2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知P是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)a+bi（a,66R）的點(diǎn)，若復(fù)數(shù)a+兒是虛數(shù)，則點(diǎn)P（）

A.在虛軸上B.不在虛軸上C.在實(shí)軸上D.不在實(shí)軸上

2.對(duì)于任意兩個(gè)向量8和a下列命題中正確的是（）

A.\a+b\<\a-b\B.\a-b\<\a+b\

C.|a+K|<|a|+|K|D.|3-K|<||a|-|K||

3.在△力BC中，若2acosB=c,則△ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

4.從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選取兩人，則甲被選中的概率為（）

A.1B.|C.|D.1

5.已知一組數(shù)據(jù)有40個(gè)，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為10,5,7,6,第

五組的頻率是0.20,則第六組的頻率是（）

A.0.10B,0.12C.0.15D.0.18

6.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35,54,80,86,72,85,58,125,111,58,則

這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）

A.86B.85.5C.85D.84.5

7.下列命題正確的是（）

A.一條線段和不在這條線段上的一點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.兩條不平行的直線確定一個(gè)平面

C.三角形上不同的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.圓上不同的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

8.若m,n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同平面，mua,nu0,則"a〃0"是"m〃n"

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.設(shè)，是直線，a,0是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確的是（）

A.若l〃a,貝?歷〃0B.若l//a,11/?,則a10

C.若2_La,al/?,則”/夕D.若l〃a,al/?,貝北_L/?

10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD中，點(diǎn)E,F,G分

別是棱BC,CG，GD1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面為B1GD1上任意一點(diǎn),若

直線BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，則|BP|的最小值是（）

A.2AT2

B.V-6

C.A/-5

D.2

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程/+2=0的根為

12.已知一組數(shù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)的方差為

13.如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

港?廂的取值范圍是

14.在4ABC中，己知B=2C,b=6,c=4,貝iJcosC=,△ABC的面積為

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC。一4當(dāng)6。1中，E為棱

BC上的動(dòng)點(diǎn)且不與B重合，F(xiàn)為線段&E的中點(diǎn),給出下列四

個(gè)命題：

①三棱錐4-ABE的體積為:；

②4當(dāng)1&E；

③△力DF的面積為定值；

④四棱錐F-4是正四棱錐.

其中所有正確命題的序號(hào)是

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.（本小題13.0分）

已知復(fù)數(shù)z=x+yl（x>0,y>0）滿足|z|=5,且z-3是純虛數(shù).

(I)求2及｝;

(H)若z?+az+b=O(a,b€R),求a和b的值.

17.(本小題13.0分)

已知3是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，且五=(1,2),\b\=>T5.

(1)若方1石，求石的坐標(biāo)；

(n)^|a+K|=\a-2b\，求五與方夾角8的大小.

18.(本小題14.0分)

為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會(huì)進(jìn)行了居民對(duì)社區(qū)工作滿意度的問(wèn)卷調(diào)查.隨機(jī)抽取了100戶

居民的問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：[60,65),

[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90].

(I)求a的值;

(II)求這100戶居民問(wèn)卷評(píng)分的中位數(shù)；

(ID)若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共

抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再?gòu)倪@6戶居民中選取2戶進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，求這2戶居民

中恰有1戶的評(píng)分在[65,70)內(nèi)的概率.

頻率

19.(本小題15.0分)

已知△4BC中，bsinB+csinC=(a-2bsinC')sinA.

(I)求4的大??；

(11)若。是邊48的中點(diǎn)，且CO=2,求b+浮c的取值范圍.

20.(本小題15.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ZBCD是矩形，PD1底面且PD=1,AB=y/~3,

AD=2,E,尸分別是PC,BD的中點(diǎn).

(I)求證:EF〃平面PAD；

(H)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求三棱錐G-DCE的體

條件①：G是棱BC上一點(diǎn)，且BG=2GC；

條件②：G是PB的中點(diǎn)；

條件③：G是4PBC的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心).

21.(本小題15.0分)

如圖，在直三棱柱4BC-41B1G中，點(diǎn)M在棱AC上，且B】C〃平面&BM,AB=BC,AC=2,

AAr=y/-2.

