北師大版（2019）數(shù)學(xué)-必修第二冊-第一章 三角函數(shù)4.3 誘導(dǎo)公式與對稱、4.4誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)(課件)

§4.3誘導(dǎo)公式與對稱、4.4誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)

風(fēng)車最早出現(xiàn)在波斯,起初是立軸翼板式風(fēng)車,后來又發(fā)明了水平軸風(fēng)車.如圖所示的風(fēng)車是由4個(gè)扇葉組成,相鄰兩個(gè)扇葉之間的角度為直角,若將風(fēng)車扇葉的最外側(cè)看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn),

那么四個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間存在什么關(guān)系？在平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間有什么關(guān)系?設(shè)角ɑ終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q（x，y），則正弦函數(shù)v=sinα和余弦函數(shù)u=cosα的定義1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程.3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值、化簡和證明問題.1.借助誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2.通過誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α和-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為點(diǎn)P和點(diǎn)P＇.不難看出這兩個(gè)角的終邊OP，OP＇關(guān)于x軸對稱，因此點(diǎn)P和點(diǎn)P＇的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反.即sin(-α)=-sinα,所以正弦函數(shù)v=sinα是奇函數(shù);cos(-α)=cosα,所以余弦函數(shù)u=cosα是偶函數(shù).探究點(diǎn)1誘導(dǎo)公式與對稱2.角α與α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P沿逆(順)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π弧度至點(diǎn)P＇時(shí)，點(diǎn)P＇就是α±π的終邊與單位圓的交點(diǎn)，不難看出點(diǎn)P＇與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱.因此它們的橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反,縱坐標(biāo)的絕對值也相等且符號相反.即sin(α+π)=-sinα,sin(α-π)=-sinα;cos(α+π)=-cosα,cos(α-π)=-cosα.3.角α與π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，任意角α與π-α的終邊關(guān)于y軸對稱，因此，點(diǎn)P和點(diǎn)P＇的縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反.即sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα.解如圖,的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱;的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于y軸對稱;例5畫出下列各組中的兩個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，說出它們的對稱關(guān)系.⑴⑵⑶⑷的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于x軸對稱;的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于y軸對稱.⑶⑷例6求下列三角函數(shù)值：⑴⑵⑶⑷例6求下列三角函數(shù)值：⑶⑷設(shè)銳角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),將終邊繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P＇,即的終邊與單位圓交與點(diǎn)P＇，由平面幾何知識(shí)可知：點(diǎn)P＇的坐標(biāo)為(-v,u)，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)cosα與點(diǎn)P＇的縱坐標(biāo)sin(α+)相等,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)sinα與點(diǎn)P＇的橫坐標(biāo)cos(α+)的絕對值相等且符號相反,即以上結(jié)論對任意角α都成立，即對任意角α，有探究點(diǎn)2誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)例7證明：

證明設(shè)銳角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)cosα與點(diǎn)P＇縱坐標(biāo)sin(α-）的絕對值相等且符號相反，即sin(α-）=-cosα.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)sinα與點(diǎn)P＇的橫坐標(biāo)cos(α-)相等,即cos(α-)=sinα以上結(jié)論對任意角α都成立，即對任意角α，有綜上，誘導(dǎo)公式中的角都可看成n∈Z的形式，其中對于n，“奇變偶不變，符號看象限”.例8求下列函數(shù)值：⑴