2022-2023學(xué)年湖北省荊州市沙市區(qū)高三年級（上）數(shù)學(xué)期末模擬測試

荊州市沙市區(qū)2022-2023學(xué)年高三年級(上)期末模擬測試

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分。下列各題，每小題只有一個

選項符合題意。)

1.已知集合知={》1丫=3》+1)}.N={y|y=e*},則〃N=()

A.(-1,0)B.(-l,+oo)C.(O,+oo)D.R

4i_

2.復(fù)數(shù)z=「，貝1日=()

1+1

A.-2-2iB.-2+2iC.2+2iD.2-2i

3.某人民醫(yī)院召開抗疫總結(jié)表彰大會，有7名先進個人受到表彰，其中有一對夫妻.現(xiàn)要選3人

上臺報告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報告，若夫妻同時被選，則兩人的報告順序需要相鄰，

這樣不同的報告方案共有O

A.80種B.120種C.130種D.140種

4.已知△4661中，AB=AC=\,=后，點。是的外心，則C0.A6=O

A—及R_1r1nV2

2222

5.著名物理學(xué)家牛頓在1701年提出的牛頓冷卻定律是傳熱學(xué)的基本定律之一：物體在空氣中冷

卻，如果物體的初始溫度為4C,空氣溫度為為C,則大分鐘后物體的溫度。(單位：C)滿足：

e=4+(a-4)e-"其中4是一個根據(jù)物體與空氣接觸情況而定的正常數(shù)，現(xiàn)有42c的物體放

在2c的空氣中冷卻，2分鐘后物體的溫度為22C.則再過4分鐘該物體的溫度可冷卻到()

A6CB.7CC.8CD.9C

6.計算tan70。cos10。(相tan20。-1)=()

11

A.1B.-1C.-D.---

22

7.“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污.某鄉(xiāng)

村一條污染河道的蓄水量為u立方米，每天的進出水量為上立方米.已知污染源以每天廠個單位污

染河水，某一時段］（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)為加（。（每立方米河水所含的污染物）滿足

加⑺=為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若

KyKJ

從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：

In10?2.30）（）

A.1個月B.3個月C,半年D.1年

8.若不同兩點P、。均在函數(shù)y=/（x）的圖象上，且點P、。關(guān)于原點對稱，則稱（只。）是函

數(shù)丁=/（%）的一個“匹配點對”（點對（只。）與x=0視為同一個“匹配點對”）.已知

f，〉0

一恰有兩個“匹配點對"，則”的取值范圍是（）

2ax2,x<0

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多個選

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列式子等于COS的是（）

Geosx+sinx

L/.---------------------------------------------------

2

10.某市組織2022年度高中校園足球比賽，共有10支球隊報名參賽.比賽開始前將這10支球隊

分成兩個小組，每小組5支球隊，其中獲得2021年度冠、亞軍的兩支球隊分別在第一小組和第二

小組，剩余8支球隊抽簽分組.已知這8支球隊中包含甲、乙兩隊，記''甲隊分在第一小組”為事

件“乙隊分在第一小組”為事件AT2,“甲、乙兩隊分在同一小組”為事件M3,則（）

A.P(M)=；3

B.P(M)=,

C.p(必)+P(%)=P(M)D.事件與事件M3相互獨立

11.已知直線/：y=與拋物線ay2=2px（p>o）相交于46兩點，點力在矛軸上

方，點是拋物線c的準線與以48為直徑的圓的公共點，則下列結(jié)論正確的是（）

"陷2

A.p=2B.k=，2C.MFLABD.7—^=7

回5

12.已知四面體⑦的一個平面展開圖如圖所示，其中四邊形/田”是邊長為2近的菱形，B,C

分別為9的中點，8。=2&，則在該四面體中（）

A.BE1CD

B.龐?與平面頗■所成角的余弦值為交叵

15

C.四面體力用力的內(nèi)切球半徑為《變

30

D.四面體4及力的外接球表面積為9萬

三.填空題（共4題，總計16分）

13.已知函數(shù)/（x）=（e'+aeT）ln（x+石）是偶函數(shù)，則。=.

14.將五枚質(zhì)地、大小完全一樣的硬幣向上拋出，則正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的概率為

15.若橢圓龍2+>28$。=（0<。<_|卜勺焦距為2,則該橢圓的離心率為.

16.已知函數(shù)/（x）=X3—以（4>0）,b,c分別是/（%）的極大值點與極小值點，若d>6且

=則｝_____.

