高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第一章 空間向量與立體幾何】八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（解析版）

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一章八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】題型1題型1空間向量的線性運(yùn)算1．（2023上·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）求a+2b-3A．2a+3C．2a-5【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.【解答過(guò)程】原式=a+3×2故選：B.2．（2023上·吉林·高二統(tǒng)考期末）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則AB+12BC+

A．AD B．GA C．AG D．MG【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則化簡(jiǎn)即可．【解答過(guò)程】∵M(jìn)，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴12BC=∴AB+故選：C.3．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列算式：(1)32(2)OA-【解題思路】（1）根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算即可求得答案；（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【解答過(guò)程】（1）3=2a（2）OA==BA4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1(1)CB+(2)AC+(3)12【解題思路】（1）（2）（3）利用空間向量的加減法的運(yùn)算法則和幾何意義化簡(jiǎn)．【解答過(guò)程】（1）解：CB+（2）解：因?yàn)镸是BB1的中點(diǎn)，所以BM=所以AC+（3）解：1=題型2空間向量數(shù)量積的計(jì)算題型2空間向量數(shù)量積的計(jì)算1．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┤鐖D，在四面體ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.則BC?BD=

A．32 B．52 C．92【解題思路】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.【解答過(guò)程】BC===3×=9故選：C.2．（2023下·河北石家莊·高一?？计谀┱拿骟w的棱長(zhǎng)為2，MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個(gè)點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN最長(zhǎng)時(shí)，PM?PN的最大值為（A．13 B．43 C．14【解題思路】設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，G為△BCD的中心，E為CD的中點(diǎn)，連接AG，BE，則O在AG上，連接BO，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)MN為內(nèi)切球的直徑時(shí)，MN最長(zhǎng)，化簡(jiǎn)PM?PN【解答過(guò)程】設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，G為△BCD的中心，E為CD的中點(diǎn)，連接AG，BE，則O在AG上，連接BO，則AO=OB因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，所以BG=2所以AG=AB2(AG-r)2=r2+B當(dāng)MN為內(nèi)切球的直徑時(shí)，MN最長(zhǎng)，此時(shí)OMPM==PO因?yàn)镻為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)P為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，PO最長(zhǎng)，PO的最大值為26所以PM?PN的最大值為故選：B.3．（2023上·遼寧遼陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）如圖，在底面為矩形的四棱錐E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G為棱BE的中點(diǎn).(1)證明：AG⊥平面BCE.(2)若AB=4，AD=6，ED=3EF，求【解題思路】（1）根據(jù)已知，利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABE，從而得到BC⊥AG，利用等腰三角形的中線性質(zhì)得到AG⊥BE，然后利用線面垂直的判定定理證明AG⊥平面BCE；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出AG,CF【解答過(guò)程】（1）證明：因?yàn)锳E⊥底面ABCD，所以AE⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AE=A，AB,AE?平面ABE，所以BC⊥平面ABE，則BC⊥AG.因?yàn)镚為棱BE的中點(diǎn)，AE=AB，所以AG⊥BE，又BC∩BE=B，BC,BE?平面BCE.所以AG⊥平面BCE.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A0,0,0，C4,6,0，G2,0,2因?yàn)锳G=2,0,2，所以AG?4．（2023上·內(nèi)蒙古·高二?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D為PC的中點(diǎn)，BE=2

(1)設(shè)PA=a，PB=b，BC=(2)若PA=PB=【解題思路】（1）連接BD,PE，利用空間向量的線性運(yùn)算，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【解答過(guò)程】（1）解：如圖所示，連接BD,PE，可得DE=因?yàn)镈為PC的中點(diǎn)，則BE=2所以AE=所以DE=2（2）解：因?yàn)锳C=所以AC?=-2因?yàn)镻A⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB,BC?平面PBC,PB?平面PAB，所以PA⊥PB,PA⊥BC,PB⊥BC，又因?yàn)镻A=所以-2所以AC?題型3用空間基底表示向量題型3用空間基底表示向量1．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.已知四棱錐P-ABCD是陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=a,AD

A．38a+C．34a+【解題思路】結(jié)合已知條件，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)镻E=3EC，所以因?yàn)锳C=AB+因?yàn)锳E=所以DE=故選：D.2．（2023上·山東菏澤·高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P為AD1A．12a+C．12a-【解題思路】根據(jù)空間向量的加法，減法，數(shù)乘向量運(yùn)算的定義求解即可.【解答過(guò)程】CP=故選：C.3．（2023上·全國(guó)·高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=a，AD=b，AA'=

