2024年1月“七省聯(lián)考”考前猜想卷數(shù)學(xué)試題2（含答案）

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷02

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.集合A={Wnx21},B={x\l<x<3}則.8=（）

A.0B.|x|e<%<3}C.|x|e<x<3|D,>11

2.已知復(fù)數(shù)z-（l-2i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,1）,則z=（）

1/.

A.-+—1B.-+iC.--iD.--i

555555

3.。犬一千,展開式中一

項的系數(shù)為（）

A.-240B.-20C.20D.240

）的部分圖象大致為（）

4.函數(shù)小

2+cosx

O

yk尸八

r4

r）-ov—J

5.中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉,

富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺

ABCD—ABiCR,上下底面的中心分別為。和0,若AB=244=4,=60°,則正四

棱臺ABCD-A/iGA的體積為（）

.2072口2872「20A/6n2876

3333

6.公元9世紀(jì)，阿拉伯計算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形

中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec（角）表示；銳角的斜邊與其對

邊的比，叫做該銳角的余割，用esc（角）表示，則、回CSC20°—sec20°=（）

A.V3B.273c.4D.8

7.已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f（x）,且“1-力-〃l+x）+x=0恒成立，則

廣（2023）=（）

8.如圖，已知雙曲線C:二-當(dāng)=l（a,6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，過耳的直線與。分別

ab

在第一、二象限交于AB兩點(diǎn)，AAB與內(nèi)切圓半徑為,，若忸耳卜r=a,則。的離心率為

（）

「V30

U.----.半

4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會跳水女子10米跳臺迎來決賽，中國“夢之隊”包攬了該

項目的冠亞軍.已知某次跳水比賽中運(yùn)動員五輪的成績互不相等，記為為。=1,2,3,4,5）,平均數(shù)

為1若隨機(jī)刪去其任一輪的成績，得到一組新數(shù)據(jù)，記為％[=1,2,3,4）,平均數(shù)為亍，下面

說法正確的是（）

A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差

B.新色據(jù)g勺中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)

C.若最=亍，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差

D.若最=亍，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)

10.已知函數(shù)〃x）=45皿8+。）｝>0,0>0,解<9］的部分圖象如圖所示.則（）

/pV

A.fM的圖象關(guān)于［-正>。）中心對稱

5兀

B./⑴在區(qū)間y,2n上單調(diào)遞增

C.函數(shù)“X）的圖象向右平移二個單位長度可以得到函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象

6

iTT

D.將函數(shù)/（%）的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的得到函數(shù)/z（x）=2sin（4x+—）的圖象

/6

11.已知尸是圓。：必+丁=1上一點(diǎn)，Q是圓。：（x—3）2+（y+4）2=4上一點(diǎn)，貝IJ（）

A.的最小值為2

B.圓。與圓。有4條公切線

C.當(dāng)|IPIQ|取得最小值時，尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（14,-*3

D.當(dāng)|PQ|=1+在'時，點(diǎn)。到直線尸。的距離小于2

12.已知正四面體尸-ABC的棱長為2,下列說法正確的是（）

A.正四面體P-ABC的外接球表面積為6兀

B.正四面體尸-A3C內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和為定值

C.正四面體尸-ABC的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為工

3

D.正四面體Q-MNG在正四面體尸-A3C的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體Q-MNG的

體積最大值為謔

81

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知等差數(shù)列｛4｝前3項和S3=12,q-l,%-1,%+3成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%,｝的公差

d—.

14.已知向量Z，B滿足73_/=2，且a=（T,l），則向量B在向量Z上的投影向量為.

15.正三棱臺A4G—ABC中，44=1,A8=A4=2,點(diǎn)E,尸分別為棱8耳，4G的中點(diǎn),

若過點(diǎn)A,E,/作截面，則截面與上底面44cl的交線長為.

16.已知函數(shù)/(x)=x(ei-2a)-Inx的最小值為0,則a的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且滿足2￡=%+1,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

2

(2)若數(shù)列也｝滿足么=&+-------,求數(shù)列｛%｝的前〃和(.

18.記口ABC的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知匕必■='辿

cosAcosB

(1)求A+25的值；

(2)若/+2/NX/??,求2的最大值.

