2023年北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷匯編：平行四邊形章節(jié)綜合2

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編平行四邊形章節(jié)綜合2一、單選題1．（2023春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)校考期中）在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合）．連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，連接，．下列四個(gè)結(jié)論中：①四邊形始終是平行四邊形；②若，則存在點(diǎn)E，使得四邊形是矩形；③若，則存在點(diǎn)E，使得四邊形是菱形；④若，則存在點(diǎn)E，使得四邊形是正方形．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京四中?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，要使四邊形是平行四邊形，下列添加的條件不正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B． C． D．44．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，射線平分，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若F為的中點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④5．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)是（

）A．6 B．8 C．9 D．106．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谥校┤鐖D，在中，，分別以斜邊、直角邊為邊作正方形和正方形，與相交于點(diǎn)H，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的面積為，若，，則正方形的面積為（

）A．24 B． C．21 D．7．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中校考期中）如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E、F是對(duì)角線上的點(diǎn)．下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谥校┤鐖D，在中，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．810．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．11．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，已知平行四邊形，的角平分線交邊于點(diǎn)．交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題12．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形與四邊形為正方形，相交于點(diǎn)H，連接．下列結(jié)論中：①；②；③平分．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．13．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)是．14．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，，則的長(zhǎng)是．15．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谥校┤鐖D，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，且．若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．16．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中校考期中）直角三角形兩邊的長(zhǎng)為4和8，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為．17．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┲?，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．18．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中校考期中）如圖，在中，，分別為，邊的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．19．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，在邊上截取，連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E．已知，，如果F是邊的中點(diǎn)，連接，那么的長(zhǎng)是．20．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，菱形的兩條對(duì)角線，交于點(diǎn)O，若，，則菱形的周長(zhǎng)為．

三、解答題21．（2023春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，E，F(xiàn)是對(duì)角線上兩點(diǎn)，．求證：．22．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在正方形中，E為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，B重合），作，交直線于點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖2；②用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)連接，若，．求的長(zhǎng)．24．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．求證：．25．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片中，，把矩形紙片沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，交于點(diǎn)F，若．求的面積．26．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中校考期中）如圖，在中，，設(shè)，以為邊作正方形，使得點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上，連接．點(diǎn)P為正方形的邊上一點(diǎn)（不與C、D重合），過(guò)點(diǎn)P作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)H．(1)請(qǐng)你依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；(2)求的度數(shù)（用含有的代數(shù)式表示）；(3)若點(diǎn)C恰好為線段的中點(diǎn)，請(qǐng)你用等式表示線段、和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．27．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谥校┤鐖D，在中，于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接，，與相交于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，的面積為20，求線段的長(zhǎng)．28．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谥校┮阎壕€段，以線段為對(duì)角線，求作：矩形．小明的作法如下：①分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N；②作直線，交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓；④作圓O的直徑（異于直徑）；⑤連接，，，，則四邊形即為所求作的圖形．(1)請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)，按照小明的作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明，并在括號(hào)內(nèi)寫出推理的依據(jù)．證明：∵，，∴是線段的垂直平分線（______）．∴點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，即．∵，∴四邊形是平行四邊形（______）．∵，∴，即．∴是矩形（______）．29．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是菱形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，．在線段的同側(cè)做線段，使得，連接．(1)補(bǔ)全圖形，并回答問(wèn)題：當(dāng)____________時(shí)，；(2)連接，交于點(diǎn)，若，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)直接寫出當(dāng)___________時(shí)，將平行．30．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，且交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：______．31．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形是平行四邊形，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，判斷與的位置關(guān)系，并證明．(1)補(bǔ)全圖形；(2)與的位置關(guān)系：_________；(3)證明：_____________32．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校?duì)平面上的兩個(gè)圖形，，若平移圖形所得的圖形與相交，則稱為關(guān)于的“巡邏平移圖形”，稱關(guān)于的所有巡邏平移圖形所組成的整體，為關(guān)于的“巡邏區(qū)域”，其面積為關(guān)于的“巡邏面積”．示例：如下圖，線段是線段關(guān)于線段的一個(gè)巡邏平移圖形；平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域．注：圖中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．(1)①請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，其面積為_(kāi)_____；②已知線段和線段的長(zhǎng)度分別為1，，且關(guān)于的巡邏面積為1，則的取值范圍是______；(2)圖中三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏面積為_(kāi)_____；注：此處所指的三角形區(qū)域，平行四邊形區(qū)域，以及下文的正方形區(qū)域均包含內(nèi)部的所有點(diǎn)．(3)①若線段關(guān)于某邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域的巡邏面積為3，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____；②若正方形區(qū)域關(guān)于某長(zhǎng)度為1的線段的巡邏面積為12，則邊長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．33．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，，，，均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)判斷是否為直角：______．（填寫“是”或“不是”）(2)直接寫出四邊形的面積為_(kāi)_____．(3)找到格點(diǎn)，并畫出四邊形（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形面積相等．34．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，在邊上截取，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．已知，，如果是邊的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．

