新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第10章概率10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性學(xué)生用書新人教A版必修第二冊(cè)

10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)分．(數(shù)學(xué)抽象)2．結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估量概率．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)小剛拋擲一枚硬幣100次，消滅正面朝上48次．由此估量試驗(yàn)中該硬幣正面朝上的頻率是多少？若再拋擲一枚硬幣一次，消滅正面朝上的概率是多少？學(xué)問點(diǎn)頻率的穩(wěn)定性1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即大事A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)漸漸______大事A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這共性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估量概率P(A)．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)大事的頻率和概率不行能相等． ()(2)隨機(jī)大事的頻率和概率都隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化． ()(3)概率能反映隨機(jī)大事發(fā)生可能性的大小，而頻率則不能． ()類型1頻率和概率的關(guān)系【例1】(1)若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)大事A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的漸漸增大，有()A．f(n)與某個(gè)常數(shù)相等B．f(n)與某個(gè)常數(shù)的差漸漸減小C．f(n)與某個(gè)常數(shù)的差的確定值漸漸減小D．f(n)在某個(gè)常數(shù)的四周搖擺并趨于穩(wěn)定(2)下列關(guān)于概率和頻率的敘述中正確的有________．(把符合條件的全部答案的序號(hào)填在橫線上)①隨機(jī)大事的頻率就是概率；②隨機(jī)大事的概率是一個(gè)確定的數(shù)值，而頻率不是一個(gè)確定的數(shù)值；③頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)；④概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定；⑤概率可以看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)大事發(fā)生的可能性大小，而頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地看作這個(gè)大事的概率．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________頻率與概率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)大事消滅的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)大事發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)大事概率的估量值．通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，大事發(fā)生的頻率會(huì)漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，大事A發(fā)生的頻率為mn，當(dāng)n很大時(shí)，那么P(A)與mA．P(A)≈mn B．P(A)<C．P(A)>mn D．P(A)＝類型2用隨機(jī)大事的頻率估量其概率【例2】某公司為了解當(dāng)?shù)赜脩魧?duì)其產(chǎn)品的滿足度，從該地的A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40名用戶，依據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿足度評(píng)分(單位：分)，得到A地區(qū)的用戶滿足度評(píng)分的頻率分布直方圖(如圖)和B地區(qū)的用戶滿足度評(píng)分的頻數(shù)分布表(如表1)．表1滿足度評(píng)分[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)2814106(1)分別估量A，B兩地區(qū)樣本用戶滿足度評(píng)分低于70分的頻率．(2)依據(jù)用戶滿足度評(píng)分，將用戶的滿足度分為三個(gè)等級(jí)(如表2)，將頻率看作概率，從A，B兩地區(qū)的用戶中各隨機(jī)抽查一名用戶進(jìn)行調(diào)查，求至少有一名用戶評(píng)分滿足度等級(jí)為“滿足”或“格外滿足”的概率．表2滿足度評(píng)分低于70分[70，90)[90，100]滿足度等級(jí)不滿足滿足格外滿足[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估量概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額為2800元，估量賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估量在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3概率思想的實(shí)際應(yīng)用【例3】設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球．先隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺?，結(jié)果取得白球．推斷這球是從哪一個(gè)箱子中取出的？[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________概率是描述隨機(jī)大事發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)量，在一次試驗(yàn)中，概率大的大事比概率小的大事消滅的可能性更大．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．為了估量某自然愛護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該愛護(hù)區(qū)中捕出肯定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號(hào)且不影響其存活，然后放回愛護(hù)區(qū)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓它們和愛護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)膼圩o(hù)區(qū)中捕出肯定數(shù)量的天鵝，如150只．查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估量該自然愛護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的狀況消滅了8次，若用A表示“正面朝上”這一大事，則A的()A．概率為45 B．頻率為C．頻率為8 D．概率接近于82．“某彩票的中獎(jiǎng)概率為1100A．買100張彩票就肯定能中獎(jiǎng)B．買100張彩票能中一次獎(jiǎng)C．買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中D．購(gòu)買彩票中獎(jiǎng)的可能性為13．已知隨機(jī)大事A發(fā)生的頻率是0.02，大事A消滅了10次，那么共進(jìn)行了________次試驗(yàn)．4．假如袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個(gè)，從中任取1球，取了10次有7個(gè)白球，估量袋中數(shù)量較多的是________球．回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：頻率和概率有什么區(qū)分和聯(lián)系？10.3.1頻率的穩(wěn)定性[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)1.穩(wěn)定于課前自主體驗(yàn)(1)×(2)×(3)×[關(guān)鍵力量·合作探究釋疑難]例1(1)D(2)②⑤[(1)由頻率和概率的關(guān)系知，在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)大事A發(fā)生的頻率f(n)，隨著n的漸漸增加，頻率f(n)漸漸趨近于概率．故選D.(2)隨機(jī)大事的頻率是概率的近似值，頻率不是概率，故①錯(cuò)誤；隨機(jī)大事的頻率不是一個(gè)確定的數(shù)值，而概率是一個(gè)確定的數(shù)值，故②正確；頻率是隨機(jī)的，它與試驗(yàn)條件、次數(shù)等有關(guān)，而概率是確定的值，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，故③④錯(cuò)誤；由頻率與概率的關(guān)系可知⑤正確．]跟進(jìn)訓(xùn)練1．A[在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，大事A發(fā)生的頻率為mn，當(dāng)n很大時(shí)，mn越來(lái)越接近P(A)，因此我們可以用mn近似地代替P例2解：(1)由題圖可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.020×2＋a)×10＝1，解得a＝0.030，估量A地區(qū)樣本用戶滿足度評(píng)分低于70分的頻率為(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，估量B地區(qū)樣本用戶滿足度評(píng)分低于70分的頻率為1040(2)依據(jù)樣本頻率可以估量總體頻率，記大事M表示“從A地區(qū)隨機(jī)抽取一名用戶滿足度評(píng)級(jí)為不滿足”，則PM＝0.6.記大事N表示“從B地區(qū)隨機(jī)抽取一名用戶滿足度評(píng)級(jí)為不滿足”，則PN＝0.25.易知大事M和大事N相互獨(dú)立，則大事M和大事記大事C表示“至少有一名用戶評(píng)分滿足度等級(jí)為‘滿足’或‘格外滿足’”，則PC＝1－PC＝1－PMPN＝1－0.6×0.25＝0.85，故至少有一名用戶評(píng)分滿足度等級(jí)為“滿足”或“格外滿足”的概率為0.85.跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)車輛數(shù)為500＋130＋100＋150＋120＝1000.設(shè)A表示大事“賠付金額為3000元”，B表示大事“賠付金額為4000元”，以頻率估量概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝120由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示大事“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為24100＝0.24，由頻率估量概率得P(C例3解：甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，故隨機(jī)地取出一球，得到白球的可能性是99100.乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是1跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：設(shè)愛護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假設(shè)每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從愛護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)大事A＝{捕到帶有記號(hào)的天鵝}，則P(A)＝200n從愛護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的定義可知P(A)≈20150由200n≈20150，解得所以該自然愛護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只．[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]1．B[做n次隨機(jī)試驗(yàn)，大事A發(fā)生了m次，則大事A發(fā)生的頻率為mn.假如多次進(jìn)行試驗(yàn)，大事A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)四周搖擺，那么這個(gè)常數(shù)才是大事A的概率，故810＝452．D[某彩票的中獎(jiǎng)率為1100，