6.2.2向量的減法運(yùn)算3題型分類

6.2.2向量的減法運(yùn)算3題型分類一、相反向量1．定義：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a．2．性質(zhì)：(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.二、向量的減法1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個(gè)向量，相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如圖所示.3.文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.（一）向量的減法運(yùn)算求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路：(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量.題型1：向量的減法運(yùn)算11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，已知向量，，求作向量．【答案】如圖，(1)(2)【分析】如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)即可分別得出結(jié)果.【詳解】解：(1)如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；(2)如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量，求作向量.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量，，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可作出，作向量，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可作出，即可得答案.【詳解】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量，，如圖所示：則向量，再作向量，則向量.13．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)等于1，，試作向量．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】由幾何圖形，利用向量加減法的幾何意義確定對(duì)應(yīng)線段，再由向量加法的幾何意義判斷對(duì)應(yīng)線段，進(jìn)而畫(huà)出對(duì)應(yīng)的向量.【詳解】連接，則，作向量，連接，∴即為所求．14．（2023上·云南玉溪·高一玉溪市民族中學(xué)?？计谀┰谄叫兴倪呅沃?，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)平面向量的概念及加減法法則即可得到答案.【詳解】如圖，易知A正確；根據(jù)平行四邊形法則，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：C.（二）向量減法法則的應(yīng)用(1)向量減法運(yùn)算的常用方法(2)向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式①首尾相連且為和.②起點(diǎn)相同且為差.題型2：向量減法法則的應(yīng)用21．（2023下·江西南昌·高一南昌十中?？计谥校┗?jiǎn)．【答案】【分析】利用向量加減法運(yùn)算化簡(jiǎn)，注意相反向量的應(yīng)用.【詳解】.故答案為：22．（2023下·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接求解.【詳解】.故選：C23．（2023下·河南信陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：故答案為：24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)（1）（2）；（3）＋．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）方法一：將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為，利用向量的加法法則，即可求得答案.方法二：利用向量的減法法則，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.（2）利用向量的減法法則，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.（3）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可求得答案.【詳解】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）25．（2023下·新疆喀什·高一?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）.（2）題型3：向量減法的幾何意義及應(yīng)用31．（2023下·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┫铝邢蛄窟\(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算，直接判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確；故選：A32．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知在矩形中，，.設(shè)，求.【答案】【分析】延長(zhǎng)直線,使得直線上一點(diǎn)滿足,同理,延長(zhǎng)直線,使得直線上一點(diǎn)滿足,畫(huà)出圖形,則,進(jìn)而求解即可【詳解】延長(zhǎng)直線,使得直線上一點(diǎn)滿足,同理,延長(zhǎng)直線,使得直線上一點(diǎn)滿足,如圖所示,則,,則【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法,減法在幾何中的應(yīng)用,考查向量的模33．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，試判斷的形狀.【答案】直角三角形【分析】由向量的加法法則得出，可得出以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，可判斷出平行四邊形的形狀，從而得出的形狀.【詳解】，，，以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，此平行四邊形為矩形，.是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查利用和向量和差向量模的關(guān)系判斷三角形的形狀，解題的關(guān)鍵是要弄清楚相應(yīng)平行四邊形的形狀，考查推理能力，屬于中等題.34．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）試用向量方法證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用，，兩邊平方求和，根據(jù)向量運(yùn)算法則證得結(jié)論.【詳解】證明：設(shè)平行四邊形，即證得結(jié)論.35．（2023下·新疆和田·高一校考階段練習(xí)）已知任意兩個(gè)向量、，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題可根據(jù)向量的運(yùn)算法則即零向量的相關(guān)性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】若向量、是共線的非零向量且方向相反，則，，A、B、C錯(cuò)誤，若非零向量、不共線，則、、可構(gòu)成三角形，；若向量、是共線的非零向量且方向相同，則；若向量、是共線的非零向量且方向相反，則；若向量、至少有一個(gè)是零向量，則，綜上所述，，D正確，故選：D.36．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）若向量，滿足，則的最小值為，的最大值為．【答案】420【分析】根據(jù)向量同向和反向，即可判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)向量與反向時(shí)，最小，最小值，當(dāng)向量與反向時(shí)，最大，最大值是.故答案為：4；20一、單選題1．（2023下·重慶江北·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的加減運(yùn)算法則即可求解.【詳解】故選：.2．（2023下·山西朔州·高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量加減法的運(yùn)算法則，即可化簡(jiǎn)目標(biāo)式.【詳解】.故選：B3．（2023上·河南·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由向量的運(yùn)算法則，可得．故選：A.4．（2023下·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若為平行四邊形，則B．若則C．互為相反向量的兩個(gè)向量模相等D．【答案】B【分析】利用向量相等的定義判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用互為相反向量的定義判斷C，利用向量加法、減法法則計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，中，，且向量與同向，則，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與不共線，也滿足，B不正確；對(duì)于C，由互為相反向量的定義知，互為相反向量的兩個(gè)向量模相等，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：B5．（2023上·廣西南寧·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）下列化簡(jiǎn)結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可【詳解】對(duì)A，原式，正確；對(duì)B，原式，正確；對(duì)C，原式，正確；對(duì)D，原式，錯(cuò)誤.故選：D．6．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列等式中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量加減法的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化各項(xiàng)表達(dá)式即可知正誤.【詳解】由向量加減法的運(yùn)算性質(zhì)知：①；②；③；④；⑤，正確；⑥，錯(cuò)誤.故選：C7．（2023上·浙江麗水·高三?？计谥校┤鐖D所示，單位圓上有動(dòng)點(diǎn)A，B，當(dāng)取得最大值時(shí)，等于（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】由題可得，可得為直徑時(shí)最大.