四川省成都市2023屆高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（文科）試題（解析版）

成都市2020級(jí)高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)

數(shù)學(xué)（文科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題）1至2頁(yè)，第II卷（非選擇題）3至4

頁(yè)，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的（答案Il標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦擦干凈后，再選涂其它K答案11標(biāo)號(hào).

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將K答案X書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.

5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

L設(shè)集合A={x∣-1<X42},3={RX2-4x+3≤θ},則An8=（）

A.{x∣-l<x≤3}B.{x∣-l<x≤l}

C.{R14X≤2}D.{Λ∣1≤X<3}

R答案XC

K解析D

K樣解Il解不等式，得到B={x∣l≤x≤3},進(jìn)而求出交集.

K詳析D8={x∣χ2-4χ+3≤θ}={x∣l≤x≤3},

故ACB=何1≤X≤2}.

故選：C

2.滿足（l+i）z=3+i（i為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)Z=（）

A.2-iB.2+i

C.l+2iD.l-2i

K答案UA

K解析D

"羊解Il利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得復(fù)數(shù)Z.

3+i-(3+i)(l-i)4-2i_

K詳析Il由復(fù)數(shù)的除法可得Z

1+i(l+i)(l-i)2

故選：A.

3.拋物線V=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（04）B.（0窈C.g,θ）

K答案，B

K解析H

K樣解》根據(jù)拋物線無(wú)2=2PX的焦點(diǎn)為（0,日）求解.

K詳析D因?yàn)閽佄锞€∕=2y,

所以〃=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（o,?^）=[o,g]

故選：B

4.下圖為2012年—2021年我國(guó)電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列

結(jié)論正確的是（）

A.2012年一2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額逐年遞增

B.2012年一2021年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額逐年遞增

C.2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額均較上一年實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)，且其增速均快于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)

總額增速

D.2012年—2021年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速的均值

K答案DC

R解析』

K祥解2根據(jù)折線圖給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可判斷出K答案H.

K詳析Il對(duì)于A,2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速為負(fù)數(shù)，從2017到2018利潤(rùn)總額下降，故A

不正確；

對(duì)于B,2015年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速為負(fù)數(shù)，從2014到2015利潤(rùn)總額下降，2019年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額

增速為負(fù)數(shù)，從2018到2019利潤(rùn)總額下降，故B不正確；

對(duì)于C,2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速均為正數(shù)，所以利潤(rùn)總額均較上一年實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)，

且其增速均大于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速，故C正確；

對(duì)于D,2012年—2021年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速的均值為

5.3+12.2+3.3-2.3+8.5+21+10.3—3.3+4.1+34.3

=9.34,2012年—2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利

10

7.9+19.7+17.1+5.9+12.8+22.9—3.1+3.1+17.2+38.9

潤(rùn)總額增速的均值為=14.24,9.34<14.24,

10

故D不正確.

故選：C

尤+y-4≤0,

5.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件（y≥0,則Z=x+2y的最大值是（）

x-y≥0.

A.2B.4C.6D.8

R答案XC

R解析D

K祥解D畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

x+γ-4<0,

R詳析員畫(huà)出約束條件<y≥0,所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x-γ>0.

1Z

目標(biāo)函數(shù)Z=X+2y,可化為直線y=-]X+/,

當(dāng)直線y=-'x+三過(guò)點(diǎn)A時(shí)在>上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,

-22

x+y-4=0

又由《，解得A(2,2),

X-y=0

所以目標(biāo)函數(shù)Z=x+2y的最大值為ZmaX=2+2x2=6.

故選：C.

6.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓面，則它的底面面積與側(cè)面面積之比是（）

A.0：1B.2:1C.lr√2D.1:2

K答案》D

K解析H

K祥解》設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，?，扇形的半徑為/,利用圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，可得出/、

廠的等量關(guān)系，再利用圓錐的側(cè)面積和底面積公式計(jì)算可得結(jié)果.

K詳析』設(shè)圓錐的底面圓的半徑為一，扇形的半徑為/,由題意可得2πr=π∕,.??∕=2r,

所以，該圓錐側(cè)面積為S側(cè)=7i"=2π/,底面積為S底=π/,

所以，該圓錐底面面積與側(cè)面面積之比是S底：SIW=I:2.