19.如圖，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBAD=60°,DE1平面ABCD,CFIIDE,

DE=2CF,既與平面/四所成的角為45°.

(1)求證：平面平面屐'；

(2)求二面角8-砂T的余弦值.

20.“村應(yīng)T后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育

賽事一一榕江(三寶侗寨)和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)、

鄉(xiāng)土味、歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.

某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨

機(jī)抽取了男、女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生20

女生15

合計100

2

2_n(ad-bc)

'”(a+b)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)&=0.005的獨(dú)立性檢驗，能否有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)

生喜歡足球與性別有關(guān)？

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計，這兩

名男生進(jìn)球的概率均為這名女生進(jìn)球的概率為每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，

求3人進(jìn)球總次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.已知函數(shù)=/0),g(x)=-x2.

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x>0時，“X)與g(x)有公切線，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.已知橢圓7：(_+/=1，其上焦點(diǎn)尸與拋物線任好=分的焦點(diǎn)重合.

（1）若過點(diǎn)尸的直線交橢圓7于點(diǎn)/、B,同時交拋物線4于點(diǎn)aD（如圖1所示，點(diǎn)C在橢圓

與拋物線第一象限交點(diǎn)上方），試證明：線段/C大于M長度的大?。?/p>

（2）若過點(diǎn)戶的直線交橢圓7于點(diǎn)4B,過點(diǎn)戶與直線加垂直的直線皮交拋物線"于點(diǎn)￡、G

（如圖2所示），試求四邊形/板面積的最小值.

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷02

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項:

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.集合A={2nx訓(xùn)，8={x|l<x<3},則()

A.0B.{x[e<x<3}C.{x|e<x<3|D.{小>1}

【答案】C

【解析】由InxNlnxNe,即A={x|xNe}nAcB={x14x<3}.

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)z-(l-2i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),則z=()

17.

D.---------1

55

【答案】A

【解析】由已知復(fù)數(shù)z-（l-2i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,1）,

則z-(l-2i)=3+i,

3+i(3+i)(l+2i)l+7i

所以z=

l-2i(l-2i)(l+2i)555

故選：A.

C.20D.240

【答案】D

【解析】(2/—工]展開式通項為4+1=G(2X3)6_1_J_]=(-l)r26-rC；x18-4r

由18—4r=10,可得r=2,貝U(―26<C；=240,

則展開式中一項的系數(shù)為240.

故選：D

【解析】根據(jù)題意,對于函數(shù)/（x）=

2+cosx

有函數(shù)

即函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、B；

當(dāng)x>0時，cosxe[-1,1],則恒有=+ej>0,排除口；

2+cosx

故選：C.

5.中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉,

富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺

ABCD-\BXCXD},上下底面的中心分別為。和。，若AB=2A4=4,ZA.AB=60°,則正四

棱臺ABCD-A^.CD.的體積為（）

2876

3

【答案】B

【解析】因為ABC?！?81GA是正四棱臺，AB=2A]Bl=4,Z^AB=60°,

側(cè)面以及對角面為等腰梯形，故44=上匕絲D=2，AO=\AC=^AB=2亞,

1cosZ4AB22

BI------------------

4。1=%AB[=亞,所以00]=JA4；_(A0_AQJ2=亞,

所以該四棱臺的體積為丫=!。。?(548°+548°。+、瓦工MZT)="2(16+4+8)=生也，

31\r\D\^LJ/1|Dj<..|LJy丫/iZJC-Lx1JjC-jZ-q/3''3

故選：B.

