考研數(shù)學(xué)北京航天航空大學(xué)線性代數(shù)-2-5

§5幾種特殊類型的矩陣一單位矩陣數(shù)量矩陣對(duì)角形矩陣二對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣三上(下)三角形矩陣四正交矩陣單位矩陣數(shù)量矩陣對(duì)角形矩陣對(duì)于任何矩陣Am

n有:單位矩陣在矩陣乘法中起著類似于數(shù)1的作用特別,當(dāng)為A階方陣時(shí),有單位矩陣數(shù)量矩陣?yán)镁仃嚨某朔ㄟ\(yùn)算,對(duì)于任意n階方陣A有即用數(shù)量矩陣左(或右)乘方陣A等于數(shù)k乘矩陣A,即數(shù)量矩陣在矩陣的乘法中的作用相當(dāng)于一個(gè)數(shù).對(duì)角形矩陣定義

方陣的非主對(duì)角線的元素全部為零,即形如:的矩陣,稱為對(duì)角形矩陣.

數(shù)量矩陣,單位方陣是對(duì)角形矩陣的特例.對(duì)角形矩陣的性質(zhì)1.兩個(gè)對(duì)角形矩陣的和、差、積仍為對(duì)角形矩陣;2.以對(duì)角形矩陣左(右)乘矩陣A,相當(dāng)于將對(duì)角形矩陣的各行(列)元素乘A相應(yīng)的行(列)的各個(gè)元素,即:3.假設(shè)對(duì)角形矩陣可逆,那么它的逆矩陣仍為對(duì)角形矩陣,且對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣定義設(shè)A=(aij)為n階方陣,如果有A=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),那么稱A是對(duì)稱矩陣.如果有A=–A,即aij=–aji(i,j=1,2,…,n),那么稱A是反對(duì)稱矩陣.注:反對(duì)稱矩陣必有aii=0(i=1,2,…,n).例如是對(duì)稱矩陣.是反對(duì)稱矩陣.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)1.設(shè)A,B都是對(duì)稱矩陣,那么A+B,kA仍是對(duì)稱矩陣;2.設(shè)A為mn矩陣,那么AA與AA都是對(duì)稱矩陣;3.如果A是可逆的對(duì)稱矩陣,那么A-1是對(duì)稱矩陣.證明1.顯然.2.AA是n階方陣,且(AA)=A(A)=AA.因此AA是n階對(duì)稱矩陣.同理AA是m階對(duì)稱矩陣.3.由A對(duì)稱,即A

=A.從而A-1A=A-1A=E.即A-1=(A

)-1=(A-1),所以A-1為對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)1.設(shè)A,B都是反對(duì)稱矩陣,那么A+B,kA(k0)仍是反對(duì)稱矩陣.2.如果A是可逆的反對(duì)稱矩陣,那么A-1是反對(duì)稱矩陣.證明2.由(A-1)=(A)-1,那么(A-1)=(A)-1=(–A)-1=–A-1.因此A-1是反對(duì)稱矩陣.注意奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣一定不可逆.證因?yàn)橛傻盟訟B–BA為對(duì)稱矩陣.例1設(shè)A為n階反對(duì)稱矩陣,B為n階對(duì)稱矩陣,試證AB–BA為對(duì)稱矩陣.上(下)三角型矩陣定義主對(duì)角線下方的元素全為零(即i>j時(shí),aij=0)的方陣稱為上三角矩陣,即1.兩個(gè)n階上三角矩陣的乘積仍為上三角型矩陣,并且主對(duì)角線的元素為原先兩個(gè)矩陣的主對(duì)角線元素的相應(yīng)的乘積,即:上三角形矩陣性質(zhì)上三角形矩陣A的可逆的充分必要條件是:即A的主對(duì)角線元素全不為零.2.假設(shè)上三角形矩陣A是可逆的,那么其逆矩陣A-1也是上三角形矩陣,并且:證明設(shè)要說明A-1是上三角形矩陣,即i>j時(shí),cij=0.考察A-1的第j(j=1,2,…,n-1)列元素c1j,c2j,…,cnj.由AA-1=E與矩陣相等的定義，得第j列即n-j個(gè)等式最后n-j個(gè)等式說明cj+1j,cj+2j,…,cnj是以下齊次線性方程組的解.此方程組系數(shù)行列式不為零,因此只有零解.因此cj+1j=cj+2j=…=cnj=0,j=1,2,…,n-1.說明A-1是上三角形矩陣.下面證明cii=aii-1.將上述結(jié)果代入第j個(gè)方程,得ajjcjj=1,即cii=aii-1.下三角形矩陣與上三角形矩陣的性質(zhì)類似.正交矩陣定義實(shí)數(shù)域上的方陣A如果滿足AA=AA=E,那么稱A為正交矩陣.例如都是正交矩陣.結(jié)論實(shí)數(shù)域上的方陣A是正交矩陣的充分必要條件是A-1=A

.正交矩陣的性質(zhì)1.正交矩陣是滿秩矩陣,且|A|=1或|A|=–1.2.正交矩陣的逆矩陣及轉(zhuǎn)置矩陣仍為正交矩陣.3.假設(shè)A,B都是正交矩陣,那么AB也是正交矩陣.4.正交矩陣的每行(列)元素的平方和等于1.不同兩行(列)