故選：D.

7.下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

B.對(duì)分類(lèi)變量X與y,它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值氏越小，說(shuō)明“X與y有關(guān)系”的把握越大

C.線性回歸直線*=3x+4恒過(guò)樣本中心（尺》）

D.在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

K答案，B

K解析H

R祥解X相關(guān)系數(shù)『來(lái)說(shuō)，H越接近L相關(guān)程度越大，說(shuō)明擬合效果更好可判斷A;由隨機(jī)變量K2的觀

測(cè)值Z可判斷B；由線性回歸直線一定恒過(guò)樣本中心可判斷C；由殘差平方和越小，模型的擬合效果越好,

可判斷D.

K詳析》對(duì)于A,回歸分析中，對(duì)于相關(guān)系數(shù)r,

M越接近1，相關(guān)程度越大，說(shuō)明擬合效果更好，A對(duì);

對(duì)于B,對(duì)分類(lèi)變量X與y,它們的隨機(jī)變量κ?的

觀測(cè)值人越小，說(shuō)明“x與y有關(guān)系”的可能性越小，B錯(cuò)；

對(duì)于c,由線性回歸直線$=去+&,其中G=》一位，

所以一定恒過(guò)樣本中心(元》)，所以C正確；

對(duì)于D,在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的

擬合效果越好，D正確.

故選：B

8.若函數(shù)/(x)=V+2以2+∕χ在％=］處有極大值，則實(shí)數(shù)“的值為()

A.1B.-1或一3C.-1D.-3

K答案DD

K解析H

"羊解Il根據(jù)極大值的定義進(jìn)行求解即可.

R詳析H由F(X)=X3+2Or2+∕x=r(κ)=3f+40x+α2,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=X3+2OX2+∕χ在X=I處有極大值，

所以有∕,(l)=0=>3+4<s+a2=O=α=-l,或α=-3,

當(dāng)a=—1時(shí)，f'(χ)=3/—4x+1=3(x-?)(?-1),

當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)g<χ<l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，所以X=I是函數(shù)/(x)的極小值

點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a=-3時(shí)>/'(X)=3%212,x+9——3(x-l)(x-3),

當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)l<x<3時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，所以x=l是函數(shù)/(x)的極大值

點(diǎn)，符合題意，

故選：D

9.已知直線/,加和平面a,尸.若。_L￡,/_La,則“/_L〃z”是“加，尸”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案，B

R解析』

K祥解D根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系即可判斷.

K詳析》因?yàn)閍_L￡,/_La,

若mJ■尸，則可得/_Lm,必要性成立；

若/_Lm,則m∕∕α或"zua都有可能，但是加，力不一定成立，充分性不成立.

所以“/_L'是"mJ?∕?”的必要不充分條件.

故選:B.

10.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“.若％=2,α,,+∣=S,,則Sg=（）

A.512B.510C.256D.254

K答案DC

R解析1

R祥解》根據(jù)S,與%的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

詳析》由,

Ka”+i=Sn=5π+∣-Sn=Sn=>Sn+i=2Sn,

所以數(shù)列｛S,,｝是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列，于是?=2?27=256,

故選：C

11.日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽?，同時(shí)，另一部分被海水中的有機(jī)物和無(wú)機(jī)物有選擇

性地吸收與散射.因而海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用∕o=∕°e""表示其總衰減規(guī)律，其中

K是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和/°（單位：坎

德拉）分別表示在深度。處和海面的光強(qiáng).已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%,則該海區(qū)消光

系數(shù)K的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：ln2*0.7,ln3Rl.l,ln5≈1.6）

A.0.12B.0.11C.0.07D.0.01

K答案HA

K解析D

R祥解力根據(jù)題意，列出方程，得到30%=e-∣°κ,兩邊取對(duì)數(shù)后，求出K的值.

詳析由題意得：oκ即

KH3（）%70=Iae-',30%=eT°κ,

兩邊取對(duì)數(shù)得：-10∕f=ln3-lnl0=ln3-ln2-ln5,

…In2+ln5-ln30.7+1.6-1.1…

故K=-------------≈------------=0.12.

