三角形解答題（解析版）-三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題匯編（湖北）

專題17三角形解答題

1.(2021?黃石)如圖，D是aABC的邊AB上一點，CF√AB,DF交AC于E點，DE=EF.

(1)求證：Z?ADE絲Z?CFE;

(2)若AB=5,CF=4,求BD的長.

【分析】(1)利用角角邊定理判定即可；

(2)利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD的長，用AB-AD即可得出結(jié)論.

【解答】⑴證明：：CF〃AB,

ΛZADF=ZF,ZA=ZECF.

在AADE和ACFE中，

ZA=ZECF

ZADE=ZF,

DE=FE

ΛΔADE^ΔCFE(AAS).

(2)VΔADE^ACFE,

.?.AD=CF=4.

.?.BD=AB-AD=5-4=1.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).選擇合適的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?黃石)如圖，ΛB=AE,ΛB√DE,ZDΛB=70o,ZE=40o.

(1)求NDAE的度數(shù)；

(2)若∕B=30°,求證：AD=BC.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/EAB,再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解;

(2)根據(jù)ASA可證AADE絲ABCA,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解(1)VAB/7DE,ZE=40o,

ΛZEAB=ZE=40o,

?.?∕DAB=70°,

.?.∕DAE=30°；

(2)證明：在AADE與ABCA中,

'ZB=ZDAE

-AB=AE,

/BAC=ZE

ΛΔADE^ΔBCA(ASA),

ΛAD=BC.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定.全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS,HL,全等三角形的對應(yīng)角相等.

3.(2022?黃石)如圖，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC-ZDAE=90°,且點

D在線段BC上，連CE.

(1)求證：Z?ABD絲Z?ACE;

(2)若∕EAC=60°,求/CED的度數(shù).

【分析】(1)可利用SAS證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得NACE=NABD,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得NACE

=ZABD=ZAED=45o,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解NAEC的度數(shù)，進而可求可求

解

【解答】⑴證明：?.?NBAC=NDAE=90°,

ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

在AABD和aACE中，

(AB=AC

ZBAD=ZCAE,

AD=AE

ΛΔABD^?ACE(SAS)；

(2)解：VΔABD^ΔACE,

：?ZACE=ZABD,

V?ABC和aADE都是等腰直角三角形，

ΛZACE=ZABD=ZAED=45o,

VZEAC=60o,

ΛZAEC=180o-ZACE-ZEAC=180°-45°-60°=75°,

ΛZCED=ZAEC-ZAED=75O-45°=30°.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)

角和定理，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

4.(2020?荊門)如圖，Z?ABC中，AB=AC,NB的平分線交AC于D,AE〃BC交BD的延長線

于點E,AFLAB交BE于點F.

(1)若NBAC=40°,求NAFE的度數(shù)；

(2)若AD=DC=2,求AF的長.

【分析】(1)求出NABC=70°,由平分線的性質(zhì)得NABD=NDBC=35°,由AF_LAB,得

NBAF=90°,由三角形外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；

(2)易證4ADE之Z?CDB(AAS),得出AE=Ba易證NE=NABD,得出AB=AE,貝IJZiABC

是等邊三角形，得NABF=30°,在RtZ?ABF中，AF=AB?tanZABF,即可得出結(jié)果.

【解答】解：⑴VAB=AC,ZBAC=40o,

11

ΛZABC=?(180o-40o)=^×140o=70°,

YBD平分NABC,

1I

???NABD=NDBC=INABC=WX70。=35°,

VAF±AB,

ΛZBAF=90o,

ΛZAFE=ZABD+ZBAF=35o+90°=125°；

(2)VAE/7BC,

ΛZE=ZDBC,

在4ADE和aCDB中，

(NE=ZDBC

JNADE=ZCDB,

(AD=DC

ΛΔADE^ΔCDB(AAS),

ΛAE=BC,

VZE=ZDBC,ZABD=ZDBC,

ΛZE=ZABD,

ΛAB=AE,

JAB=BC,

VAB=AC,

AAB=AC=BC,

.*?ΔABC是等邊三角形，

ΛZABC=60o,

ΛZABF=30°,

VAD=DC=2,

ΛAB=AC=4,

在RtZXABF中，AF=AB?tanZABF=4×tan30o=4x母=竽.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形

的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知

識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?荊門)如圖，己知矩形ABCD中，AB=8,BC=x(0<x<8),將AACB沿AC對折

到AACE的位置，AE和CD交于點F.