四.解答題（共6題，總計74分）

17.已知等差數(shù)列｛qj首項為2,且4,2+%,4+四成等比數(shù)列.數(shù)列｛2｝的前〃項和為S”,

且S“=2"-l.

（1）求｛叫與也｝的通項公式；

（2）若c“=a也,求數(shù)列匕｝的前〃項和卻

18.如圖，在小中，。，h,c分別是角A,B,C所對的邊且是三個連續(xù)的正整數(shù)，其

中a<bvc,C=2A.

（1）求/?；

（2）將線段A8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，到A。，且cos6=，，求小面積.

19.5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)的簡稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一.2020年初

以來，我國5G網(wǎng)絡(luò)正在大面積鋪開.A市某調(diào)查機構(gòu)為了解市民對該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿意程

度，從使用了5G手機的市民中隨機選取了200人進行問卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分

分成以下6組：［40,50）、［50,60）、［60,70）、…，［90,100］,統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：

（1）由直方圖可認為A市市民對5G網(wǎng)絡(luò)滿意度得分及單位:分）近似地服從正態(tài)分布"（從。?），

其中〃近似為樣本平均數(shù)最，近似為樣本的標準差s,并已求得s=14.31.若力市恰有2萬名5G

手機用戶，試估計這些5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間（41.88,84.81］的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間

的中點值為代表）；

（2）該調(diào)查機構(gòu)為參與本次調(diào)查5G手機用戶舉行了抽獎活動，每人最多有3輪抽獎活動，每

一輪抽獎相互獨立，中獎率均為:.每一輪抽獎，獎金為100元話費且繼續(xù)參加下一輪抽獎；若未

中獎，則抽獎活動結(jié)束.現(xiàn)小王參與了此次抽獎活動，求小王所獲話費總額X的數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（〃,b2）,即Z~N（〃,b2）,則

P（/j-a<Z<=0.6827,P（/z-2cr<Z</J+2a）-0.9545.

20.如圖，在三棱錐P—A6c中，為等腰直角三角形，PA^PC,AC=2,一ABC為

正三角形，。為4C的中點..

（1）證明：平面?￡火，平面P4C；

（2）若二面角P-AC-3的平面角為銳角，且三棱錐尸-A3C的體積為更，求二面角

6

A—的正弦值.

21.已知拋物線J=2px（p>0）的準線與圓/+；/=4相切.

（1）求P；

(2)若定點A(4,2),8(T,0),V是拋物線上的一個動點，設(shè)直線4獷，5M與拋物線的另一交點

分別為、M2,Mi”?恒過一個定點.求出這個定點的坐標.

22.已知函數(shù)/(x)=e「er-asinx,a>Q,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當x>0,/(x)>0,求。的取值范圍；

⑵當“>1時’求證：J；"Lsiwsin(l一

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參考答案

一.單項選擇題

1.【答案】：c

2.【答案】:D

3.【答案】：D

4.【答案1C

5.【答案】:B

6.【答案】：D

7.【答案】：C

8.【答案】：B

多選題

9.【答案】:CD

10.【答案】:ABD.

11.【答案】：ABC

12.【答案】：ACD

—填空題

13.【答案】:—1

5

14.【答案】:

8

15.【答案】:也

2

16.【答案】：2

17【答案】：

(1)an=2n,bn=2'-'

n+i

(2)Tn=(n-l)-2+2

【解析】：

【小問1詳解】

設(shè)｛4｝的公差為d,因為。|=2,(2+。2『=6?(4+%)

所以(4+df=2(6+6d),解得2=2,

所以?！?2+2(n-V)=2n.

數(shù)列也｝的前〃項和為S,,且S'=2"-1，①

當〃22時，S“_1=2"T—1,②

①-②，得b“=2"T.

當〃=1時，4=2—1=1,滿足a=2"7,所以"=2")

【小問2詳解】

因為q,=anbn=In-2”T=n-2",

所以7；=lx2l+2x22+…+(〃-l)?2"T+".2".③

27；,=lx22+2x23+---+(?-l)-2rt+n-2,,~l,④

③一④，得一7=2+22+---+2H-n-2,,+1=2^2--^-H-2,,+I>

"2-1

所以<=(〃—1>22+2.