1010

故選：A

12.已知側(cè)棱長(zhǎng)為26的正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的表面積為36乃，則該正四棱錐的體積

為（）

168√28

A.—B.—C.-D.

333

K答案DD

K解析，

"羊解D作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算.

K詳析》設(shè)四棱錐為P—ABCD,底面ABCD的中心為O,

設(shè)外接球的半徑為R,底面正方形的邊長(zhǎng)為2”,四棱錐的高為Po=〃，則4萬(wàn)R2=367,R=3,

BO=?∣2a>

當(dāng)外接球的球心在錐內(nèi)時(shí)為。1,在Rt中，BO2+PO2=PB2>

即26/+//=12…①，在RtBoa中，OO；+BO2=BO;,即（/z—3丫+2合=3?…②,

聯(lián)立①②，解得α=2,∕z=2<A（舍）；

當(dāng)外接球的球心在錐外時(shí)為。2，在Rt.PBO中，BO2+PO-=PB2，

即2/+/?=12…③，在RtBOO2中，BO2+00;=BO1,即2后+（3-4=3?…④,

132

聯(lián)立③④解得α=2,∕z=2,四棱錐的體積LrBeO=5'（2*2）9\2=餐；

故選：D.

第II卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把K答案H填在答題卡上.

13.在公差為d等差數(shù)列｛4｝中，已知q+α2+<?=3,4+4=4,則"=.

K答M3-

3

R解析』

"羊解D根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將已知等式化簡(jiǎn)，兩式相減即可求得工答案〉

K詳析》由題意公差為d的等差數(shù)列｛叫中，4+/+4=3,%+4=4,

則3q+3d=3,2al+8d=4,即q+d=1,4+44=2,

故3d=1,.二d=L

3

故K答案H為：-

3

14.己知雙曲線=Im>0,6>0)的漸近線與圓d+,2-4,+3=0相切,則雙曲線的離心率為

K答案，2

K解析H

R祥解R求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出

得到離心率.

R詳析Rχ2+y2-4y+3=(∏4^gχ2+(y-2)2=],圓心為(0,2),半徑為1,

=l(a>0,?>0)的漸近線方程為y=±2χ,

a2b2a

2

II,解得：Jl+乂=2,即￡=Jl+乂=2,

則Ib2

√1+7VaaXa

故離心率為2.

故K答案2為：2.

15.已知平面向量4,6,c滿足W=W=,一4=l,c?a=c∕=l,貝4c∣=

K答案n空林乙乖I

33

K解析H

K祥解11根據(jù)所給條件平方后可得<H>=］，再求出0<cos<H>=cos<7」〉，可知向量］與

夾角相等，即可求解.

K詳析Il由=1平方可得：；_2；了+小=1'又Ial=W=1，

→→→→→→?->-÷]

,

..a?b=?a??b?cos<a,b>=-f即cos<a,b>=一,

_>_》—>—>兀

由0〈<α,兀知，<a,b>=個(gè),

乂c?Q=c?b=V.,.0<cos<a,c>=cos<b.c>f

:.<a,c>=<瓦。>且為銳角,

-??~?~?

/.<a,c>=<Z?,c>=—,

6

acos—二

解得卜卜2叵

故K答案n為：2叵

3

16.已知函數(shù)/(x)=Sin2χ-sinx+NXG[0,π].有下列結(jié)論:

①若函數(shù)/(X)有零點(diǎn)，則攵的取值范圍是,8,:

IjrSJT

②若k=),則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為一,——；

466

③函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0,2,3,4；

④若函數(shù)/(x)有四個(gè)零點(diǎn)，則ke(θ,})且x∣+X2+?χ3+X4=2兀.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為.

R答案H②③④

K解析H

K樣解》分離常數(shù)，Zr=-sin2x+si?ir,Λ∈[0,π],求函數(shù)值域得攵的取值范圍.

代入％=，，解得SinX=L,?.?χ∈[0,π∣,.?,%=^,—

42lj66

設(shè)/(x)=f2-t+攵=0,的根為分類(lèi)討論方程根的個(gè)數(shù)，當(dāng)方程有四個(gè)根時(shí)，O<z1<l,O<z2<l,

且GRf2，可求得Z的取值范圍，根據(jù)V=Sinx的對(duì)稱性，可求得玉+/+七+%=2兀.