(1)求證：Z?CEF絲AADF;

(2)求tanZDAF的值(用含X的式子表示).

E

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NB=∕D=90°,BC=AD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=

CE,∕E=∕B=90°,等量代換得到∕E=∕D=90°,AD=CE,根據(jù)AAS證明三角形全

等即可；

(2)設(shè)DF=a,則CF=8-a,根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF=CF=8-a,在Rt

△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案.

【解答】(1)證明：［四邊形ABCD是矩形,

ΛZB=ZD=90o,BC=AD,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC=CE,ZE=ZB=90o,

.?.NE=ND=90°,AD=CE,

在ACEF與AADF中，

(ZCFE=ZAFD

jZD=ZE=90。,

VAD=CE

ΛΔCEF^?ADF(AAS)：

(2)解:設(shè)DF=a,則CF=8-a,

?.?四邊形ABCD是矩形，

ΛAB√CD,AD=BC=X,

ΛZDCA=ZBAC,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得：ZEAC=ZBAC,

ΛZDCA=ZEAC,

ΛAF=CF=8-a,

在RtZXADF中，

VAD2+DF2=AF2,

Λχ2+a2=(8-a)j,

64-X2

a=

16

DF_64-X2

.".tanZDAF=AD=16x'

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻

折變換(折疊問題)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF=CF是解題的關(guān)鍵.

6.(2022?仙桃)已知CD是AABC的角平分線，點E,F分別在邊AC,BC±,AD=?n,BD=n,

ΔADE與ABDF的面積之和為S.

(1)填空：當NACB=90°,DE±AC,DFJ_BC時，

①如圖1,若NB=45°,m=5√2,則n=5√Σ,S=25；

②如圖2,若NB=60。，m=4√3,則n=4,S=8次；

(2)如圖3,當∕ACB=NEDF=90°時，探究S與m,n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖4,當NACB=60°,ZEDF=120o,m=6,n=4時，請直接寫出S的大小.

圖1圖2圖3圖4

【分析】(1)①證明4ADE,ABDF都是等腰直角三角形即可解決問題；

②解直角三角形求出AE,DE,BF,DF可得結(jié)論；

(2)如圖3中，過點D作DM,AC于點M,DNLBC于點N.證明ADME絲ADNF(ASA),推

?S=SΔΛDE+SΔBDF=SΔΛDM+SΔBDN,把aBDN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到右邊aADN,ZADN=

90°,ΛD=m,DN=n,可得結(jié)論；

(3)如圖4中，過點D作DM,AC于點M,DNLBC于點N.證明ADME^aDNF(AAS),推

出S=SΔ,WE+SΔBDF=SΔΛDM+SΔBDN,把aADM繞點順時針旋轉(zhuǎn)120°得到aDNT,NBDT=60°,

DT=6,DB=4,過點B作BHJ_DT于點H,解直角三角形求出BH,可得結(jié)論.

【解答】解：(1)①如圖1中，VZACB=90o,NB=45°,

ΛCA=CB,

YCD平分NACB,

ΛAD=DB=5√2,

VDE±AC,DF±BC,NA=NB=45°,

ΛΔADE,zM3DF都是等腰直角三角形,

.?.BF=DF=5,AE=DE=5,

11

ΛS=I×5X5+∣x5X5=25,

故答案為：5√2,25；

②如圖2中，

在RtZ?ADE中，AD=4√3,NA=90°-∕B=30°,

ΛDE=^ΛD=2√3,AE=√3DE=6,

VDEXAC,DFlBC,CD平分/ACB,

ΛDE=DF=2√3,

ΛBF=2,BD=2BF=4,

Λn=4,

ΛS=I×2√3×6+∣×2√3×2=8√3,

故答案為：4,8√3;

(2)如圖3中，過點D作DM,AC于點M,DNLBC于點N.

圖3

VDM±AC,DN±BC,CD平分NACB,

ΛDM=DN,

VZDMC=ZDNC=ZMCN=90σ,

??.四邊形DNCM是矩形，

ΛDM=DN,

???四邊形DMCN是正方形，

ΛZMDN=ZEDF=90o,

：?ZMDE=ZNDF,

VZDME=ZDNF,

ΛΔDME^ΔDNF(ASA),

?*?S=SΔADE+SΔBDF≈SΔADM+SΔBDN,

把ABDN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到右邊AADH,NADH=90°,AD=HbDH=n,

?Q1

..S=々inn；

(3)如圖4中，過點D作DM,AC于點M,DNJ_BC于點N.