(1)AP；(2)AM；(3)AN.【解題思路】（1）（2）（3）連接AC，AD'，AC'，根據(jù)在平行六面體中各向量對(duì)應(yīng)線段與AB，AD，AA'對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系，用AB【解答過(guò)程】（1）連接AC，AD'，

AP=（2）AM=（3）AN=14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1．（1）若G為△ABC的重心，A1M=3MG，設(shè)AB=（2）若平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點(diǎn)，AC1∩BD1＝O，求證：OE⊥平面ABC1D1．【解題思路】（1）利用向量加法的三角形法則及重心的性質(zhì)，將AG用基底表示，再在三角形A1AG中，將A1（2）連接C1E，AE，由已知證明△C1EA為等腰三角形，從而OE⊥AC1，同理可證明OE⊥BD1，最后由線面垂直的判定定理證明結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）依題意，A1∵G為△ABC的重心，∴AG=又∵AC=∴A1M==3=1（2）連接C1E，AE，∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC1B1，∴C1E＝AE，∴△C1EA為等腰三角形，∵O為AC1的中點(diǎn)，∴OE⊥AC1，同理可證OE⊥BD1，∵AC1∩BD1＝O，∴OE⊥平面ABC1D1．題型4題型4由空間向量基本定理求參數(shù)1．（2023上·貴州貴陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是BB1和A1C1A．-1,12,12 B．-1,1【解題思路】根據(jù)題意用空間基底向量表示向量，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】由題意可得：MN=故x=-1,y=1故選：A.2．（2023下·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M,N滿足PM=12PC，PN=23A．-1 B．1 C．-12 D【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】

因?yàn)镻M=12所以MN=2因?yàn)镸N=xAB+yAD+zAP，所以所以x+y+z=-1故選：C.3．（2023上·海南?？凇じ叨？茧A段練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在(1)求證：A，E，C1，F(xiàn)(2)若EF=xAB+yAD【解題思路】（1）根據(jù)空間向量基本定理即可證明；（2）把AB,AD【解答過(guò)程】（1）證明：∵=AB∴A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面（2）∵=AD∴x=-1，y=1∴x+y+z=14．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'，(1)AC(2)AE=(3)AF=【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則，利用基底表示出所求向量，由此可得結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）AC'=（2）AE=12（3）AF=12題型5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題型5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．（2023上·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量a=2,-1,2,b=A．4,-2,4 B．2,-1,2 C．3,0,3 D．1,-2,1【解題思路】利用空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算法則得到答案.【解答過(guò)程】2a故選：C.2．（2023上·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)A1,2,3，點(diǎn)B4,-1,0，且AC=2CB，則點(diǎn)A．3,0,1 B．2,1,2C．32,-3【解題思路】設(shè)Cx,y,z，根據(jù)AC=2【解答過(guò)程】設(shè)Cx,y,z，則AC因?yàn)锳C=2CB，所以x-1=24-x故點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,0,1.故選:A.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）分別求滿足下列條件的向量x：(1)2(-1,5,1)+4x(2)(3,7,1)+2x【解題思路】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?(-1,5,1)+4x=(2,14,-2)，所以所以x=(1,1,-1)（2）因?yàn)?3,7,1)+2x=(6,10,4)-x所以x=(1,1,1)4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D(1)向量AC'，BD(2)AC'+2【解題思路】（1）先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.【解答過(guò)程】（1）由已知A0,0,0則AC'=1,2,3（2）ACAC題型6題型6空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．（2023上·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）若a=2,3,2,b=A．-1 B．0 C．1 D．2【解題思路】直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得.【解答過(guò)程】因?yàn)閍=所以a-故選：C.2．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量a=(1,1,x)，b=(-2,2,3)，若(2a-bA．-3 B．3 C．-1 D．6【解題思路】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得2a-【解答過(guò)程】由題意知，2由(2a-b解得x=3.故選：B.3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量a，b，c滿足2a+b=0,-5,10，c【解題思路】將b=0,-5,10-2a【解答過(guò)程】由已知b?4．（2022上·新疆巴音郭楞·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a→=4,2,-4，b(1)2a(2)a→(3)a→【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算即可求解，（2）（3）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，【解答過(guò)程】（1）由a→=4,2,-4得2a（2）a→（3）a?題型7題型7利用空間向量證明線、面間的平行關(guān)系1．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB【解題思路】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1,C1D1【解答過(guò)程】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1,C1因?yàn)锳1M=AN=2又因?yàn)镃1D1⊥平面BB可得MN?C1且MN?平面BB1C1C，所以故選：B.2．（2022上·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，當(dāng)A．1 B．2 C．3 D．5【解題思路】根據(jù)題意可知，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用共線定理和線面平行的向量解法可確定實(shí)數(shù)λ【解答過(guò)程】如下圖所示：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)則A1(0,0,1),B(2,0,0),C(2,2,0),即A1C=(2,2,-1)由A1C即x=2λ則D設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為BC1令y1=1，則x由D1P//平面BDC1可知，所以λ=3.故選：C.3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是PA,BD上一點(diǎn)，且PM:MA=BN:ND=1:2，求證：MN∥平面PBC.【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及向量共線定理，利用線面平行的判定定理即可求解.【解答過(guò)程】由題意知MN=MP+PB+在BC上取點(diǎn)E，使BE=12所以MN∥PE.因?yàn)镻E?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC.4．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若O