(I)求證：M是棱AC的中點(diǎn)；

(口)求證：AGJ"平面4BM,

(HI)在棱BB1上是否存在點(diǎn)N,使得平面4C1N_L平面ACC1A1?如果存在，求出西的值；如果

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AM

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：若復(fù)數(shù)a+兒是虛數(shù)，

則b40,

故P(a,b)不在實(shí)軸上.

故選：D.

由已知結(jié)合復(fù)數(shù)概念可得a,b的取值，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可求.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)五與B同向時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)日與另反向時(shí)，顯然不成立，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)向量模的運(yùn)算性質(zhì)，顯然成立，故C正確；

對(duì)于。，當(dāng)值與B反向時(shí)，顯然不成立，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

根據(jù)向量線性運(yùn)算和模的性質(zhì)，可直接對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

本題考查向量的線性運(yùn)算和模的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?acosB=c,

由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

所以sin4cosB-sinBcosA=0,

即sin(A-8)=0,

所以4=B,

故△ABC為等腰三角形.

故選：A.

由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式在三角形形狀判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：從甲、乙、丙、丁四人中，隨機(jī)選取兩人，

基本事件總數(shù)n=C；=6,

甲被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)m=ClCl=3,

二甲被選中的概率為p=；=3=/

故選：C.

基本事件總數(shù)n=廢=6,甲被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)巾=盤6=3,由此能求出甲被選中的

概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由已知條件可得第一組到第四組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.25,0.125,0.175,0.15,又

這六組的頻率之和是1,

因此，第六組的頻率為1-0.25-0.125-0.175-0.15-0.20=0.10.

故選：A.

利用各組的頻率之和等于1的性質(zhì)即得.

本題考查頻率分布直方圖相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：10x0.7=7,

故從小到大排列：35,54,58,58,72,80,85,86,111,125,

取第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即里產(chǎn)=85.5.

故選：B.

按照求解百分位數(shù)的流程，先計(jì)算出10x0.7=7,故選取第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百

分位數(shù)即可.

本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,兩條不平行的直線可能為異面直線，兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,三角形，同一條邊上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,圓上不同的三個(gè)點(diǎn)不共線，可以確定一個(gè)平面，。正確.

故選：D.

根據(jù)題意，由平面的基本性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案.

本題考查平面的基本性質(zhì)，注意確定平面的條件，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：當(dāng)a//夕時(shí)，m,n也可能異面，也可能相交或平行，所以充分性不成立；

當(dāng)m〃n時(shí)，也可能a與0相交，或者是a〃0,所以必要性不成立；

所以"a〃0”是“7n〃n”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

本題考查了充分與必要條件的判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：若〃/a,，〃。，則a〃/?或a與相交,故A錯(cuò)誤;

若/〃a,則a內(nèi)存在直線m與/平行，又I1.，二m_L0,則a_L0,故8正確；

若/la,則”/0或故C錯(cuò)誤；

若〃/a,a_L0,則，u/?或〃"，故￡>錯(cuò)誤.

故選:B.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判定4CD；直接證明B正確.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解:連接CD1,B&,BCi，&G，

由正方體性質(zhì)可知：BAJ/CDJ/GF,

因GFu平面EFG,C平面EFG,

所以84〃平面EFG,

同理，BCJ/EF,

因EFu平面"G,BCiC平面EFG,

所以Bq〃平面EFG,

又nBCX=B,

BAru平面B&G，Bgu平面BA￡,

所以平面q〃平面EFG,

因直線BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，點(diǎn)P為底面A/iCDi上在意一點(diǎn),

所以P點(diǎn)在aG上，

故|BP|最小時(shí)，BP_L&Ci，

因正方體ABCD-4/GD1的棱長(zhǎng)為2,

所以三角形B&G為邊長(zhǎng)為的等邊三角形,

8「_141的時(shí)，田P|=2<7*5譏60。=門.

故選：B.

由直線BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，知BP〃平面EFG,由平面841cl〃平面EFG,知P點(diǎn)在41cl上,

利用三角形B&G為等邊三角形可得|BP|的最小值.

本題考查了面面平行的性質(zhì)以及立體幾何中距離的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

11.【答案】±「i

【解析】解：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由方程/+2=0得產(chǎn)=一2,即％=±，7晨

故答案為：±，2八

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得方程的根.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】y

【解析】解：數(shù)據(jù)1，2,m,6,7的平均數(shù)為4,

則&=x(1+2+m+6+7)=4,

解得?n=4,

所以這組數(shù)的方差為

s2=1x[(l-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)2]=y.

