數(shù)學(xué)人教A版必修3學(xué)案第三章概率本章小結(jié)

本章小結(jié)一、隨機(jī)事件及概率隨機(jī)事件的概率是指大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)(n是試驗(yàn)的總次數(shù)，m是事件A發(fā)生的次數(shù))接近的常數(shù)，記作P(A)，它反映的是這個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小．即一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性又有規(guī)律性．規(guī)律性體現(xiàn)在eq\f(m,n)的值具有穩(wěn)定性，當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加時(shí)，eq\f(m,n)的值總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)且擺動(dòng)的幅度越來越小，由于0≤m≤n，故0≤eq\f(m,n)≤1，于是可得0≤P(A)≤1.[例1]某射擊運(yùn)動(dòng)員為2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)做準(zhǔn)備，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91(1)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？(3)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？[解](1)由題意知擊中靶心的頻率在0.9左右擺動(dòng)，故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9＝270(次)．(3)不一定．二、互斥事件和對(duì)立事件互斥和對(duì)立都是反映事件相互關(guān)系的重要概念．互斥事件、對(duì)立事件的概率公式是基本公式，必須學(xué)會(huì)正確運(yùn)用．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式時(shí)，首先要確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，應(yīng)用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．[例2]從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)[解析]設(shè)3個(gè)紅球分別為紅1，紅2，紅3,2個(gè)白球分別為白1，白2，則從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球的取法有(紅1，紅2，紅3)，(紅1，紅2，白1)，(紅1，紅2，白2)，(紅1，紅3，白1)，(紅1，紅3，白2)，(紅1，白1，白2)，(紅2，紅3，白1)，(紅2，紅3，白2)，(紅2，白1，白2)，(紅3，白1，白2)，共10種，其中不含白球的只有(紅1，紅2，紅3)1種，所以不含白球的概率為eq\f(1,10)，所以至少有1個(gè)白球的概率為P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).[答案]D三、古典概型古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常遇到的題型，解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性與等可能性，用以判斷該題目是否屬于古典概型．事件A在古典概型中發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(m,n)，其中n為試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，m為事件A包含的基本事件數(shù)，應(yīng)用公式的關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m、n.下面舉例說明．[例3]為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了m位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，頻率分布直方圖如圖所示．已知生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量在[20,25)之間的工人有6位．(1)求m；(2)工廠規(guī)定從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2位工人進(jìn)行培訓(xùn)，則這2位工人不在同一組的概率是多少？[分析](1)利用數(shù)量在[20,25)內(nèi)矩形的面積等于樣本中落在該組的頻率求出m；(2)生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人有兩組[10,15)，[15,20)，分別求出兩組的人數(shù)，利用古典概型求出概率．[解](1)根據(jù)頻率分布直方圖可知產(chǎn)品件數(shù)在[20,25)內(nèi)的頻率為5×0.06＝0.3，則有0.3m＝6，解得m(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)，[15,20)內(nèi)的人數(shù)分別為5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)內(nèi)的2人分別是A，B，設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[15,20)內(nèi)的4人分別是C，D，E，F(xiàn)，則從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2位工人的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．2位工人不在同一組的結(jié)果有：(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，共8種．則選取這2人不在同一組的概率為eq\f(8,15).四、幾何概型當(dāng)一隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果有無數(shù)個(gè)，并且每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的，我們把這樣的試驗(yàn)稱為幾何概型．由于試驗(yàn)的結(jié)果不能一一列舉出來，所以在計(jì)算概率時(shí)可利用試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和所求事件的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量的比值來計(jì)算．常用的幾何度量有長度、面積、體積和角度等，解題時(shí)要適當(dāng)選擇．[例4]在區(qū)間[－3,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得lg(x－1)<lg2成立的概率為________．[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,lgx－1<lg2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,x<3.))所以在區(qū)間[－3,3]上不等式lg(x－1)<lg2的解集為(1,3)，其長度為2.又因?yàn)閤∈[－3,3]，其長度為6，由幾何概型知識(shí)，得P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)[例5]節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)[解析]設(shè)兩串彩燈同時(shí)通電后，第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y，則0≤x≤4,0≤y≤4，而事件A“它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2s”，即|x－y|≤2，其表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分．由幾何概型概率公式，得P(A)＝eq\f(42－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2)),42)＝eq\f(3,4).[答案]C五、概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合，是新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考試題的一個(gè)亮點(diǎn)，其中所涉及的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是基礎(chǔ)知識(shí)，所涉及的概率是古典概型，雖然是綜合題，但是難度不大，屬于中檔以下難度．[例6]隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高；(2)計(jì)算甲班的樣本方差；(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率．[分析](1)莖葉圖中的數(shù)據(jù)越集中在上部，則說明該班的平均身高較高；(2)先求出平均數(shù)，再代入方差公式即可；(3)寫出所有基本事件，再統(tǒng)計(jì)基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型計(jì)算概率．[解](1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160～179之間，而乙班身高集中于170～180之間，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的樣本方差為：s2＝eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A，用(x，y)表示從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)的身高，則所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)