18【答案】:

(1)b=5

(2)35+15&

4

【解析】：

【小問1詳解】

由題意知a,c可以分別表示為人—1,b+\,

/?4-l

由正弦定理，得紅工b+1_b+1_b+1,得cosA=

sinAsinCsin2A2sinAcosA2(^-1),

后+e+1)2_0_1)[6+4

由余弦定理得cosA=

2勵+1)-2優(yōu)+1)

b+4_b+\

所以2(1+1)-2(,-1),解得行=5.

【小問2詳解】

由(1)知匕=5,c=6,cosZBAC=-,貝Isin/BAC=也.

44

因為cos6=也^，且。＜。＜2，所以sin。=

323

所以

幣幣3正7+30

sinZCAD=sin(ZBAC+6)=sinABACcos0+cosABACsin0=----x------F—x----=-----------

434312

iVisjiac1,■/尸”八1c,7+3>/235+15\/2

則4的面積S=—bcsmZ.CAD=-x5x6x----------=--------------

22124

19【答案】：

（1）16372（人）

1300

(2)（元）

27

【解析】：

【小問1詳解】

由題意知樣本平均數(shù)為7=45x0.1+55x0.15+65*0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5，

.?.4=1=70.5,丁cr=s=14.31,所以，(〃一2s,〃+s]=(41.88,84.81],

而P(〃一2x<ZW〃+s)=；P(〃-cr<ZW〃+cr)+；(〃-2cr<ZW〃+2cr)=0.8186

故2萬名5〃手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間［41.88,84.81］的人數(shù)約為20000x0.8186=16372

（人）

【小問2詳解】

由題意可知才的可能取值有0、100、200、300,

2221130()

E(X)=0x-+100x-+200x—+3(X)x—=（元）

39272727

20【答案】：

（1）證明見解析

⑵述

7

【解析】：

【小問1詳解】

證明：VPA^PC,〃為〃'中點，AACA.PD.

又.ABC為等邊三角形，BA=BC,：.ACA.BD.

,：BDPD=D,BD,PDu平面PDB,ACJ?平面。如

：ACu平面為C,...平面處C_￡平面P￡）B.

【小問2詳解】

?.〈ABC為正三角形，AC=2,：.cABC的面積為石，設(shè)三棱錐P—ABC的底面ABC上的

高為力，

/0*//=且/7=正=力=1,作PO_LOB于。，由（1）「。_1平面48。，所以「。=!，

PM33622

又PD=1,所以ZPDO=30°,DO=—

2

所以。是陽的中點，記BC的中點為￡,以O(shè)BOE,OP為X，?z軸，建立空間直角坐標系

O-xyz,則

，＜0,0,1]

點00〕Cr--凡JU。）

22

I)7

'p8=悍。，-4,PC=1字

??.AP=

設(shè)〃?=（X，y,zJ是平面用6的一個法向量

G1_n

+y+9]=0

=><氐;：：+；=（/取"=小5

61_n

—x,—z,=0

I2121

設(shè)%=（無2,%，22）是平面陽。的一個法向量

-z=0

22

T取〃2=(i,G,V^)

百,1_n-\3%->+2y,-z,—0

--7/+必―/=0

々?%11-3+311

COS⑶-'-設(shè)二面角A—必―C的平面角為氏

7

1一8“2如〃2）=軍

則sin6=Jl—cos?”

21【答案】:

(1)〃=4；

（2）（4,16）

【解析】：

【小問1詳解】

依題意，直線x=\與圓d+y2=4相切，￡=2,p=4.

【小問2詳解】

<2\/2A/2\

拋物線方程V=8x,設(shè)M今,%,%今,y,M今，為，

、8J（8J\o）

22

A_A

過MM,的直線方程為尤—宣=88（）,_yj

8'0

化簡得：/MM：8x=（yo+y）y-%y同理，/”%：8*=（%+必）丁一%%，

又4”必，4晚分別過A（4,2）,B（-4,0）.

32=2（%+兇）-,32=yoy2

消去%,16（%+%）=>跖+32代入得

IM,M2

lMlM2:8x-32=(y+%)(y-16),直線必必恒過一個定點(4,16).

22【答案】：

(1)(0,2];

(2)證明見解析

【解析】：

【小問1詳解】

解:因為/(%)=e*-b―asinx,則/'(x)=e'+e-*-acosx,

①當0<a42時，由一1Wcosx<1可知-2W-aWacosx<a<2,

又因為6'+6-*22，7或=2,當且僅當x=0時，等號成立，

所以/'(x)=ev+e-'-acosx20恒成立，且