江蘇省南京市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省南京市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，為的直徑，，是上的兩點，連接、、若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．2．如果關(guān)于的一元二次方程方程有兩個實數(shù)根，那么的取值范圍是(

)A． B．且 C．且 D．3．下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布表：年齡/歲12131415頻數(shù)515x對于不同的x，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是（）A．平均數(shù)、中位數(shù) B．眾數(shù)、中位數(shù) C．平均數(shù)、方差 D．中位數(shù)、方差4．在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則cosB的值為（）A． B． C． D．25．點在二次函數(shù)的圖象上，，下列推斷正確的是（

）①對任意的，都有；②對任意的，都有；③存在，滿足，且；④對于任意的小于1的正實數(shù)t，存在，滿足，且．A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④6．如圖，以半圓中的一條弦（非直徑）為對稱軸將弧折疊后與直徑交于點D，若，則的長為（

）A． B．8 C． D．9二、填空題7．已知，則的值為．8．?dāng)?shù)據(jù)8，9，10，11，12的方差等于.9．如圖，扇形OAB是一個圓錐的側(cè)面展開圖，∠AOB＝120°，的長為6πcm，則該圓錐的側(cè)面積為cm2（結(jié)果保留π）．10．將二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向上平移4個單位后，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是．11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠D＝110°，則的長為．12．小麗想測量學(xué)校旗桿的高度，她在地面A點安置測傾器，測得旗桿頂端C的仰角為30°，測傾器到旗桿底部的距離為12米，測傾器的高度為1.6米，那么旗桿的高度為米（結(jié)果保留根號）．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為．14．如圖，正方形與正方形是位似圖形，點O為位似中心，相似比為，點D的坐標(biāo)為，則點B的坐標(biāo)為．15．如圖，鐵道口的欄桿短臂長為1米，長臂長為16米．當(dāng)短臂端點下降0.5米時，長臂端點升高米．16．如圖所示，從高為2m的點A處向右上拋一個小球P，小球飛行路線呈拋物線L形狀，小球飛行的水平距離2m時達(dá)到最大高度6m，然后落在下方臺階上彈起，已知m，m，m，若小球彈起形成一條與L形狀相同的拋物線，落下時落點Q與B，D在同一直線上，則小球在臺階彈起時的最大高度是m．三、解答題17．解下列方程：(1)；(2)．18．（1）計算：．（2）計算：19．下圖為多個小等邊三角形組成的六芒星圖案，其中有三個三角形已涂為灰色．(1)請你在每個圖形中再將一個或兩個小等邊三角形涂為灰色，使其成為軸對稱圖形．(2)一顆玻璃彈子在紙上自由滾動，選擇你涂好的其中一個圖形，計算它停留在灰色區(qū)域的概率．20．（1）已知是完全平方式，求常數(shù)n的值．（2）下面我們來探討怎樣用配方法解用一般形式表示的一元二次方程．請完成下面的填空：方程的兩邊同除以___________，得．移項，得___________．方程的兩邊同加上___________，得，即．若，可得，或∴，或．我們也可以簡單地表示為．21．如圖，是的直徑，弦交AB于點E，連接．若，

