省直轄縣級行政區(qū)劃潛江市國營后湖農(nóng)場前湖中學高二數(shù)學理期末試題含解析

省直轄縣級行政區(qū)劃潛江市國營后湖農(nóng)場前湖中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)圖像上一點，以點為切點的切線為直線，則直線的傾斜角的范圍是

（

）A.

B． C．

D．參考答案：D略2.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，則b等于(

)A．4 B． C．4 D．參考答案：A【考點】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】先求得A，進而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故選A．【點評】本題主要考查了正弦定理的運用．考查了學生對基礎公式的熟練應用．3.復數(shù)z=（i是虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】化簡復數(shù)的分子，然后分母實數(shù)化，化復數(shù)為a+bi（a、b∈R）可得對應的點位于的象限．【解答】解：復數(shù)=故選B．【點評】該題主要考查復數(shù)的基本概念和運算，以及復平面上點的對應問題，屬于容易題．4.圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為3的正方形，側棱AA1長為4，且AA1與A1B1，A1D1的夾角都是60°，則AC1的長等于A.10

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知全集，，，則等于

（

）A.

B．

C．

D．參考答案：C6.用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設（

）A．三個內角都不大于60°

B．三個內角都大于60°C．三個內角至多有一個大于60°

D．三個內角至多有兩個大于60°參考答案：B7.已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點．則的方程為(

)A． B． C． D．參考答案：B8.已知集合A={0,2,3}，B={x|x=ab,a,b∈A}，且a≠b，則B的子集的個數(shù)是

(

）A．4

B．8

C．16

D．15參考答案：A9.函數(shù)的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.已知變量x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結合；綜合法；不等式的解法及應用．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，顯然直線過A（2，2）時，z取得最大值，代入求出即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由圖知，直線過A（2，2）時，z取得最大值，∴z的最大值是2，故選：C．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，是一道基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在伸縮變換φ：作用下，點P（1，﹣2）變換為P′的坐標為

．參考答案：（2，﹣1）【考點】Q5：平面直角坐標軸中的伸縮變換．【分析】根據(jù)題意，由伸縮變換公式可得x′=2x=2，y′=y=﹣1，代入即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，點P（1，﹣2），即x=1，y=﹣2，x′=2x=2，y′=y=﹣1，故P′的坐標為（2，﹣1），故答案為：（2，﹣1）．12.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值

．參考答案：略13.已知，則不等式的解集是____________.參考答案：14.某籃球運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率為________．(用數(shù)值作答)參考答案：略15.若某學校要從5名男同學和2名女同學中選出3人參加社會考察活動，則選出的同學中男女生均不少于1名的概率是_____.

參考答案：【分析】選出的男女同學均不少于1名有兩種情況：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根據(jù)組合數(shù)公式求出數(shù)量，再用古典概型計算公式求解.【詳解】從5名男同學和2名女同學中選出3人，有種選法；選出的男女同學均不少于1名，有種選法；故選出的同學中男女生均不少于1名的概率：.【點睛】本題考查排列組合和古典概型.排列組合方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當直接考慮情況較多時，可以用此法.16.向量的夾角為60°，且||=2，||=1，則__________.參考答案：6【分析】由題意，利用向量的數(shù)量積的運算，可得，即可求解.【詳解】由題意，可知向量的夾角為，且則.【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.17.命題“存在R，0”的否定是_________________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.橢圓C：，其長軸是短軸的兩倍，以某短軸頂點和長軸頂點為端點的線段作為直徑的圓的周長為，直線與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）過點O作直線l的垂線，垂足為D.若，求點D的軌跡方程；（3）設直線OA，l，OB的斜率分別為，，，其中且.設的面積為S.以OA、OB為直徑的圓的面積分別為，，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題意知a＝2b，且，由此能求出橢圓方程．（2）先考慮直線斜率存在時，設直線的方程為，和橢圓的方程聯(lián)立，結合向量的垂直關系即可找到找m，k的關系式，從而求得．再驗證斜率不存在時也滿足，則可得點的軌跡方程.（3）設直線l的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，利用韋達定理、橢圓弦長公式結合已知條件能求出的取值范圍．【詳解】（1）由題可知，，且，解得：，，故橢圓的方程為：.（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為，由可得，由韋達定理有：且∵，∴，即∴由韋達定理代入化簡得：∵垂直直線，∴當直線斜率不存在時，設：，易求，此時所以點的軌跡方程為.（3）設直線的方程為，由可得，由韋達定理有：且∵，∴，即由韋達定理代入化簡得：.∵，∴此時，即.故又為定值.∴∴當且僅當時等號成立.綜上：.【點睛】本題考查橢圓方程的求法及求曲線的方程，考查弦長公式、三角形面積公式及直線與橢圓位置關系的應用，考查了函數(shù)思想，屬于較難題．19.已知拋物線y2=4x的焦點為F，直線l過點M（4，0）． （Ⅰ）若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率； （Ⅱ）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸重合，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值． 參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；直線的斜率；點到直線的距離公式． 【專題】綜合題． 【分析】（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x﹣4），由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），因為點F到直線l的距離為，所以，由此能求出直線l的斜率． （Ⅱ）設線段AB中點的坐標為N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因為AB不垂直于x軸，所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為，由此能夠證明線段AB中點的橫坐標為定值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設直線l的方程為y=k（x﹣4）， 由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），…（1分） 因為點F到直線l的距離為， 所以，…（3分） 解得，所以直線l的斜率為．…（5分） （Ⅱ）設線段AB中點的坐標為N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 因為AB不垂直于x軸， 則直線MN的斜率為， 直線AB的斜率為，…（7分） 直線AB的方程為，…（8分） 聯(lián)立方程 消去x得，…（10分） 所以，…（11分） 因為N為AB中點， 所以，即，…（13分） 所以x0=2．即線段AB中點的橫坐標為定值2．…（14分） 【點評】本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．本題的易錯點是計算量大，容易出錯． 20.已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點，離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A，B兩點，若△OAB的面積為，求直線l的方程.

參考答案：解：（1）設橢圓的方程為：，由已知：得：，，所以，橢圓的方程為：.………3分（2）由已知直線過左焦點．①當直線與軸垂直時，，，此時，則，不滿足條件．②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：由得所以，，而，由已知得，所以，則，所以，所以直線的方程為：或．………12分

21.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，對總有2，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，，求數(shù)列{}的前項和.參考答案：解：（1）∵2，,成等差數(shù)列，當時，，解得．

…2分當時，．即．

∴數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，

……4分（2）又

………5分①②①—②，得

………6分

………8分22.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）對任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】計算題；轉化思想．【分析】（1）先求出其導函數(shù)，再讓其導函數(shù)大于0對應區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內找單調區(qū)間．）（2）已知條件可以轉化為a≥lnx﹣x﹣恒成立，對不等式右邊構造函數(shù)，利用其導函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，）令f'（x）＞0得：，