專題14兩個基本計數(shù)原理3種常見考法歸類（原卷版）

專題14兩個基本計數(shù)原理3種常見考法歸類思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一、分類加法計數(shù)原理考點二、分步乘法計數(shù)原理考點三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用（一）與數(shù)字有關(guān)的問題（二）涂色問題（三）幾何圖形問題1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．注：1每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.2各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.3完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．注：(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事．(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.（3）完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3.兩種計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點1完成一件事有類不同方案，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事需要個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”不同點2每類方案都能獨立完成這件事情，且每種方法得到的最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事不同點3各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復(fù)4.兩種計數(shù)原理綜合應(yīng)用（1）用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細(xì)分析—需要分類還是需要分步；（2）分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；（3）分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。1、分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.2、利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．3、利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個計數(shù)原理求解.4、解決計數(shù)問題常用的方法(1)枚舉法：將各種情況通過樹形圖法、列表法意義列舉出來，適用于計數(shù)種數(shù)較少的情況；(2)間接法：若計數(shù)時分類較多或無法直接計數(shù)時，可先求出沒有限制條件的種數(shù)，再減去不滿足條件的種數(shù)；(3)字典排序法：①字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，則排列結(jié)束。②利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可以解決與排列順序有關(guān)的計數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排雷不重不漏地一一列舉出來。(4)模型法：通過構(gòu)造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助分析和解決問題?？键c剖析考點一、分類加法計數(shù)原理1．（2024·全國·模擬預(yù)測）從1至7這7個整數(shù)中隨機取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（

）A．9種 B．12種 C．20種 D．30種2．（2023下·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學(xué)被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種4．（2023上·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種5．（2023上·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6考點二、分步乘法計數(shù)原理6．（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）從4名男生與3名女生中選兩人去參加一場數(shù)學(xué)競賽，則男女各一人的不同的選派方法數(shù)為（

）A．7 B．12 C．18 D．247．（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)計劃從3本不同的文學(xué)書和4本不同的科學(xué)書中各選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．81種 B．64種 C．12種 D．7種8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某游泳錦標(biāo)賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（

）A． B． C．12 D．99．（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某商店共有，，三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種10．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種11．（2023下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2023年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運動的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項運動中任選一項進行體驗，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種12．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學(xué)?？计谀┨咔驎r甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經(jīng)過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種考點三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用（一）與數(shù)字有關(guān)的問題13．（2023下·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從1，2，3，0這四個數(shù)中取三個組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)的和為．14．（2023下·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）用，，，四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，共有（）A．個 B．個 C．個 D．個15．（2023下·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）自然數(shù)是一個三位數(shù)，其十位與個位、百位的差的絕對值均不超過1，我們就把叫做“集中數(shù)”.那么，大于600的“集中數(shù)”的個數(shù)是（

）A．30 B．31 C．32 D．3316．（2023上·高二課時練習(xí)）從0?1?2?3?4?5六個數(shù)字中任取四個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字、且為奇數(shù)的四位數(shù)？17．（2023·高二課時練習(xí)）用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個三位數(shù)，此時：(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個？(2)可以排出多少個不同的三位數(shù)？（二）涂色問題18．（2023上·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種19．（2023上·高二課時練習(xí)）如圖是某校的主要設(shè)施平面圖，現(xiàn)用不同的顏色作為各區(qū)域的底色，為了便于區(qū)分，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色．若有6種不同的顏色可選，問有多少種不同的著色方案？20．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．60021．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.22．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（）A．192 B．420 C．210 D．72（三）幾何圖形問題24．（2023上·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有種不同選法25．（2001·全國·高考真題）圓周上有個等分點，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為．26．（2023下·江蘇揚州·高二揚州中學(xué)?？计谥校┮阎本€中的a，b，c是取自集合中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36過關(guān)檢測一、單選題1．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種2．（2023上·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？计谀┈F(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．93．（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考期末）中國人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導(dǎo)和指揮江蘇?浙江?上海?安徽?福建?江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達命令，要求從江西或福建派出一架偵察機對臺?？沼蜻M行偵查，已知江西有架偵察機，福建有架偵察機，則不同的分派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只用銀聯(lián)卡結(jié)賬，顧客乙只用微信和銀聯(lián)卡結(jié)賬，顧客丁與甲、乙結(jié)賬方式不同，丙用哪種結(jié)賬方式都可以.若甲乙丙丁購物后依次結(jié)賬，那么他們結(jié)賬方式的組合種數(shù)共有（

）A．20種 B．24種 C．30種 D．36種5．（2023下·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┕糯袊奶珮O八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構(gòu)成四邊形，其中梯形的個數(shù)為（

）A．16 B．20 C．24 D．286．（2024上·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計分解式中素因數(shù)的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數(shù)個數(shù)為（

）A．25 B．20 C．15 D．127．（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù).算籌計數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為（

）A． B． C． D．8．（2023下·北京·高二北大附中校考期末）某公司有家直營店，現(xiàn)需將箱貨物運送至直營店進行銷售，各直營店出售該貨物以往所得利潤統(tǒng)計如下表所示.根據(jù)此表，該公司獲得最大總利潤的運送方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種二、多選題9．（2023下·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種10．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．11．（2023下·湖南長沙·高二周南中學(xué)?？计谀┈F(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中選出2個球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法三、填空題12．（2023上·廣東廣州·高三廣州六中?？计谀┠成鐓^(qū)年終活動設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)，方案如下：準(zhǔn)備足夠多的寫有“和諧”、“和睦”、“復(fù)興”的卡片，參與者隨機逐一抽取四張，若集齊三種卡片就獲獎.王大爺按規(guī)定參與抽獎，則他直到第四次抽取出卡片才確定獲獎的不同情況種數(shù)為.13．（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考期末）用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認(rèn)為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色;b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有種。14．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）從1，2，3，4，7，9中任取2個不相同的數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到個對數(shù)值.15．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知，則關(guān)于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為.四、解答題16．（2023·高二課時練習(xí)）某?！皵?shù)學(xué)俱樂部”有高一學(xué)生10人，高二學(xué)生8