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F．（1）求∠ABE的大小及的長度；（2）在BE的延長線上取一點G，使得上的一個動點P到點G的最短距離為，求BG的長．23．小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時，對課本“目標(biāo)與評定”中的一道思考題，進(jìn)行了認(rèn)真的探索．【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？（1）請你將小明對“思考題”的解答補(bǔ)充完整：解：設(shè)點B將向外移動x米，即BB1=x，則B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程，解方程得x1=，x2=，∴點B將向外移動米．（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個問題．24．如圖1，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，過點的切線與的延長線相交于點．且（1）求證：；（2）過圖1中的點作，垂足為（如圖2），當(dāng)，時，求圓的半徑．25．等腰直角三角形和如圖放置，，，的半徑為，圓心與直線的距離為現(xiàn)以的速度向右移動，同時的邊長、又以的速度沿、方向增大．(1)當(dāng)?shù)倪呥叧馀c圓第一次相切時，點移動了多少距離(2)若在移動的同時，也以的速度向右移動，則從開始移動，到它的邊邊除外與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多長時間(3)在（2）的條件下，是否存在某一時刻，使與的公共部分等于的面積若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動的時間．若不存在，請說明理由．26．如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，．求的度數(shù)．27．如圖，已知拋物線與一直線相交于，兩點，與y軸交于點N．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(3)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點．求面積的最大值．28．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是的延長線上的點，弦交于點．，．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）若，，求的半徑．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)以及圓周角定理，連接可求，根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵為的直徑，∴∵∴∴故選：B2．C【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；有兩個相等的實數(shù)根，則；沒有實數(shù)根，則．據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：且，解得：且故選：C3．B【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【詳解】解：由表可知，年齡為14歲與年齡為15歲的頻數(shù)和為，則總?cè)藬?shù)為：，故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為13歲，中位數(shù)為：歲，即對于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，故選：B．【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】在直角中，利用勾股定理即可求得的長，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】如圖，在直角中，，，∴，則．故選：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比．5．C【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)在y軸右側(cè)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)在y軸左側(cè)時，y隨x的增大而減小，可得到①錯誤；由，可得點，關(guān)于y軸對稱，從而得到②正確；③錯誤；再由，可得，然后根據(jù)當(dāng)點，在y軸兩側(cè)時，此可設(shè)點在y軸左側(cè)，則在y軸右側(cè)，可得，可得④正確．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)在y軸右側(cè)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)在y軸左側(cè)時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時．都有，故①錯誤；∵，∴，∴點，關(guān)于y軸對稱，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，故③錯誤；∵，∴，當(dāng)點，在y軸兩側(cè)時，此可設(shè)點在y軸左側(cè)，則在y軸右側(cè)，∵，∴，∴，即，∴，∴，即對于任意的小于1的正實數(shù)t，存在，，滿足，且，故④正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】作關(guān)于的對稱線段，交半圓O于點F，連接，則，，可得點A，C，E三點共線，，再證得，可得，再由將弧折疊后與直徑交于點D，可得，，從而得到，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱線段，交半圓O于點F，連接，則，，∵為圓O的直徑，∴，即，∴點A，C，E三點共線，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，將弧折疊后與直徑交于點D，∴，，∴，解得：，∴，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圖形的折疊，熟練掌握圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圖形的折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．/0.4

【分析】根據(jù)比例性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)，∴，，∴=，故答案為：．【點睛】本題考查比例性質(zhì)、分式基本性質(zhì)，熟練掌握比例性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．8．2【分析】根據(jù)方差的公式計算即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為∴這組數(shù)據(jù)的方差為故答案為2.【點睛】此題主要考查方差的計算，牢記公式是解題關(guān)鍵.9．27π【分析】首先求得扇形的半徑長，然后求得扇形的面積即可．【詳解】解：設(shè)cm的長為6πcm，解得：cm圓錐的側(cè)面積為cm2故答案為：27π．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是牢記圓錐的有關(guān)計算公式，難度不大．10．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像平移方法可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向上平移4個單位后，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是，故答案為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像平移，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．11．/【分析】連接OA、OC，先求出∠ABC的度數(shù)，然后得到∠AOC，再由弧長公式即可求出答案．【詳解】解：連接OA、OC，如圖，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠D＝110°，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長公式．12．【分析】根據(jù)已知條件和的值求出，即可求解．【詳解】解：作于E，如圖所示，可知四邊形是矩形，，，在中，，米，，，=；故答案為：．【點睛】此題考查了解直角三角形與仰角的定義，熟練掌握并運用三角函數(shù)解直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．8【分析】確定出拋物線的頂點坐標(biāo)，然后求出拋物線的對稱軸與原拋物線的交點坐標(biāo)，從而判斷出陰影部分的面積等于矩形的面積，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點A，交拋物線于點B，過點B作軸于點C，則四邊形為矩形，∵，∴平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，當(dāng)時，，∴平移后陰影部分的面積等于如圖矩形的面積，即．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．14．【分析】直接利用正方形的性質(zhì)結(jié)合位似比得出正方形的邊長即可得出答案．【詳解】解：∵正方形與正方形是位似圖形，點O是位似中心，相似比為，點D的坐標(biāo)為，∴，則，∴點B的坐標(biāo)是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出正方形的邊長是解題關(guān)鍵．15．8【分析】首先根據(jù)，，可得，進(jìn)而可得，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得長．【詳解】解：如圖，，，，∴，由題意可知，米，米，米，∴，∴米．答：長臂端點應(yīng)升高了8米．故答案為：8．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．16．/【分析】以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，分別求出拋出時拋物線的解析式，直線的解析式；由此刻求出第一次小球落臺階上時點的坐標(biāo)及點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得彈起后拋物線的解析式，則可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，拋物線的頂點為，設(shè)拋物線的解析式為，把點代入得，，解得，，拋物線的對稱軸為直線，與點關(guān)于對稱軸對稱的點為，即在平臺上，設(shè)的解析式為，，解得，直線的解析式為：，令，則，，設(shè)彈起后的拋物線的解析式為，，解得，彈起后的拋物線的解析式為，小球彈起時的最大高度為m．故答案為：．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊點解決問題．17．(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解一元二次方程．【詳解】（1）∵，∴，即，則，∴，；（2）∵，∴，則或，解得．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握方程的四種解法是解題的關(guān)鍵．18．（1）；（2）【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計算，二次根式的混合計算，零指數(shù)冪等等：（1）先計算特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和化簡二次根式，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可；（2）先計算特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，再根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．19．(1)見解析(2)概率為（或）【分析】（1）根據(jù)軸對稱進(jìn)行畫圖即可；（2）根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖所示：下圖為所求；（2）解：選擇圖①和圖②，珠子停留在灰色區(qū)域的概率均為：；選擇圖③，珠子停留在灰色區(qū)域的概率為：．【點睛】本題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，概率公式，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)和根據(jù)概率公式求概率是解題的關(guān)鍵．20．（1）或；（2），，，，，【分析】（1）根據(jù)配方法將代數(shù)式配方，然后得到，解方程即可求解．（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：∵∵是完全平方式，∴即∴即解得：，或；（2）方程的兩邊同除以，得．移項，得．方程的兩邊同加上，得，即．若，可得，或∴，或．我們也可以簡單地表示為．故答案為：，，，，，．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．21．(1)55度(2)100度【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的角是直角得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，求解即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）連接，