K詳析H/(x)=sin2x-sinx+?=0,x∈[(),π].*.k=-sin2x+sinx,x∈[O,π],

令Z=SinXJ∈[0,1],Z=T2+/=-(t-?)2+?,r∈[θ,l],

.?.?∈o,?，故①錯(cuò)誤.

_4_

IIjτSJT

當(dāng)Z=W時(shí)，/(x)=O,sinx=-,x∈[0,π],故②正確.

/(X)=sin2Λ-Sin%+Z:=O,x∈[θ,π],

令f=sin∈[0,1],.,.∕(x)=r2-t+/:=0,/∈[0,1]

設(shè)方程有兩個(gè)零點(diǎn)4由，4+G=lJ∕2=攵，kw0,—.

當(dāng)％>1,馬<0,方程無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)％=14=0,方程有3個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)0<。vl,O<Lvl,且乙工弓，方程有4個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)4=f,=L,方程有2個(gè)零點(diǎn).

2

故③正確.

若函數(shù)/(X)有四個(gè)零點(diǎn)%,々，%3，％4，

.?./(力=/-1+左=0/40』]有兩個(gè)零點(diǎn)/1,/2,

ti+t2=l,tit2=k,則0<t∣<l,0<∕2<1,且f尸總

Oy<%工卜T*)

又Ir=SinX關(guān)于χ=5對(duì)稱，

設(shè)/,對(duì)應(yīng)兩根xl,x2,t2對(duì)應(yīng)兩根?,?'

Λ故④正確.

.?.%1+x2=π,3+%4=π,x∣+x2+x3+x4-2π,

故K答案』為：②③④.

三.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.成都作為常住人口超2000萬(wàn)的超大城市，注冊(cè)青年志愿者人數(shù)超114萬(wàn)，志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超268萬(wàn)小

時(shí).2022年6月，成都22個(gè)市級(jí)部門(mén)聯(lián)合啟動(dòng)了2022年成都市青年志愿服務(wù)項(xiàng)目大賽,項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，

共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋文明實(shí)踐、社區(qū)治理與鄰里守望、環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域.已

知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)伍申報(bào)，主管部門(mén)組織專家對(duì)志愿者申報(bào)隊(duì)伍進(jìn)行評(píng)審打分，并將專家評(píng)分(單

位：分)分成6組：［40,50),［50,60),,［90,100］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中S的值；

(2)已知評(píng)分在［85,1()()］的隊(duì)伍有4支，若從評(píng)分在［80,90)的隊(duì)伍中任選兩支隊(duì)伍，求這兩支隊(duì)伍至少

有一支隊(duì)伍評(píng)分不低于85分的概率.

R答案1(1)m=0.012

3

(2)-

5

K解析D

K祥解》(1)利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可；

(2)由直方圖求得不低于90分的隊(duì)伍有2支，評(píng)分在［85,90)的隊(duì)伍有2支.評(píng)分在［80,90)分的隊(duì)伍有

6支，再利用列舉法可得兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評(píng)分不低于85分的概率.

R小問(wèn)1詳析』

由(0.004×2+0.022+0.030+0.028+∕n)×10=l,

解得W=O.012.

K小問(wèn)2詳析』

由題意知不低于90分的隊(duì)伍有50x0.04=2支，故評(píng)分在［85,90)的隊(duì)伍有2支.

評(píng)分在［80,90)分的隊(duì)伍有50x0.12=6支.

記評(píng)分落在［8(),85)的4支隊(duì)伍為A，4,4,4；評(píng)分落在［85,90)的2支隊(duì)伍為用，B2.

則從評(píng)分在［80,90)的隊(duì)伍中任選兩支隊(duì)伍的基本事件有：(4,4),(A,A),(4,A),

(A，4),(4,幻,(4,A),(4,4),(4,g),(4也),(％,A),(%,4),(A,

B2),(A4,β,),(Ai,B2),(Bl,B2),共15個(gè).

其中兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評(píng)分不低于85分的基本事件有：(A，耳),(&坊),(4,

β,),(A,B2),(?,jβl),(A,,B2),(At,B1),(At,β2),(Bl,B2),共9個(gè).