【詳解】因?yàn)?，A，B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以的最大值為2，此時(shí)與反向.故選：D.8．（2023·山東·統(tǒng)考）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運(yùn)算，可得解【詳解】由題意，．故選：B9．（2023下·重慶巫山·高一階段練習(xí)）在平行四邊形中，為上任一點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相反向量的意義及向量加法的三角形法則，化簡(jiǎn)可得答案．【詳解】故選：．10．（2023上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）化簡(jiǎn)后等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，故選：.11．（2023下·安徽滁州·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】分別利用向量的加法法則,減法法則,運(yùn)算律求解即可【詳解】①；②；③；④；以上各式化簡(jiǎn)后結(jié)果均為,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法,考查向量的減法12．（2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬（二）數(shù)學(xué)試題）在四邊形ABCD中，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量加法的三角形法則可判斷AD，由向量減法的運(yùn)算法則可判斷B，由向量加法的平行四邊形法則可判斷C.【詳解】根據(jù)三角形法則可得，所以A錯(cuò)誤；根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得，所以B錯(cuò)誤；四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以不一定有，C錯(cuò)誤；根據(jù)三角形法則可得正確，所以D正確.故選：D.13．（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校?/p>

八卦是中國(guó)文化中的哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則給出下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論為（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，由此確定出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)?，則以為鄰邊的平行四邊形為正方形，又因?yàn)槠椒?，所以，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)?，且，所以，故③正確，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵利用合適的轉(zhuǎn)化對(duì)向量的減法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此驗(yàn)證關(guān)于向量的等式是否正確.二、多選題14．（2023下·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）(多選)下列各向量運(yùn)算的結(jié)果與相等的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算并判斷.【詳解】由向量的線性運(yùn)算法則得，對(duì)A，，所以A符合題意，B不符合題意；對(duì)C，，對(duì)D，，故C不符合題意，D符合題意.故選：AD15．（2023下·河北衡水·高一河北武強(qiáng)中學(xué)?？计谥校┗?jiǎn)以下各式，結(jié)果為的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算逐個(gè)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D不正確.故選：ABC.16．（安徽省銅陵市第一中學(xué)20222023學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）下列四式可以化簡(jiǎn)為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則依次計(jì)算即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，錯(cuò)誤．故選：ABC17．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．若線段，則向量B．若向量，則線段C．若向量與共線，則線段D．若向量與反向共線，則【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到點(diǎn)B在線段上，進(jìn)行判斷A正確；BC選項(xiàng)，可舉出反例；D選項(xiàng)，根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)出答案.【詳解】選項(xiàng)A：由得點(diǎn)B在線段上，則，A正確：選項(xiàng)B；三角形，，但，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，反向共線時(shí)，，故，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：,反向共線時(shí)，，故D正確．故選：AD．18．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知三角形為等腰直角三角形，且，則有（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形的形狀，結(jié)合向量加，減運(yùn)算法則，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由條件可知，且，以為鄰邊的的四邊形是正方形，對(duì)角線相等，根據(jù)向量加，減法則可知，故A正確；，，所以，故B正確；，，所以，故C正確；，，，由條件可知，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC19．（2023上·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，計(jì)算得到AD正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，，A正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：BC20．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩兩不相等的向量，滿足，且（其中），則實(shí)數(shù)k的值可能為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用向量減法的幾何意義作出圖形，確定的終點(diǎn)個(gè)數(shù)即可作答.【詳解】依題意，不妨令，，因，即，又，則以的終點(diǎn)為圓心，作半徑和的圓，兩圓的公共點(diǎn)即為滿足題意的，如圖，分別以點(diǎn)為圓心，半徑均為的圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，半徑均為的圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有一個(gè)公共點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有一個(gè)公共點(diǎn)，因此，符合條件的公共點(diǎn)最多6個(gè)，滿足題意的最多6個(gè)，即的最大值為6.故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知幾個(gè)向量的模，探求向量問(wèn)題，可以借助向量的幾何意義，作出符合要求的圖形，數(shù)形結(jié)合求解作答.三、填空題21．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零向量，滿足，則.【答案】【分析】由已知，結(jié)合向量的減法法則，可以得出一個(gè)特殊的等邊三角形，再根據(jù)向量加法的平行四邊形法得出，從而求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)，，則，以O(shè)A，OB為邊作平行四邊形OACB，則.因?yàn)椋浴鱋AB是等邊三角形，四邊形OACB是一個(gè)菱形，，所以，所以.故答案為：．22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且，，則＝，＝．(用表示)【答案】【分析】由向量線性運(yùn)算的減法法則即可求解.【詳解】如圖所示：，.故答案為：；.23．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知為正三角形，則下列各式中成立的是.（填序號(hào)）①；②；③；④.【答案】①②③【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于①，，故①成立；對(duì)于②，設(shè)分別為的中點(diǎn)，則，，，所以，故②成立；對(duì)于③，，所以，故③正確；對(duì)于④，，故④不成立.故答案為：①②③.24．（2023上·北京·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最大值為．【答案】/【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)兩邊之和大于等于第三邊可得最大值．【詳解】解：點(diǎn)在圓上，，，的最大值為．故答案為：．25．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，中心為O的正八邊形中，，，則．（結(jié)果用，表示）【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題圖可知，,故答案為：四、解答題26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且＝，＝，＝，試用表示向量，，，及．【答案】＝，＝－，＝－，＝－，＝－＋．【分析】根據(jù)圖形，利用平面向量加減的運(yùn)算法則，用、、表示目標(biāo)向量，即可得結(jié)果.【詳解】∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴＝＝，＝－＝－，＝－＝－，＝－＝－，∴＝＋＝－＋．27．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定，，，的方向（用箭頭表示），使，，并作向量和．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】首先根據(jù)向量加法的三角形法則和