湖南省衡陽市宋朝中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省衡陽市宋朝中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)命題；，則是的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．非充分非必要條件參考答案：A2.滿足線性約束條件的目標函數(shù)x+3y的最大值是(

)A． B． C．4 D．3參考答案：A【考點】簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，由z=x+3y得：y=﹣x+，結(jié)合圖象得出答案．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，令z=x+3y得：y=﹣x+，由圖象得：直線y=﹣x+過（0，）時，z最大，故z的最大值是：，故選：A．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．3.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點O為線段BD的中點，設(shè)點P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是（）A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1]參考答案：B【考點】直線與平面所成的角．【專題】空間角．【分析】由題意可得：直線OP于平面A1BD所成的角α的取值范圍是∪．再利用正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．【解答】解：由題意可得：直線OP于平面A1BD所成的角α的取值范圍是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范圍是．故選：B．【點評】本題考查了正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可、線面角的求法，考查了推理能力，屬于中檔題．4.已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，單調(diào)遞增，如果且，則的值

（

）A、恒大于0

B、恒小于0

C、可能為0

D、可正可負參考答案：B5.已知傾斜角為θ的直線，與直線x﹣3y+1=0垂直，則tanθ=（）A． B．3 C．﹣3 D．參考答案：C【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】利用直線相互垂直的充要條件即可得出．【解答】解：∵傾斜角為θ的直線，與直線x﹣3y+1=0垂直，∴×tanθ=﹣1，解得tanθ=﹣3．故選：C．6.將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，則不同的分配方案有（

）A．30種

B．60種C．90種

D．150種參考答案：D7.直線mx＋ny＋3＝0在y軸上的截距為－3，而且它的傾斜角是直線傾斜角的2倍，則

()A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1參考答案：D略8.“對稱數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，666，54345等，則在所有的六位數(shù)中，不同的“對稱數(shù)”的個數(shù)是（）A．100 B．900 C．999 D．1000參考答案：B【考點】D8：排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，對6位對稱數(shù)，由于個位和十萬位相同，十位和萬位相同，百位和千位相同，個位有9種，十位和百位均有10種，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對6位對稱數(shù)，由于個位和十萬位相同，十位和萬位相同，百位和千位相同，個位有9種，十位和百位均有10種，故根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有9×10×10=900故選：B．9.已知集合，，則

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：C略10.已知命題p：若a＞b，則a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分條件．則下列命題是真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q參考答案：B【考點】復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先判斷命題p，q的真假，再利用復(fù)合真假的判定方法即可判斷出正誤．【解答】解：命題p：若a＞b，則a2＞b2，不正確，舉反例：取a=1，b=﹣2，不成立；q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分條件，是真命題．∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命題，￢p∧q是真命題．故選：B．【點評】本題考查了復(fù)合真假的判定方法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的通項公式為，則等于_______.參考答案：-20012.用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1到160編號，按編號順序平均分成20段（1～8號，9～16號，…，153～160號）．若第16段應(yīng)抽出的號碼為125，則第1段中用簡單隨機抽樣確定的號碼是

．參考答案：5考點：系統(tǒng)抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計．分析：由系統(tǒng)抽樣的法則，可知第n組抽出個數(shù)的號碼應(yīng)為x+8（n﹣1），即可得出結(jié)論．解答： 解：由題意，可知系統(tǒng)抽樣的組數(shù)為20，間隔為8，設(shè)第一組抽出的號碼為x，則由系統(tǒng)抽樣的法則，可知第n組抽出個數(shù)的號碼應(yīng)為x+8（n﹣1），所以第16組應(yīng)抽出的號碼為x+8（16﹣1）=125，解得x=5．故答案為：5．點評：系統(tǒng)抽樣形象地講是等距抽樣，系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，系統(tǒng)抽樣屬于等可能抽樣．13.在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集為___________。參考答案：14.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2（n∈N*），則a8的值是__________．參考答案：15考點：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用a8=S8﹣S7，可得結(jié)論．解答：解：∵數(shù)列{an}的前n項和，∴a8=S8﹣S7=64﹣49=15．故答案為：15．點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（

）參考答案：略16.已知角2α的終邊落在x軸下方，那么α是第

象限角．參考答案：二或四

17.下列說法中正確的是__________．①一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；②“”是“”的充要條件；③“，則，全為”的逆否命題是“若，全不為，則”④一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真；⑤“為假命題”是“為真命題”的充分不必要條件．參考答案：②④⑤解：①逆命題與否命題真假性相同，但無法判斷其逆否命題真假，錯誤．②由“”可推出，“”，“”也可推出，“”，正確．③原命題的逆否命題為“若、不全為，則”，錯誤．④否命題與逆命題真假性相同，正確．⑤“”為假命題，那么為真命題，可推出，反之不成立，正確．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=（n≥2）．（1）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）求{an}的通項公式．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；等差關(guān)系的確定．【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列是等差數(shù)列．（2）利用（1）的結(jié)論利用前n項和法求出數(shù)列的通項公式，注意首項是否符合通項公式．【解答】（1）證明：an=（n≥2）則：整理得：Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1所以：即：數(shù)列{}為等差數(shù)列．（2）解：由（1）得：則：當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1==﹣所以：19.已知直線:y=k(x+2)與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點，O是坐標原點，三角形ABO的面積為S．（1）試將S表示成k的函數(shù)，并求出它的定義域；（2）求S的最大值，并求取得最大值時k的值．參考答案：解析：(1)，定義域：．（2）設(shè)，，∴S的最大值為2，取得最大值時k=．20.已知橢圓的左焦點為，右頂點為，上頂點為，，（O為坐標原點）.（1）求橢圓C的方程；（2）定義：曲線在點處的切線方程為.若拋物線上存在點P（不與原點重合）處的切線交橢圓于M、N兩點，線段MN的中點為D.直線OD與過點P且平行于x軸的直線的交點為Q，證明：點Q必在定直線上.參考答案：（1）；（2）見解析.【分析】（1）由得出，再由得出，求出、的值，從而得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點的坐標為，根據(jù)中定義得出直線的方程，并設(shè)點、，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用中點坐標公式求出點的坐標，得出直線的方程與的方程聯(lián)立，求出點的坐標，可得出點所在的定直線的方程.【詳解】（1）由，可知，即.，，，可得，聯(lián)立.得，則，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)點，則由定義可知，過拋物線上任一點處的切線方程為，所以.設(shè)、，.聯(lián)立方程組，消去，得.由，得，解得.因為，所以，從而，所以，所以直線的方程為.而過點且平行于軸的直線方程為，聯(lián)立方程，解得，所以點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，以及直線與拋物線、直線與橢圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于利用題中的定義寫出切線方程，并將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理設(shè)而不求法進行求解，考查方程思想的應(yīng)用，屬于難題.21.已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，a3=18，等差數(shù)列{bn}中，b1=2，且a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．參考答案：（Ⅰ）an=2?3n-1（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有a1a3=a22，可得a2的值，結(jié)合題意，a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20，可得a2的值，由等比數(shù)列的通項公式，可得答案，（Ⅱ）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得bn的通項公式，由等差數(shù)列的Sn公式，可得答案．【詳解】解：（Ⅰ）因為a1a3=a22，所以a2=±6又因為a1+a2+a3＞20，所以a2=6，故公比q=3所以an=2?3n-1（Ⅱ）設(shè){bn}公差為d，所以b1+b2+b3+b4=4b1+6d=26由b1=2，可知d=3，bn=3n-1所以【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，注意兩種常見數(shù)列的性質(zhì)的異同，要區(qū)分討論．22.已知數(shù)列{an