故答案為：

根據(jù)平均數(shù)的定義求出TH的值，再計(jì)算這組數(shù)的方差.

本題考查了平均數(shù)與方差的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】[3,4]

【解析】解：以。為原點(diǎn)，DC,04所在直線分別為x,y軸,

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則。(0,0),4(0,2),C(0,2),8(2,2),

設(shè)P(x,0),其中0SXS2,

則同=(-x,2)，PB=(2-x,2).

:.P4-PB=(-x)(2—x)+2x2=%2—2%+4=(%—

I)2+3,

當(dāng)x=l時(shí)，瓦？?兩有最小值，為3；

當(dāng)x=0或2時(shí)，可?麗有最大值，為4,

~PA-麗的取值范圍為[3,4].

故答案為：[3,4].

建立平面直角坐標(biāo)系，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算表示出兩.兩，再求二次函數(shù)的值域

即可.

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的值域，屬于中檔題.

14.【答案】C

44

【解析】解：因?yàn)锽=2C,所以s譏B=s譏2c.由正弦定理名=三,

sinBsinC

得上=/_,即/_=二_,則__1__=二_,

sinBsinCsin2CsinC2sinCcosCsinC

又CE（0,兀），sinCH0,所以cosC=

則sinC=7'—cos2c=

又由余弦定理cosC=巴解得a=4或a=5.

2ab

當(dāng)a=4時(shí)，A=C,又B=2C,則C=J,

與cosC=，矛盾，所以不符合題意，舍去；

當(dāng)a=5時(shí)，SMBC=^absinC=乙

第一空，直接利用正弦定理，二倍角公式可得；第二空，先求出sinC,再由cosC可得a,直接代

入三角形面積公式即可.

本題考查正余弦定理，考查同角函數(shù)關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③④

【解析】解：因?yàn)槿忮F4-&BE體積為以_4屎=VA.-ABE=lx^-AB-BE-AA1=^-BE<^

所以三棱錐A-A/E體積的最大值為"故①錯(cuò)誤；

連接AiB,4貝1MBi1A1B,又BC1平面ABBiAi，ABXcz^ABB^,

所以AB】1BC,nBC=B,

所以AB1，平面&BE,ABr1AXE,故②正確；

設(shè)AiBC4Bi=G,連接GF,則GF//BE,BE//AD,

所以G/7/4D,即尸和G到AD的距離相等且不變，所以三角形4DF的面積不變，故③正確；

^GF//BC,可知GF1?平面488出，

又ABBiA］為正方形,G為其中心，故四棱錐F-ABB141是正四棱錐，故④正確.

故答案為：②③④.

利用錐體的體積公式可判斷①，利用線面垂直的判定定理可判斷②，利用平行線的傳遞性及三角

形面積公式可判斷③，利用正棱錐的定義可判斷④.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】解：（1）復(fù)數(shù)2=芯+（（%>0,丫>0）滿足憶|=5,且2-3是純虛數(shù),

則x—3+yi為純虛數(shù)，B|Jx-3=0,解得x=3,

x2+y2=25,解得％=4,

/z=3c+4。?—1—--1-=----3--4-i---=—3——4i.?

W(z3+4i(3+4i)(3-4i)25251

(H)Z=3+4i,

z2+az+b=0,

則(3+4i)2+a(3+4i)+b=0,即-7+3a+b+24i+4ai=0,

故二?n'解得a=-6,b=25.

【解析】(I)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及純虛數(shù)的定義，即可求解;

(n)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(I)設(shè)方=(x,y).

因?yàn)槲?B，a=(1,2),

所以五?b——0即x+2y=0,

又因?yàn)閨b|=x/-5，所以J乂2+y2=5.

解之得x=2時(shí)，y=—1或x=-2時(shí)，y=1,

所以b=(2,—1)或b=(-2,1)-

(n)因?yàn)閨五+9=\n-2b\，所以0+1)2=位一29)2,

則￡-j-b2+2a.-b=a2+4b2—4a-b'即2a.衛(wèi)=針'

所以cos。=&卜==1,

同網(wǎng)21bl22

又因?yàn)椤[0,7T],

所以。=最

【解析】(I)設(shè)方=(x,y),按照向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；

(U)根據(jù)數(shù)量積與模、夾角的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)由頻率分布直方圖，(0.01+2a+0.04+0.05+0.06)x5=1,解得a=0.02.