圖4

VDM±AC,DN±BC,CD平分NACB,

ΛDM=DN,

VZDMC=ZDNC=90o,

ΛZMDN=180o-ZACB=120°,

JNEDF=NMDN=I20°,

ΛZEDM=ZFDN,

VZDME=ZDNF=90o,

ΛΔDME^ΔDNF(AAS),

+

?>?S=SΔΛBESΔBDF=SΔΛDM+SΔ∣J∣>>I?>

把AADM繞點順時針旋轉(zhuǎn)120°得到ADNT,ZBDT=60o,DT=6,DB=4,

過點B作BH,DT于點H,

.?.BH=BDXsin60°=4x整=2/，

,S=SABDT=∣×6×2√3=6√3.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了特殊直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，

解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，

屬于中考壓軸題.

7.(2022?鄂州)如圖1,在平面直角坐標系中，RtaOAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，

且0A=6,斜邊OB=IO,點P為線段AB上一動點.

(1)請直接寫出點B的坐標；

(2)若動點P滿足NPOB=45°,求此時點P的坐標；

(3)如圖2,若點E為線段OB的中點，連接PE,以PE為折痕，在平面內(nèi)將AAPE折疊，

點A的對應(yīng)點為A',當PA'J_OB時，求此時點P的坐標；

(4)如圖3,若F為線段AO上一點，且AF=2,連接FP,將線段FP繞點F順時針方向

旋轉(zhuǎn)60°得線段FG,連接0G,當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段

(2)如圖1中，過點P作PHLOB于點H.設(shè)PH=OH=X,構(gòu)建方程求出X,再利用相似

三角形的性質(zhì)求出PB即可；

(3)如圖2中，設(shè)PA'交OB于點T.利用相似三角形的性質(zhì)求出ET,再求出PB,可得

結(jié)論；

(4)如圖3中，以AF為邊向右作等邊AAFK,連接KG,延長KG交X軸于點R,過點K

作KJJ_AF于點J.KQJ_OR于點Q,過點0作OTuKR于W.證明4AFPZ^KFG(SAS),推

出NPAF=NGKF=90°,推出點G在直線KR上運動，當點G與W重合時，OG的值最小.

【解答】解：（1）如圖1中，在RtZ?A0B中，Z0AB=90o,0A=6,OB=IO,

ΛAB=√OB2-OA2=√102-62=8,

,B(8,6)；

(2)如圖1中，過點P作PHLOB于點H.

VZP0H=45o,

ΛPH=OH,

設(shè)PH=OH=x,

VZB=ZB,ZBHP=ZBA0=90o,

ΛΔBHP^ΔBΛO,

PHBHPB

AO-BA^OB,

XBHPB

6^8-10’

45

.?.BH=]x,PB=^x,

4

Λx+^x=10,

?30

??x=—,

.53050

??πPdB=3×T=T'

ΛPA=AB-PB=8-^=1,

6

ΛP(-,6)；

7

（3）如圖2中，設(shè)PA'交OB于點T.

圖2

VZ0AB=90o,OE=EB,

.?.EA=E0=EB=5,

ΛZEAB=ZB,

由翻折的性質(zhì)可知NEAB=NA',

ΛZA,=ZB,

VA,P±OB,

,NETA'=ZBA0=90o,

ΛΔA,TE∞ΔBAO,

?NE_ET

OB-A0,

β_5__ET

?.—,

106

ΛET=3,BT=5-3=2,

,?BTAB

?cosBd=麗=而'

.28

*βPB-10,

ΛPB=∣,

511

.'AP=AB-PB=8-*=中，

11、

.,.P(—,6)；

2

(4)如圖3中，以AF為邊向右作等邊AAFK,連接KG,延長KG交X軸于點R,過點K

作KJLAF于點J.KQLOR于點Q,過點。作OVuKR于W.

圖3

?ZAFK=ZPFG=60o，

.NAFP=NKFG,

?FA=FK,FP=FG,

?△AFP絲Z?KFG(SAS),

.ZPAF=ZGKF=90o,

?點G在直線KR上運動，當點G與W重合時，OG的值最小,

,KJ±OA,KQ±OR,

.NKJO=NJoQ=NoQK=90°,

.四邊形JOQK是矩形，

.OJ=KQ,JK=OQ,

?KA=KF,KJlAF,

.AJ=JF=I,KJ=√3,

.KQ=0J=5,

,ZKRQ=360o-90°-90°-120°=60°,

.QR=等KQ=祟

.OR=百+苧=孥

.0W=0R?sin60o=4,

,OG的最小值為4,

?0F=0W=4,ZF0W=60o,

?AFOW是等邊三角形，

?FW=4,即FG=4,

2

.線段FP掃過的面積=6°,ln4=?