6.公元9世紀(jì)，阿拉伯計算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形

中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec(角)表示；銳角的斜邊與其對邊

的比，叫做該銳角的余割，用esc(角)表示，貝ij逝esc20°—sec20°=()

A.V3B.273C.4D.8

【答案】C

【解析】依題意，20。角可視為某直角三角形的內(nèi)角，由銳角三角函數(shù)定義及已知得

esc20°=——-——,sec20°=——-——

sin20°cos20°

66cos20°-sin20°2sin(60°—20°)

所以eesc20°-sec20°1

sin20°cos20°sin20°cos20°

—sin400

2

故選:C

7.已知奇函數(shù)/(%)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為尸⑴，且“1-力-〃l+x)+x=0恒成立，則

廣(2023)=()

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=/(x)-則g(x)為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，g(0)=0,

由題意得了(1—x)—a(1—X)=/(1+x)—a(l+X),

得g(l—x)=g(l+x),所以g(x+2)=g(l+x+l)=g(—x)=—g(x),

g(x+4)=g(x+2+2)=-g(x+2)=g(x),

又g(l-x)=g(l+x),即-g(l-x)=-g(l+x),

所以g(-l+x)=g(-l-x),等式兩邊對尤求導(dǎo)，

得g'(—l+x)=—g'(—1—x),令x=0,g'(—1)=—g'(—1),所以g")=0.

由g(x+4)=g(x),兩邊對x求導(dǎo)，g'(x+4)=g'(x),所以g'(x)的周期為4,

所以8'(2023)=8'(一1)=0,因為g(x)=/(x)—gx,所以g'(x)=,

所以廣(2023)=g<2023)+g=g.

故選：B

22

8.如圖，已知雙曲線C:[-J=l（a4>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過片的直線與。分別

ab

r,若忸凰=r=a,則C的離心率為（

V30nV85

U.----

~T~5

內(nèi)切圓在8月,AT"AB上的切點(diǎn)分別為U,V,W,

則忸

u|=\BW\,\AV\=\AW\,\F2U\=W,

由忸周=。及雙曲線的定義可知，

\BF2\=3a,\AF2\=x-a,\F2U\=\F^V\=^（\BF2\+\AF2\-\AB\）=a=r,

故四邊形/u《v是正方形，

得于是忸司,+憶閭2=|A/2,

故爐=9/+（%-。）2,所以x=5a,

3

于是cos/FJBK=cos（7t-ZABF2）=--,在口耳8耳中，

由余弦定理可得閨工「=忸耳『+忸工『一2忸耳卜忸閭.=￡/,

從而4c2=竺“2,所以e=g=Yil.

5a5

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會跳水女子10米跳臺迎來決賽，中國“夢之隊”包攬了該項

目的冠亞軍.已知某次跳水比賽中運(yùn)動員五輪的成績互不相等，記為.。=1,2,3,4,5),平均數(shù)為最

若隨機(jī)刪去其任一輪的成績，得到一組新數(shù)據(jù)，記為％(，=1,2,3,4),平均數(shù)為亍，下面說法正

確的是()

A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差

B.新婺據(jù)目中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)

C.若凄=亍，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差

D.若嚏=亍，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)

【答案】ABC

【解析】對于A中，若隨機(jī)刪去任一輪的成績，恰好不是最高成績和最低成績，此時新數(shù)據(jù)的極

差可能等于原數(shù)據(jù)的極差，所以A正確；

對于B中，不妨假設(shè)%1<x2<x3<x4<x5,

當(dāng)：(馬+%4)=%3時，若隨機(jī)刪去的成績是演，此時新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以

B正確；

對于C中，若最=亍，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計算公式，分子不變，分母變小，

所以方差會變&多以C正確；

對于D中，若最=亍，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，在按從小到大的順序排列的5個數(shù)據(jù)中，

因為5x40%=2,此時原數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為第二數(shù)和第三個數(shù)的平均數(shù)；

刪去一個數(shù)據(jù)后的4個數(shù)據(jù)，從小到大的順序排列，可得4x40%=1.6,

此時新數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為第二個數(shù)，

顯然新數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)小于原數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)，所以D錯誤.

