邊的高如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么∵Rt△EFC,∠C=90°∴EF2=FC2+EC25、如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，求陰影部分的面積（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2設(shè)：直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c，它們之間的關(guān)系？（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）①A，B，C的面積有什么關(guān)系？例2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c（1）若a=b=2,求c（2）若a=5，c=13，求b（3）若a：b=3:4，c=15，求b（4）若a=6，b=8，求c的長及斜邊的高解：（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2∴c2=22+22=4+4=8c=∵c>0∴c=（2）b=12（3）b=12（4）c=10，（2）若a=24，c=25，則b=_____________15變式練習(xí)3、若一個(gè)直角三角形兩邊長分別是3和4，則第三邊長為（）A.5B.5或C.D.4、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=1.5，b=2，則c=_______（2）若a=24，c=25，則b=__________________（3）若a=,b=，則c=________5、如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，求陰影部分的面積B7SRt△ABAB=8→S=64→陰影部分的面積=64變式練習(xí)3、若一個(gè)直角三角形兩邊長分別是3和4，則第三邊長為16例3.如圖，將長方形的一邊AD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的長.81010810解：①AF=10,∵Rt△ABF,∠B=90°∴BF2=AF2-AB2

∴BF2=102-82∴BF=6②∵FC=AC-AF∴FC=10-6=4∵DE=EF,且DE+EC=CD=8∴EF+EC=8③設(shè)EC=xcm,EF=(8-x)cm∵Rt△EFC,∠C=90°∴EF2=FC2+EC2（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x264-16x=1664-16=16x48=16xx=3∴EC=3

6方程思想例3.如圖，將長方形的一邊AD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上17變式練習(xí)6、如圖，將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在AD的中點(diǎn)C’處，點(diǎn)B落在B’處,其中AB=9,BC=6，則FC’的長度為()A.7、如圖長方形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為_________D