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,

構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

8.(2022?武漢)問題提出

如圖(1),在aABC中，AB=AC,D是AC的中點，延長BC至點E,使DE=DB,延長ED

AF

交AB于點F,探究77的值.

AB

問題探究

AF

(1)先將問題特殊化.如圖(2),當NBAC=60°時，直接寫出二的值；

AB

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

CG1

如圖(3),在aABC中，ΛB=AC,D是AC的中點，G是邊BC上一點，一=-(n<2),

BCn

AF

延長BC至點E,使DE=DG,延長ED交AB于點F.直接寫出二的值(用含n的式子表示).

【分析】問題探究

(1)取AB的中點G,連接DG,利用等邊三角形的性質(zhì)可得點F為AG的中點，從而得出

答案；

EB3

(2)取Be的中點H,連接DH,利用ASA證明aDBH絲Z?DEC,得BH=EC,則一=一,再

EH2

根據(jù)DH〃AB,得AEDHSAEFB,從而得出答案；

問題拓展

HE1

取BC的中點H,連接DH,由(2)同理可證明ADGHgADEC,得GH=CE,得==一,再

BC7n

根據(jù)DH〃AB,得AEDHS∕?EFB,同理可得答案.

【解答】解:(1)如圖，取AB的中點G,連接DG,

A

??點D是AC的中點，

??DG是AABC的中位線，

?.DG√BC,

∕AB=AC,ZBΛC=60o,

,.ΔABC是等邊三角形，

??點D是Ae的中點，

?ZDBC=30o,

ZBD=ED,

?ZE=ZDBC=30o,

\DFlAB,

.φZAGD=ZADG=60o,

,.ΔADG是等邊三角形，

1

?AF=揶，

1

ZAG=抑，

?.AF=∣AB,

.AF1

"AB-4：

(2)取BC的中點H,連接DH,

：點D為Ae的中點,

ΛDH/7AB,DH=∣AB,

VAB=AC,

ΛDH=DC,

ΛZDHC=ZDCH,

VBD=DE,

ΛZDBH=ZDEC,

ΛZBDΠ=ZEDC,

ΛΔDBH^ΔDEC(ASA),

ΛBH=EC,

.EB3

??EH―2

VDH√AB,

Λ?EDH^ΔEFB,

.FBEB3

*ΦDH^EH^2,

φFB_3

φ*AB-4,

.AF1

.?~=—.

AB4,

問題拓展

取BC的中點H,連接DH,

由(2)同理可證明aDGH&Z?DEC(ASA),

ΛGH=CE,

ΛHE=CG,

CG_1

β?φ——,

BCn

HE1

?.—,

BCn

.HE2

??=一,

BHn

.HE__2_

BEn+2

VDH√BF,

ΛΔEDH^ΔEFB,

HEDH__2_

**BE-BF-n+2,

1

VDH=^AB,

.BFn+2

??=，

AB4

.AF2-n

*,AB-

【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，作輔助線構(gòu)造三角形全等是

解題的關(guān)鍵.

9.(2021?仙桃)如圖1,已知NRPQ=45°,Z?ABC中，ZACB=90o,動點P從點A出發(fā)，

以2√5cm∕s的速度在線段AC上向點C運動，PQ,PR分別與射線AB交于E,F兩點，且

PEXAB,當點P與點C重合時停止運動，如圖2,設(shè)點P的運動時間為xs,N即Q與aABC

2

的重疊部分面積為ycm,y與X的函數(shù)關(guān)系由C,(0<x≤5)和C2(5<x≤n)兩段不同

的圖象組成.

(1)填空：①當x=5s時，EF=10cm；

√5

②SlnA=—；

一5一

(2)求y與X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍；

(3)當y236cn)2時，請直接寫出X的取值范圍.

【分析】(1)當x=5時，如圖3中，點F與B重合.利用三角形的面積公式求出EF,PE,

可得結(jié)論.

(2)分兩種情形：當0<xW5時，重疊部分是aPEF,當5<xW6時，如圖4中，重疊

部分是四邊形PTBE,分別利用三角形面積公式求解即可.

(3)求出y=36時，對應(yīng)的X的值，可得結(jié)論.

【解答】解：(1)當x=5時，如圖3中，點F與B重合.