35．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)、是平行四邊形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)．．求證：．36．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪覀儼堰B接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明．(1)如圖1，點(diǎn)D，E分別是的邊，的中點(diǎn)，求證：，且；(2)如圖2，四邊形中，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊的中點(diǎn)，若，，，直接寫出的長(zhǎng)．

參考答案1．B【分析】由于經(jīng)過(guò)平行四邊形的中心O，故四邊形一定也是平行四邊形，這可以通過(guò)證明與相等來(lái)說(shuō)明．然后只要讓平行四邊形再滿足適當(dāng)?shù)奶厥鈼l件就可以變成對(duì)應(yīng)的特殊平行四邊形．【詳解】解：①如圖1，∵四邊形為平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴，，，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，即E在上任意位置（不與A、B重合）時(shí)，四邊形恒為平行四邊形，故①正確；②如圖2，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴四邊形不可能是矩形，故②錯(cuò)誤．③如圖3，若，當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，故③正確．④如圖4，當(dāng)時(shí)，如果，就不存在點(diǎn)E在邊上，使得四邊形為正方形，故④錯(cuò)誤．綜上分析可知，正確的有2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形以及幾種特殊平行四邊形的判定．熟悉平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．當(dāng)，時(shí)，四邊形可能為等腰梯形，故此選項(xiàng)符合題意；B．當(dāng)，時(shí)，一組對(duì)邊分別平行且相等，可證明四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．當(dāng)，時(shí)，兩組對(duì)邊分別平行，可證明四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】先證明是等邊三角形，然后根據(jù)的直角三角形三邊關(guān)系直接求解即可．【詳解】∵，∴，∵在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴∴∴中，．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)一個(gè)角為的等腰三角形即為等邊三角形，然后根據(jù)勾股定理直接求解．4．B【分析】延長(zhǎng)交于G，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于H，根據(jù)三角形中位線定理即可判斷出①②③④的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長(zhǎng)交于G，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于H，∵平分，，∴在和中，，∴，∴，，∴，∵F為的中點(diǎn)，∴，，同法可得：，∴，∴，∵F為的中點(diǎn)，∴，，故①正確；∴，故③正確；連接，∵，，∴，∵，∴（直角邊小于斜邊），即：，故②錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∵，∴，故④正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中位線定理．解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得到三角形的中位線．5．B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴的周長(zhǎng)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】設(shè)，，設(shè)，而，，可得，，，由，可得，即，再求解，，從而可得答案．【詳解】解：∵正方形和正方形，設(shè)，，設(shè)，而，，∴，，，∵，∴，即，解得：（負(fù)根舍去），∴，∴正方形的面積為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圖形面積的轉(zhuǎn)化，利用平方根的含義解方程，利用方程思想解題是關(guān)鍵．7．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)逐一分析，結(jié)合平行四邊形的判定方法可得結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，，，，，，∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形，故B不符合題意；∵，，∴，而，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故C不符合題意；∵，∴，∴，而，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故D不符合題意；當(dāng)，而，，∵，∴，而，此時(shí)不能得到：，，∴添加不能判定四邊形是平行四邊形，故A符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是添加條件判斷平行四邊形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，求出,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴,∵，∴，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．9．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解答本題的關(guān)鍵．10．D【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，掌握矩形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．11．B【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，是的角平分線，，又，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．①②/②①【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和證明可得；連接,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得即；過(guò)B作于M，于N，證明可判斷③．【詳解】∵四邊形與四邊形為正方形,即在和中，，，；故①正確連接如圖，則∴即；故②正確；過(guò)B作于M，于N，如圖，又∴是的平分線，∴平分，故③錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論是①②，故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．13．3【分析】證明，得出，即可得出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，又∵∴，在中，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．2【分析】先證明是等邊三角形，得出，再由矩形的性質(zhì)得出【詳解】解：∵四邊形是矩形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴,又，∴是等邊三角形，∴，∴故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．15．3【分析】先利用勾股定理求出，再證明為的中位線，則．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)O為的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，證明為的中位線是解題的關(guān)鍵．16．或/或【分析】分兩種情況求出斜邊，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】解：當(dāng)8為斜邊時(shí)，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為；當(dāng)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)為4和8，則斜邊為：，∴該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．17．6.5【分析】先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵中，，，，∴．∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接，∴線段是斜邊上的中線，∴．故答案是：6.5．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，以及直角三角形斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．18．6【分析】直接根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，，分別為，邊的中點(diǎn)，且，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．19．1【分析】根據(jù)勾股定理確定的長(zhǎng)度，進(jìn)而確定的長(zhǎng)度；再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)確定E為中點(diǎn)，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴E為中點(diǎn)，．∴，又∵F是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．20．【分析】利用菱形的對(duì)角線互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的邊長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵菱形的兩條對(duì)角線，交于點(diǎn)O，，，∴，，∴，∴菱形的周長(zhǎng)為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求菱形的性質(zhì)、勾股定理．熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，是解題的關(guān)鍵．21．見(jiàn)解析【分析】證明，得出，求出，根據(jù)平行線的判定，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵為平行四邊形∴，，∴，在和中，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定，證明．