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+°)[A>O,0>O，M<m)的部分圖象如圖所示.則()

C.函數(shù)/(%)的圖象向右平移四個單位長度可以得到函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象

6

iTT

D.將函數(shù)/(x)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的得到函數(shù)〃(%)=25皿4%+:)的圖象

一6

【答案】ABD

T57rIT127r

【解析】由圖象可知A.丁聲廠/石，解得T=i=2'

又/（胃=2，所以2sin'+°]=2即四+0=4+2kjt,keZ,結(jié)合附〈巴，可知左=0,夕=工,

3226

所以函數(shù)“X)的表達(dá)式為/(x)=2sin2x+-|,

對于A,由于小小25?表力=。,即/(㈤的圖象關(guān)于-當(dāng),0中心對稱，故A正確;

c兀7兀25兀7兀9兀

對于B,當(dāng)兀時,t—2%H---G由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知“冷在

6~2~6~

區(qū)間彳,2兀上單調(diào)遞增，故B正確;

對于C,函數(shù)/(X)的圖象向右平移百個單位長度可以得到函數(shù)

6

g(x)=2sin2、一力+￡=2sin12x—胃，故C錯誤；

1TT

對于D,將函數(shù)/(x)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的;，得到函數(shù)/z(x)=2sin(4x+—)的圖

/6

象，故D正確.

故選：ABD.

11.已知尸是圓C:f+y2=i上一點(diǎn)，Q是圓。：(%—3)2+(y+4)2=4上一點(diǎn)，貝I()

A.|PQ|的最小值為2

B.圓。與圓。有4條公切線

C.當(dāng)|PQ|取得最小值時，尸點(diǎn)的坐標(biāo)為1)

D.當(dāng)|PQ|=1+在'時，點(diǎn)。到直線尸。的距離小于2

【答案】AB

【解析】C的圓心C(0,0),半徑［=1,圓。的圓心。(3,-4),半徑弓=2,則|CD|=5,圓。與

圓。外離，

因此|P0的最小值為|CD|-1-2=2,圓。與圓。有4條公切線，AB正確；

43

直線8的方程為y=—代入好+丁=1,得了=土丁當(dāng)|PQ|取得最小值時，

尸為線段8與圓。的交點(diǎn)，因此尸點(diǎn)的坐標(biāo)為C錯誤；

過點(diǎn)。作圓。的切線，切點(diǎn)為"，則|CM|=752—2?=后,

當(dāng)尸為線段VC的延長線與圓。的交點(diǎn)，且點(diǎn)Q與M重合時，|PQ|=1+J萬,

此時點(diǎn)。到直線P。的距離等于2,D錯誤.

12.已知正四面體尸-A3C的棱長為2,下列說法正確的是（）

A.正四面體尸-ABC的外接球表面積為6兀

B.正四面體尸-ABC內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和為定值

C.正四面體尸-A3C的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為:

D.正四面體Q-MNG在正四面體尸-ABC的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體Q-MNG的

體積最大值為逆

81

【答案】ABD

【解析】A.棱長為2的正四面體尸-ABC的外接球與棱長為0的正方體的外接球半徑相同，

設(shè)為R,貝！J：27?=,所以S=4兀A?=6兀，所以人對.

B.設(shè)正四面體尸-A3。內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離分別為4，d2,4,&，

設(shè)正四面體尸-ABC的高為"，由等體積法可得：-S^+d.+d.+d.^-Sd,

所以di+dz+ds+U=d為定值，所以B對.

C.設(shè)3c中點(diǎn)為D,連接P。，AD,則

則NPZM為所求二面角的平面角，AP=2,PD=AD=6,

所以COS/PZM=3+：—4=}所以正弦值為j—[]=半，所以c錯.

c

D.要使正四面體Q-MNG在四面體尸-ABC的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動,

則正四面體。-MNG的外接球在四面體P-ABC內(nèi)切球內(nèi)部，

當(dāng)正四面體Q-MNG的外接球恰好為四面體P-ABC內(nèi)切球時，

正四面體Q-MNG的體積最大值，

由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為:，

所以正四面體Q-MNG的外接球半徑為包x工=逅，

236

(桓\r2

設(shè)正四面體Q-MNG的邊長為小則內(nèi)=26,所以。=§，

故體積漢1,所以D對.

1281

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知等差數(shù)列｛4｝前3項和S3=12,4-1,?2-1,%+3成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%,｝的公差

d=.

【答案】-6或2

【解析】由S3=12,可知q+%+%=3%=12,即%=4,

又4-1,%-1,%+3成等比數(shù)列，

所以(%—I]=("i—1).(“3+3)=(%—d—1),(%+d+3),

即9=(3_d)-(7+d),解得d=2或d=—6,

故答案為：-6或2

14.已知向量石滿足%4_/=2,且￡=(-1/)，則向量B在向量Z上的投影向量為.