圖3

VZRPQ=45o,PE±AB,

ΛZPEF=90°,

.?.∕EPF=∕PFE=45°，

ΛEF=EP,

1

由題意一?EF?PE=50,

2

ΛEF=PE=10(cm),

VAP=5×2√5=10√5(cm),

..PE10√5

?"Aa=前==了.

√5

故答案為：10,γ.

(2)當0VxW5時，重疊部分是APEF,y=∣×(y×2√5x)2=2χ2.

如圖3中，在RtZ?APE中，AE=√PA2-PE2=2—IO2=20(cm),

ΛAB=EF+AE=30(cm),

ΛBC=^AB=6√5(cm),

ΛAC=√AB2-BC2=J3O2-(6√5)2=12√5,

.?.點P從A運動到C的時間X=笑=6,

當5<x<6時，如圖4中，重疊部分是四邊形PTBE,作BL〃PF交AC于L,過點L作LJ

J_AB于J,LK_LAC交AB于K,過點B作BIILPF于H.

圖4

VBLPF,

二NLBJ=NPFE=45°,

ΛΔBLJ是等腰直角三角形，

ΛBJ=LJ=10(cm),BL=10√2(cm),

.?+.KL1

?taM=AL=P

ΛLK=5√5,AK=25,

ΛBK=AB-AK=30-25=5,

VBC√KL,

???NFBT=NBKL,

ΛΔFBT^?BKL,

*_BF_F_T

??-=，

BKBL

.6x-30_TF

5—10√2,

.?.FT=(12√2x-60√2)(cm),

VBH=考BF=孝(6x-30)=3√2x-15√2,

2

.??y=SAPEF-S?BTF=∣×2x×2x-i×(12√2x-60√2)<3√2x-15√2)=-34χ+360x-900.

1

解法二：過點T作TWLBF于W,求出TW,根據(jù)S^BF=∕BF?TW,求解.

g,匚匚、4f2x2(O<x≤5)

綜上所述，y=].

(-34X2+360x-900(5<x≤6)

(3)當y=36時，2x°=36,x=3√2,

-34X2+360X-900=36,

78

解得x=6或石,

78

V—<5,

17

Ax=居不符合題意舍棄,

觀察圖象可知，滿足條件的X的值為3√2≤x≤6.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，三角形的面積，相似三角形的

判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角

形解決問題.

10.(2021?仙桃)已知aABC和ADEC都為等腰三角形,AB=AC,DE=DC,NBAC=NEDC=n°.

(1)當n=60時,

①如圖1,當點D在AC上時，請直接寫出BE與AD的數(shù)量關(guān)系：BE=AD；

②如圖2,當點D不在AC上時，判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當n=90時，

①如圖3,探究線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當BE〃AC,AB=3√2,AD=I時，請直接寫出DC的長.

【分析】(1)①根據(jù)題意當n=60時，AABC和ADEC均為等邊三角形，根據(jù)線段之間的

關(guān)系易推出BE=AD;

②通過SAS求證AACD絲Z?BCE,即可找到線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系；

(2)①根據(jù)已知條件，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等求證aDCAsZiECB即可找到線段

BE與AD的數(shù)量關(guān)系；

②分兩種情形：當點D在AABC外部，根據(jù)已知條件，利用兩角對應(yīng)相等求證AEFBs4

CFA,再利用相似比結(jié)合勾股定理即可算出EF的長，進而表示出EC的長即可求出DC的

長.當點D在aABC內(nèi)部時，當點D在AABC內(nèi)部時，過點DH_LAC于點H,根據(jù)已知條件

得出DH和CH,在ACDH中，根據(jù)勾股定理求出CD的值，綜上可得結(jié)論.

【解答】解：(1)①當n=60時，Z^ABC和aDEC均為等邊三角形，

ΛBC=AC,EC=DC,

XVBE=BC-EC,

AD=AC-DC,

ΛBE=AD,

故答案為：BE=AD;

②BE=AD,理由如下：

當點D不在AC上時，

VZACB=ZACD+ZDCB=60o,ZDCE=ZBCE+ZDCB=60o,

???ZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中，

(AC=BC

ZACD=NBCE,

DC=EC

ΛΔACD^ΔBCE(SAS),

ΛAD=BE;