22．(1)(2)①見(jiàn)解析；②；證明見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)，取點(diǎn)G，使，連接，證明，得出，，證明，得出，根據(jù)，得出；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②在上截取，連接，，證明，得出，，證明，得出，根據(jù)，即可得出．【詳解】（1）解：；理由如下：延長(zhǎng)，取點(diǎn)G，使，連接，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；（2）解：①補(bǔ)全圖形，如圖所示：②；證明如下：如圖，在上截取，連接，，∵四邊形為正方形，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟記三角形全等的判定方法．23．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形是菱形，∴且，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形,∴,，∴在中，，∴在中，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．見(jiàn)解析【分析】證明四邊形為菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線相互垂直即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，證明四邊形為菱形．25．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，由四邊形是矩形，，得到，，則，，得到，則，由勾股定理求得，即可求得的面積．【詳解】解：∵把矩形紙片沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，交于點(diǎn)F，∴，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的面積是．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的折疊問(wèn)題、勾股定理、等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．(1)圖見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形即可；（2）利用字型圖，得到，再根據(jù)對(duì)頂角相等，即可得出結(jié)果；（3）連接，易得，推出為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作，推出利用，，利用勾股定理和線段的轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）解：∵正方形，∴，∵，∴，∵，∴，即：，∴；（3）解：，理由如下：連接，∵正方形，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∵，∴，∴，在中，，即：，整理，得：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．27．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，得出，證明，得出四邊形為平行四邊形，根據(jù)，得出四邊形為矩形；（2）根據(jù)平行線的面積公式求出，證明，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴四邊形為矩形；（2）解：∵，的面積為20，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)．28．(1)作圖見(jiàn)解析(2)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理，由，，可知是線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，由，得出，即可證明四邊形為矩形．【詳解】（1）解：矩形即為所求作的矩形，如圖所示：（2）證明：∵，，∴是線段的垂直平分線（到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）．∴點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，即．∵，∴四邊形是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．∵，∴，即．∴是矩形．（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作矩形，矩形的判定，熟練掌握垂直平分線的基本作圖和對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，是解題的關(guān)鍵．29．(1)圖形見(jiàn)解析，6(2)，見(jiàn)解析(3)4【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，連接，證明四邊形為平行四邊形，得出，即，得出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，四邊形為菱形，得出，，得出當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線的交點(diǎn)O上時(shí)，符合題意，此時(shí)；（2）連接、，證明，得出，證明，得出，，證明四邊形為矩形，得出，，根據(jù)，得出．（3）連接，，證明，得出，證明，證明四邊形為平行四邊形，得出，從而得出．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，即，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線的交點(diǎn)O上時(shí)，符合題意，此時(shí)，故答案為：6．（2）解：連接、，如圖所示：∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，∵，∴．（3）解：連接，，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，根據(jù)解析（2）可知，四邊形為平行四邊形，∴，∴，即當(dāng)時(shí)，將平行，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定．30．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明，可得．結(jié)合點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，可得為的中位線，則．再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；（2）由D、E分別是、的中點(diǎn)，可得．由，可得，結(jié)合，可得答案．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴．∴．∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）如圖，由（1）得：．∵D、E分別是、的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，證明四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．31．(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意作出的角平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；（2）根據(jù)作圖得出四邊形為菱形，可得，（3）由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得AB=AF=BE，得出四邊形為菱形，即可得出【詳解】（1）解：如圖所示，（2）與的位置關(guān)系：（3）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵，∴四邊形ABEF是菱形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．(1)①畫圖見(jiàn)解析，8；②(2)(3)①；②【分析】（1）①先根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；②先畫出線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過(guò)點(diǎn)G作交延長(zhǎng)線于M，由關(guān)于的巡邏面積為1，求出，由此即可得到答案；（2）如解析圖，先畫出三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏區(qū)域，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；（3）①如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的正方形，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中，過(guò)點(diǎn)作于N，過(guò)點(diǎn)K作于M，證明，得到，設(shè)，由線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏面積為3，推出，再由勾股定理得到，則，即可求出線段長(zhǎng)度的最小值為；②如圖所示，線段，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為區(qū)域S關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過(guò)點(diǎn)C作于T，于W，證明四邊形是矩形，則，設(shè)，正方形區(qū)域S的邊長(zhǎng)為，由正方形區(qū)域關(guān)于線段的巡邏面積為12，推出，由勾股定理得，再證明，得到進(jìn)而求出或（舍去），則邊長(zhǎng)的最小值為．【詳解】（1）解：①如圖所示，平行四邊形即為線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，其面積為；②如圖所示，設(shè)，則平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，即平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，∴，過(guò)點(diǎn)G作交延長(zhǎng)線于M，∵關(guān)于的巡邏面積為1，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏區(qū)域，∴三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏面積為；（3）解：①如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的正方形，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中，過(guò)點(diǎn)作于N，過(guò)點(diǎn)K作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏面積為3，∴平行四邊形和正方形組成的區(qū)域的面積為3