【答案】(-2,2)

【解析】由1(—1,1),得問=3,

^a-b—a=2'所以。石=4，

所以向量B在向量Z上的投影向量為R'曰=(-2,2),

故答案為：(-2,2)

15.正三棱臺A4C—ABC中，44=1，AB=A&=2,點(diǎn)E,產(chǎn)分別為棱84，人。]的中點(diǎn),

若過點(diǎn)A,E,/作截面，則截面與上底面44cl的交線長為.

【答案】叵

10

【解析】連接A尸并延長交eq的延長線于點(diǎn)M,連接ME交BG于點(diǎn)N,連接EV,如圖,

則線段EV即為截面AE/與上底面ABC的交線,

因為戶為4G的中點(diǎn)，底￡_MC_2J,

AC~MC~2~4

所以=』CC]=2,

33

過點(diǎn)￡作BC的平行線交CG于點(diǎn)H,

2

因為吟卻。+耳G)=|,器=震3_2

在一二

3

23

所以=

在△C/N中，

FN=JcF+CN-2C[F-GNcosg="+2.2xL，L也

42525210

故答案為：也

10

16.已知函數(shù)/(x)=x(ei-2力-Inx的最小值為0,則。的值為.

【答案】1##0.5

【解析】由r(x)=(x+l)e，T-工一2”，且xe(0,+oo),

X

令g(x)=7'(x),則g，(x)=(x+2)ei+±>0,即g(x)在(0,+⑹上遞增，

X

所以廣(X)在(0,+8)上遞增，又X-0+，/'(x)^-co,Xf+8,f(x)f+co,

所以，lx。e(0,+oo)使尸(5)=(%+1)6'。--■--2a=0,且xe(0,x())時，/1(x)<0,

%￡(%,+8)時，f\x)>0,所以〃龍)在(0,%)上遞減，在(%,+8)上遞增，

所以/(X)min=/(%)=%(e%T-2a)-In/=0

x-1

(x0+l)e°--=2a

由<X。,得其e*T+ln/=1,

%o(e"i_2〃)=In/

令函數(shù)%(x)=x2ex~l+Inx,t(x)=(x2+2x)ex-1+—>0,

x

所以心)在(0,+8)上是增函數(shù),注意到01)=1,所以％=1,

所以2Q=1=>〃=L

2

故答案為：!

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S〃，且滿足26=q+1,neN*.

(1)求數(shù)列｛g｝的通項公式；

2

(2)若數(shù)列低｝滿足a=4+-------,求數(shù)列圾｝的前〃和人

aa

n-n+\

On

2

【答案】⑴冊=2n—l,幾wN*(2)Tn=n+——

2n+l

【解析】(1)由2￡=%+1得S“=；(a“+1)2,貝Ijq=；(q+1)2,解得％=1,

當(dāng)北2時，S"T=；(ax+l)2,所以a“=S“—Si=；d+1)2—

整理得(4-%"(%+*)=2(4+%),

因為｛%｝是正項數(shù)列，所以a“+an_i>0,所以a,—a”T=2,

所以｛4｝是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

所以?！?1+2(n—l)=2n—l,nGN*?

⑵由(1)可得，cin—2n—1,

722=2n-i^^—1

所以a=4+----二2〃-1+

一,%(2n-l)(2n+l)2n-l2〃+l

H(1+2M-1)+111111、

所以北=3+3-5+，，，+2n-l-2n+l

21

12n

=n2+1-=n9+-----

2M+12〃+l

18.記口ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知匕至4=以必

cosAcosB

(1)求A+25的值；

(2)若/+2八2/,求2的最大值.

【答案】(1)】⑵2

2

【解析】(1)

一,1—sinAsin5

,__，/一_9

cosAcosB

所以cos3-sinAcosB=sinBcosA,

所以cosB=sin(A+B)=sinC,

sinf-|--Bj=sinC,

717r71

因為0＜。＜兀，一一＜——B＜—,

222

TTTT

所以——B=C(舍)，或——B=n-C,

22

IT

所以A+2B=JI—C+3=—.