(2)①BE=√∑AD,理由如下：

當n=90時，在等腰直角三角形DEC中：^l=Sin45°=烏,

ECN

AC√2

在等腰直角三角形ABC中：=sin45o=—,

BC2

VZACB=ZACE+ZECB=45o,ZDCE=ZACE+ZDCA=45°,

ΛZECB-ZDCA

在ADCA和AECB中，

,

(DC=AC_72

JEC=Bc=T,

(NDCA=ZECB

ΛΔDCA<^ΔECB,

AD_√2

?φ.—,

BE2

ΛBE=√2AD,

②DC=5或4^,理由如下：

當點D在AABC外部時，設(shè)EC與AB交于點F,如圖所示:

?.?AB=3√Σ,AD=I

由上可知：AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2,

又；BE〃AC,

.?.NEBF=NCAF=90°,

而/EFB=NCFA,

ΛΔEFB^ΔCFA,

,EF_BF_BE__V2__1

''CF-AF-AC-3√2-3’

.?.AF=3BF,而AB=BF+AF=3√2,

ΛBF=∣×3√2??,

在RtΔEBF中：EF=√BE2+BF2=J(√2)2+(竽/=空,

又?.?CF=3EF=3x警=

ΛEC=EF+CF=?+=5√2(或EC=4EF=5√5),

在等腰直角三角形DEC中，DC=EC?cos45o=5√2×2y=5.

當點D在aABC內(nèi)部時，過點D作DHLAC于H

VAC=3√2,AD=I,∕DAC=45°

.?.AH=DH=孝，CH=AC-AH=挈

ΛCD=√DH2+CH2=2+2=V13>

綜上所述，滿足條件的CD的值為5或g.

【點評】本題屬于三角形綜合大題，考查三角形基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題熟練掌握三角形的基本性質(zhì)，能根

據(jù)題意從易到難逐步推理，能在題干中找到相應(yīng)條件求證三角形全等或相似是解題的關(guān)

鍵.

11.(2020?襄陽)在aABC中，ZBAC=90o,AB=AC,點D在邊BC上，DE_LDA且DE=DA,

AE交邊BC于點F,連接CE.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當AD=AF時,

①求證：BD=CF;

②推斷：ZACE=90°

(2)探究證明：如圖2,當ADWAF時，請?zhí)骄縉ACE的度數(shù)是否為定值，并說明理由;

EF1

(3)拓展運用：如圖3,在(2)的條件下，當蒜=W時，過點D作AE的垂線，交AE

∕?r?

于點P,交AC于點K,若CK=竽，求DF的長.

圖2

【分析】(1)①證明AABDgaACF(AAS)可得結(jié)論.

②利用四點共圓的性質(zhì)解決問題即可.

(2)結(jié)論不變.利用四點共圓證明即可.

(3)如圖3中，連接EK.首先證明AB=AC=3EC,設(shè)EC=a,則AB=AC=3a,在RtaKCE

中，利用勾股定理求出a,再求出DP,PF即可解決問題.

【解答】(1)①證明：如圖1中,

BDC

E

圖1

VAB=AC,

ΛZB=ZACF,

VAD=AF,

：?ZADF=ZAFD,

：?ZADB=ZAFC,

ΛΔΛBD^ΔΛCF(AAS),

ΛBD=CF.

②結(jié)論：NACE=90°.

理由：如圖1中，VDA=DE,ZADE=90o,AB=AC,ZBAC=90o,

,NACD=NAED=45°,

ΛA,D,E,C四點共圓，

.?.ZADE+ZACE=180o,

ΛZACE=900.

故答案為90.

(2)結(jié)論：ZACE=90o.

理由：如圖2中,

圖2

VDA=DE,ZADE=90o,AB=AC,ZBAC=90o,

???NACD=NAED=45°,

ΛA,D,E,C四點共圓,

ΛZADE+ZACE=180o,

ΛZACE=90o.

(3)如圖3中，連接EK.

VZBAC+ZACE=180o,

ΛAB/7CE,

ECEF1,16

Λ一=—=一,設(shè)EC=a,貝πIJAB=AC=3a,AK=3a-

ABAF33

VDA=DE,DK±AE,

ΛAP=PE,

.?.AK=KE=3a-竽，

VEK2=CK2+EC2,

...（3a一竽）2=號）2+a2f

解得a=4或0（舍棄），

.?.EC=4,AB=AC=12,

ΛAE=√AC2+EC2=√122+42=4√10,

/.DP=PA=PE=∣AE=2√Tθ,EF=∣AE=√10,

ΛPF=EF=√10,

VZDPF=90o,

ΛDF=√DP2+PF2=J（2√Tδ）2+（√ιo）2=5√2.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，四點共圓，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,

屬于中考壓軸題.

12.(2020?隨州)勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯

定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)

學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)