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴∠ABC＝∠D＝55°；（2）∵是的一個外角，，，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．22．（1）45°，；（2）4．【詳解】試題分析：（1）連接AE，如圖1，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進(jìn)而得到∠DAB，然后運用圓弧長公式就可求出的長度；（2）如圖2，根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG==AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG，只需運用勾股定理求出BE，就可求出BG的長．試題解析：（1）連接AE，如圖1，∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的長度為=；（2）如圖2，根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG==，∴AG=AB．∵AE⊥BG，∴BE=EG．∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．考點：切線的性質(zhì)；弧長的計算；動點型；最值問題．23．（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．（2）①不會是0.9米，理由見解析②有可能．理由見解析【詳解】解：（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．（2）①不會是0.9米，理由如下：若AA1=BB1=0.9，則A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，∵，∴該題的答案不會是0.9米．②有可能．理由如下：設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米，則有，解得：x=1.7或x=0（舍去）．∴當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時，點B向外也移動1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等．分析：（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入進(jìn)行解答即可．（2）把（1）中的0.4換成0.9可知原方程不成立；設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米代入（1）中方程，求出x的值符合題意24．（1）見解析；（2）【分析】（1）作DF⊥BC于F，連接DB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAC=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=90°，得到∠DBC=∠DCB，得到DB=DC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理證明即可；（2）根據(jù)垂徑定理求出FC，證明△DEC≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=FC=3，根據(jù)射影定理計算即可．【詳解】（1）證明：作于，連接，∵是圓的切線，∴，即，∵是圓的直徑，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴經(jīng)過點，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵經(jīng)過點，，∴，在和中，，∴≌∴，∵，，∴，則，∴，∴圓的半徑為．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．25．(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）設(shè)第一次相切時，三角形移至三角形處，與相切于點，連接并延長交于點，設(shè)與直線相切于點，連接，設(shè)，可得，根據(jù)即可求出，從而求出點運動的時間，即可求出點移動的距離；（2）根據(jù)三角形和從開始移動到最后一次相切時，是邊與圓相切，且圓在的右側(cè)，再結(jié)合路程差與速度差即可求解；（3）求出三角形和從開始移動到第二次相切所用時間，求出圓心到的距離，判斷其與半徑的大小，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一次相切時，三角形移至三角形處，與相切于點，連接并延長交于點，設(shè)與直線相切于點，連接，如圖所示：則：，設(shè)，∵∴，∵∴∵∴，解得：，∴∴點運動的時間為：∴點移動的距離為：（2）解：∵三角形和從開始移動到最后一次相切時，是邊與圓相切，且圓在的右側(cè)，∴路程差為，∵和的速度差為，∴從開始移動，到它的邊邊除外與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了（3）解：∵三角形和從開始移動到第二次相切，路程差為，速度差為，∴三角形和從開始移動到第二次相切用時此時三角形移至三角形處，∴∵∴平分∴∴∴∵∴∴∵∴∴，∴此時與相交，故不存在某一時刻，使與的公共部分等于的面積【點睛】本題以幾何動點問題為背景，考查了直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)定理、切線長定理、勾股定理等知識點，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實的幾何基礎(chǔ)．26．【分析】由