93

故所求概率為P=話=M.

18.記_ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為α,Ac.已知々=sinC+cosC.

a

(1)求A的大小；

(2)若2λ∕5sinB=3sinC,再?gòu)南铝袟l件①，條件②中任選一個(gè)作為已知，求,ABC的面積.

條件①：asinC=2；條件②：ac=2y[?Q-

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

K答案X(1)A=；；

4

(2)3.

K解析H

K祥解II(I)由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)求A；

⑵若選①，由正弦定理求C,由條件求〃，結(jié)合三角形面積公式求面積，

若選②，由條件可設(shè)c=207%,/?=3機(jī)(機(jī)＞0),利用余弦定理求加，結(jié)合三角形面積公式求面積.

R小問(wèn)1詳析』

—=sinC+cosC,

a

由正弦定理知她生=SinC+cosC,即SirLS=sinAsinC+SinAcosC.

SinA

在」WC中，由5=兀一(A+C),

.*.sinB=sin(A+C)=sinA∞sC+CosAsinC=SinAsinC÷SinAcosC.

.,.CosAsinC=sinAsinC.C∈(0,π),/.sinC≠0.

.?.sinA=cosA.

A∈(0,π),.?A=-^.

R小問(wèn)2詳析』

若選擇條件①，由正弦定理一：=.0,得"sinC=CSinΛ==2.

SinASinC2

C=2λ∕2?

又20sin8=3sinC,即2√^=3c??

:.b=3.

:.S4”CSinA='χ3χ2V^Sin'=3.

"C224

若選擇條件②，由2j‰inB=3sinC,即2伍=3c?

設(shè)C=2y∣2m,b-3m(m>0).

則a2=b2+c2-2bccosA=5m2,:.a=?[5m?

由4c=2JIU，得根=1.

a-?/?,b—3,c-2??∕2.

.?.S4”=CSinA='χ3χ2√?in'=3.

ABC224

19.如圖①，在等腰直角三角形ABC中，/4=90,46=2,。,后分別是4。,8。上的點(diǎn)，且滿足

DEHAB.將二CDE沿DE折起，得到如圖②所示的四棱錐P—ABED.

(1)若。為AC的中點(diǎn)，平面QDE，平面A3EZ)，求四棱錐P-A3田的體積:

(2)設(shè)平面ABPC平面。石P=/,證明：平面ADP.

R答案H(1)?

(2)證明見(jiàn)K解析』

K解析D

K樣解Il(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理推出尸Dj_平面A3E。，再根據(jù)棱錐的體積公式可求出結(jié)果;

(2)根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理推出DE/〃，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論正確.

K小問(wèn)1詳析』

由題意得DE±AC,DEA.DP.

平面PDEJ_平面ABED,PDU平面PDE，平面PDE平面ABED=DE，

.?.PZ)，平面ABEO?

。為AC的中點(diǎn)，

..DA=DE=DP=L

111÷21

--X1X1=-

?'?VP-ABED3322

四棱錐P-ABED的體積為;.

R小問(wèn)2詳析H

DE//AB,DEa平面RLB,4?U平面∕?B,

.?.。6//平面以6.

DEU平面PDE，平面PDE平面Q45=/,

：.DE//l.

由圖①OElAC，得DELDA,DE工DP,

:.1±DA,l±DP.

ZMU平面ADP,￡>PU平面ADP,DACDP=D，

.?.∕?L平面ADP.

22

20.已知橢圓C:=r+與v=l(α>8>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，工，上頂點(diǎn)為。，且△。片鳥(niǎo)為等邊三角

ab~

形.經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)K的直線/與橢圓C相交于A,5兩點(diǎn)，GAB的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求面積的最大值及此時(shí)直線/的方程.

fV2

K答案D(1)—+?-=!；

43

(2)最大值3,此時(shí)直線/的方程為X=L

R解析H

K祥解IKI）由△。大名為等邊三角形,得到α=2c,由橢圓定義得到片45的周長(zhǎng)為牝=8,求出α=2,

進(jìn)而求出。，得到橢圓方程；

（2）推理出直線/斜率不為0,設(shè)出直線/:%=/取+1,4（刀,K）,3（々,%），聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之

和，兩根之積，表達(dá)出GAB的面積S=g?IEF2Hy—%I=1；2；I,換元后結(jié)合基本不等式求出最

大值及此時(shí)直線/的方程.