求證：(1)BO(2)BO1//(3)平面ACD1//【解題思路】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1的方向分別為x軸、y軸、（2）求出平面ACD1的法向量n，及直線的方向向量BO1，從而得到（3）可以利用A1C1//平面ACD1【解答過(guò)程】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1的方向分別為x軸、

依題意知：B(1,1,0)，O1(12,∴BO1=(-∴BO∴BO1//（2）設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z)∵A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1∴AC=(-1,1,0)，A由n?AC=0n?令x=1，則y=1,z=1，∴n=(1,1,1)又BO∴n?BO1又BO1?平面ACD1，（3）證法一

∵A1∴A1C1∴A1C1=又AC?平面ACD1，A1∴A1C1又由（2）知BO1//平面AC且A1C1?平面BA∴平面ACD1//證法二

設(shè)平面BA1則u?A1C令x=1，得y=1,z=1，∴u=(1,1,1)由（2）知平面ACD1的一個(gè)法向量n=(1,1,1)∴n=u，∴∴平面ACD1//題型8題型8利用空間向量證明線、面間的垂直關(guān)系1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D①平面EFC1⊥②MP⊥A③MP⊥C④EF//平面AA．①② B．①②④ C．②③④ D．①④【解題思路】對(duì)于①，根據(jù)題意得A1C1⊥B1D1，B1D1//BD，AA1⊥平面ABCD，得A1C1⊥BD,AA1⊥BD，得BD⊥平面AA1C1【解答過(guò)程】由題知，在正方體ABCD-A1B1C如圖，連接A1所以A1C1⊥B1D所以A1因?yàn)锳1C1所以BD⊥平面AA因?yàn)樵凇鰾CD中，E,F分別為CD,BC中點(diǎn)，所以EF//BD，所以EF⊥平面AA因?yàn)镋F?平面EF所以平面EFC1⊥平面A由題知，D1A1⊥D1C1⊥設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，因?yàn)镋,F,M分別為所在棱的中點(diǎn)，P為下底面的中心，所以M(2,0,1),P(1,1,0),A所以MP=(-1,1,-1),因?yàn)镸P·所以MP⊥A1D成立，MP⊥C1又由①中得，B1D1所以EF//B因?yàn)镋F?平面AD1B1，所以EF//平面AD1B故選：B.2．（2022上·上海嘉定·高二?？计谥校┰谡襟wABCD-A1B1C1DA．存在點(diǎn)Q使得BQ與平面B1CD垂直 B．存在點(diǎn)Q使得DQ與平面C．存在點(diǎn)Q使得B1Q與平面B1CD垂直 D．存在點(diǎn)Q使得【解題思路】如圖，以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，求出平面B1CD【解答過(guò)程】如圖，以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則所以DC=(0,1,0),設(shè)平面B1CD的法向量為m?DC=y=0m?設(shè)Q(1,0,t)(0≤t≤1)，對(duì)于A，BQ=(0,-1,t)，若BQ與平面B1CD垂直，則BQ與m共線，則存在唯一λ，使BQ=λm，則(0,-1,t)=λ(1,0,-1)，所以0=λ-1=0t=-λ，方程組不成立，所以BQ與m對(duì)于B，DQ=(1,0,t)，若DQ與平面B1CD垂直，則DQ與m共線，則存在唯一μ，使DQ=μm，則(1,0,t)=μ(1,0,-1)，所以1=μ0=0t=-μ，得t=-1不合題意，所以DQ與m對(duì)于C，B1Q=(0,-1,t-1)，若B1Q與平面B1CD垂直，則B1Q與m共線，則存在唯一λ1，使B1Q=λ1對(duì)于D，D1Q=(1,0,t-1)，若D1Q與平面B1CD垂直，則D1Q與m共線，則存在唯一μ1，使D1Q=μ1m，則(1,0,t-1)=μ故選：D.3．（2023上·天津·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，PA=2．

(1)求證：AE⊥P