(II)注意到前3個(gè)矩形對(duì)應(yīng)頻率之和為:(0.01+0.02+0.04)X5=0.35<0.5,

前4個(gè)矩形對(duì)應(yīng)頻率之和為：(0.01+0.02+0.04+0.06)x5=0.65>0.5,

則中位數(shù)在［75,80)之間，設(shè)為％,貝ij(x-75)X0.06+0.35=0.5,解得x=77.5,即中位數(shù)為77.5.

(HI)評(píng)分在［65,70),［70,75)對(duì)應(yīng)頻率為：0.1,0.2,則抽取6人中，［65,70)中的有2人,設(shè)為4,B,

［70,75)中的有4人,設(shè)為a,b,c,d,

則從6人中選取2人的情況為：(48),(4a)，(4b)，(Ac),(A,d),(B,a),(B,c),

(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15種，

恰有1人在［65,70)中的有：(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),8種情

況，

故相應(yīng)概率為：去

【解析】(I)由各組數(shù)據(jù)頻率之和為1可得a；

(U)由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)公式可得答案；

3)由(I)結(jié)合頻率分布直方圖可知6人中，［65,70)中的有2人，［70,75)中的有4人,后利用列舉

法可知總情況數(shù)與2人中恰有1人的評(píng)分在［70,75)內(nèi)的情況數(shù)，即可得答案.

本題考查由頻率分布直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，頻率分布直方圖坐標(biāo)軸的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(I)由正弦定理及+csinC=(a-IbslnQsinA^,62+c2=(a-2bsinC)a,

整理得b?+c2-a2=—2absinC,

由余弦定理知，b2+c2-a2=2bccosA,

所以一2a/?si?iC=2bccosAf^—asinC=ccosA,

由正弦定理知,asinC=csinA,

所以一cos力=sinA,即tcm/l=-1,

因?yàn)?e(0,7T),所以4=多.

(11)設(shè)乙4以(=匹則440C=：-a,其中ae(0,》,

在AACO中，由正弦定理知,4c_4D_CD_

sinz?lDC—sin乙4CD-sinA"

b

所以?2

sin(^-a)sina-

sin-^4

所以b=2V-2sin(2—a),c=4y/~~2sina,

4

所以b+?c=2Vising—a)+4sina=2yJ~2x早(COSQ—since)+4sina=2(sina+

cosa）=2，"^sin（a+力，

因?yàn)閍e（o,?所以a+.e%》所以sin（a+》e（容,1），

所以b+浮c=2「sin（a+》e（2,2，N），即b+亭c的取值范圍為（2,2，天）.

【解析】（I）利用正弦定理化角為邊，并結(jié)合余弦定理，推出-cos/=si7L4,從而知tcm4=-1,

得解；

（n）設(shè)乙4CD=a,a€（0,5，在△4CD中，利用正弦定理，可得b=2Csin《-a）,c=4yT2sina,

再結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)，求解即可.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換公式

是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：（I）證明：如圖，連接4C,則易知ACCBD=F,

vE,F分別是PC,8。的中點(diǎn)，???EF〃P4

又EFC平面PAD,且PAu平面PAD,

EF〃平面PAD；

（H）???PDJL底面ABCD,又DC,BCu底面ABCD,

PDVDC,BC1PD,又BCLDC,且PODOC=。,

BC1平面POC,

又根據(jù)題意易知4DCE的面積為gx（；x1xC）=?,

若選條件①：G是棱BC上一點(diǎn)，且BG=2GC,

則G到平面PCC的距離為GC=|,

???三棱錐G-DCE的體積為;xSA”EXGC=1XX

334318

若選條件②：G是P8的中點(diǎn)，

則G到平面PDC的距離為B到平面PDC的距離的一半，即為;BC=1,

.??三棱錐G-DCE的體積為;xSA℃EX[BC=4X?X1=W；

323412

若選條件③：G是APBC的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），

設(shè)^PBC的內(nèi)切圓的半徑為r,

???BCJ_平面PCC,且易知BC=PC=2,PB=2/1,

???根據(jù)△PBC的等面積算法可得