R小問(wèn)1詳析』

由△。耳尸2為等邊三角形，|。耳|=|。用=a，I耳聞=2c,

故Q=2c,

?AF]+?AE2?=2a,?BFl?+?BE2?=2a,

二△6AB的周長(zhǎng)為44=8,得α=2.

.^.c=l,b=?∣a2-C2=?/?>

橢圓E的方程為工+E=ι；

43

R小問(wèn)2詳析]

由（1）知鳥(niǎo)（1,0）,且直線/斜率不為0.

設(shè)直線/：%=/取+1,A（內(nèi),乂）,8（孫必）?

X=my+1,

由消去

y2X,得(3〉+4)/+6my-9=0,

----1----=1

43

顯然A=144(m2+ι)>o,

-6m_-9

??J+M3m2+4?'?23mz+4

由，片AB面積S=；MMHy—%∣=∣X-叼，

j_4_9_12j?+l

而IM-%I=J(y+%[-4v?%-6m

3m2+43m2+43m2+4

nt12

設(shè)/=^A7W≥1，則5一%產(chǎn)FTT=IP^?

t

y=3f+；在［1,+8)上單調(diào)遞增,

.?.當(dāng)/=1時(shí)，(3/+」=4.

I?n,in

即當(dāng)m=O時(shí)，S=IM-%|取得最大值3,此時(shí)直線/的方程為x=l?

Kr點(diǎn)石成金/方法1點(diǎn)石成金J：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：

(I)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的

最值或范圍.

21.已知函數(shù)/(x)=InX+α-l,0∈R.

(1)若/(x)≤x,求。的取值范圍；

(2)當(dāng)α∈(0,l］時(shí)，證明：/(χ)≤"∣)e.

R答案U(1)(—∞,2］；

(2)證明見(jiàn)K解析〉

K解析』

K樣解》⑴構(gòu)造g(x)=/(X)-X=Inx-x+"l,利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷g(x)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

⑵構(gòu)造MX)=(I)e,一/(X)=(I)--IIU+1_q(χ〉0),利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷〃(x)的單調(diào)性，

結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.

K小問(wèn)1詳析》

idg(x)=∕(x)-x=l∏x-x÷6r-l.

則g(χ)≤O恒成立，即gS)max≤O.

"F

當(dāng)x∈(0,l),g'(x)>O;當(dāng)x∈(l,+∞),g'(x)<O;

二g（χ）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（l,+∞）上單調(diào)遞減.

?'g(x)max=g(l)≤°?解得α≤2?

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

R小問(wèn)2詳析』

記MX)=——)——/(X)=—~~野——Inr+1-a(x>0)?

■∕z'(x)=xex~a一，,“(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

令W=Xe-?,(θ,+0?),

則√(x)=(l+x)ex-a+J>0,所以夕(x)即g)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

由αe((),l],知"(g)=gl-"-2<0,〃'(1)=9-"-120.

,

.?.≡x0∈f^,1,Λ(xo)=O.即XOe*廠"=’(*),

12」?

.,.當(dāng)X∈(0,"),"(%)VoM(X)單調(diào)遞減;當(dāng)XW(XO(X)單調(diào)遞增.

hsa

(x?γin=A(?)=(?-l)e?'^-Inx0+1-α(**),

由(*)式，可得e*-"=4,Xo-α=-2hυ?.

?

X--?

代入(**)式，得MXO)=告一一31ιu0-?+l.

Ao

由(1)知，當(dāng)4=2時(shí)有InX≤x-l,

故Tnx°≥>%..?∕(X0)≥?1-3(A0T)-+l=

??

由尤()e(；，1,???%(xo)zθ.

故〃(x)≥0,即/(χ)≤"l)e.,原不等式得證.

八點(diǎn)石成金」H方法［點(diǎn)石成金上對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略:

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

請(qǐng)考生在第22,23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)，用2B

鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X=2+cos/

22.在直角坐標(biāo)系Xo)，中，圓心為A的圓G的參數(shù)方程為《,(，為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

y=sιnz

點(diǎn)，X軸正半