2

'/+2c2、

(2)要使不等式6+2/2彳/恒成立，只需要—即可,

IbJmin

TT7T

由(1)可知。,A=——2B,

22

〃2+'

...由正弦定理得里吉sin2A+2sin2C

b-sin2B

sin2-23)+2sin2[-j

cos225+2cos2B

sin2Bsin2fi

=(Tsi”叫2(15=4s,n2B+3

sin2BsiiTB

「、1-sinAsinB

因為r------=-----,

cosAcosB

所以A,8都為銳角，

77

又因為A+2B=",

2

7T

所以0＜B＜一.

4

所以O(shè)vsiYBv^時,

2

由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，4sin2B+^--6在（0,與上單調(diào)遞減，

sin2BI2）

13

134x—+--6=2

當(dāng)sir?5=一時，4sin2B+--——6取得最小值為21一，

2sinB-

013

由sii?Bw—,得4sin~0B+—-——6>2BP2<2.

2sin2B

所以為的最大值為2.

19.如圖，底面ABC。是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,平面A8CO,CF//DE,

DE=2CF,BE與平面ABCO所成的角為45°.

(1)求證：平面3E尸_L平面BDE；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)國

4

【解析】(1)：DE1平面ABC。，ACu平面ABCD

DE1AC.

又；底面ABCD是菱形，/.AC1BD.

'：BDcDE=D，AC1平面BDE,

設(shè)AC,80交于O,取8E的中點(diǎn)G,連尸G,OG,

OG//CF,OG=CF,四邊形OCFG是平行四邊形

FGHAC,ACJ_平面8DE

FG_L平面BDE,

又因尸Gu平面BEF,

二平面BEF,平面BDE.

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系

二?BE與平面ABC。所成的角為45°,NBA。=60°

DE=BD=AB=2,OA=43

0(0,—1,0),8(0,1,0),C(-V3,0,0),￡(0,-1,2),F(-V3,0,l).

BE=(0,-2,2),BF=(-V3,-1,1)

—2y+2z=0

設(shè)平面3EF的法向量為力=(x,y,z),4r,n=(0,1,1)

-A/3x—y+z=0

DC=(-73,1,0).反=(0,0,2)

設(shè)平面CDEF的法向量沅=(x,%z)

「&+>=°n…百,0)

z=0

設(shè)二面角B-EF-D的大小為6.

cos0=|cos<n,m>|=■

20.“村A4”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育

賽事一一榕江(三寶侗寨)和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)、

鄉(xiāng)土味、歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.

某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨

機(jī)抽取了男、女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生20

女生15

合計100

2

2_〃(ad—be)"

'”(a+Z?)(c+d)(a+c乂人+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)&=0.005的獨(dú)立性檢驗，能否有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)

生喜歡足球與性別有關(guān)？

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計，這兩

名男生進(jìn)球的概率均為:，這名女生進(jìn)球的概率為每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，

求3人進(jìn)球總次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)

(2)分布列見解析，E(X)=?

【解析】⑴

依題意，2x2列聯(lián)表如下:

喜歡足球不喜歡足球合計

男生302050

女生153550

合計4555100

零假設(shè)5。：該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無關(guān),

/2的觀測值為12=100x（30x35-15x20）2=100

'50x50x45x5511

9.091>7.879=%0005,根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗，推斷“°不成立,

所以有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).

(2)依題意，X的所有可能取值為0」,2,3,

尸（x=0）=1|：一卜4小=1)=彳"卜

l3）218

2

P（X=2）=C'x|=：P(X=3)=1；J__2

X2-9

所以X的分布列為

X0123

1542

p

181899

X-L+1XA+2X1+3X2=11.

1818996

21.已知函數(shù)/(x)=axe”(aw0),g(x)=-x2.

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x>0時，與g(x)有公切線，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析；⑵-川

【解析】(1)由函數(shù)/(x)=are%aw0),可得/=。(1+1處,

當(dāng)。〉0時，可得xe(—%-1)時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xw(—l,+8)時，/-(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，可得xe(—8,—1)時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

xe(-l,+oo)時，