《24.1.2 垂直于弦的直徑》教案、導(dǎo)學(xué)案

《24．1.2垂直于弦的直徑》教案【教學(xué)目標(biāo)】1．進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓是軸對(duì)稱圖形．2．能利用圓的軸對(duì)稱性，通過探索、歸納、驗(yàn)證得出垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問題．3．認(rèn)識(shí)垂徑定理及推論在實(shí)際中的應(yīng)用，會(huì)用添加輔助線的方法解決問題．【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入你知道趙州橋嗎？它又名“安濟(jì)橋”，位于河北省趙縣，是我國現(xiàn)存的著名的古代石拱橋，距今已有1400多年了，是隋代開皇大業(yè)年間(605～618)由著名將師李春建造的，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，全長(zhǎng)50.82米，橋?qū)捈s10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當(dāng)今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：垂徑定理【類型一】垂徑定理的理解如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長(zhǎng)是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.連接OD，∵P是OB的中點(diǎn)，設(shè)OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)，∴AB＝4eq\r(3).故選D.方法總結(jié)：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理解決問題．【類型二】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設(shè)半徑為R，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結(jié)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用我們學(xué)過的垂徑定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行解答．探究點(diǎn)二：垂徑定理的推論【類型一】利用垂徑定理的推論求角如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.【類型二】利用垂徑定理的推論求邊如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB＝10cm，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合)，連接AP、BP，過點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的長(zhǎng)．解析：運(yùn)用垂徑定理先證出EF是△ABP的中位線，然后運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)把要求的EF與AB建立關(guān)系，從而解決問題．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5cm.方法總結(jié)：垂徑定理雖是圓的知識(shí)，但也不是孤立的，它常和三角形等知識(shí)綜合來解決問題，我們一定要把知識(shí)融會(huì)貫通，在解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手．【類型三】動(dòng)點(diǎn)問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．解析：當(dāng)點(diǎn)P處于弦AB的端點(diǎn)時(shí)，OP最長(zhǎng)，此時(shí)OP為半徑的長(zhǎng)；當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時(shí)OP的長(zhǎng)．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點(diǎn)D，由垂徑定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長(zhǎng)，∴OP的長(zhǎng)度范圍是3≤OP≤5(單位：cm)．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確OP最長(zhǎng)、最短時(shí)的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯(cuò)的地方是不能確定最值時(shí)的情況．三、板書設(shè)計(jì)【教學(xué)反思】教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)垂徑定理的得出跟圓的軸對(duì)稱密切相關(guān)．在圓中求有關(guān)線段長(zhǎng)時(shí)，可考慮垂徑定理的應(yīng)用.《24．1．2垂直于弦的直徑》教案【教學(xué)目標(biāo)】1、知識(shí)目標(biāo)：（1）充分認(rèn)識(shí)圓的軸對(duì)稱性。（2）利用軸對(duì)稱探索垂直于弦的直徑的有關(guān)性質(zhì)，掌握垂徑定理。（3）運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明、計(jì)算和作圖。2、能力目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)—觀察—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納”的研究過程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、觀察分析、歸納問題和解決問題的能力。讓每個(gè)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)眼、動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力。3、情感目標(biāo)：通過實(shí)驗(yàn)操作探索數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】垂直于弦的直徑的性質(zhì)及其應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】1、垂徑定理的證明。2、垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論的區(qū)分?！窘虒W(xué)輔助】多媒體、可折疊的圓形紙板。【教學(xué)方法】本節(jié)課采用的教學(xué)方法是“主體探究式”。整堂課充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察、大膽猜想、小心求證。令學(xué)生參與到“實(shí)驗(yàn)--觀察--猜想--驗(yàn)證--歸納”的活動(dòng)中，與教師共同探究新知識(shí)最后得出定理。學(xué)生不再是知識(shí)的接受者，而是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，是學(xué)習(xí)的主人?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)目的情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景問題：趙州橋主橋拱的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題思考：若用直角三角形解決，那么E是否為AB中點(diǎn)？從實(shí)際出發(fā)，充分發(fā)現(xiàn)問題的存在，再帶著問題去思考它們之間的關(guān)系，有助于定理的得出?；仡櫯f識(shí)回顧舊識(shí)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過對(duì)稱的有關(guān)概念，下面復(fù)習(xí)兩道問題1）什么是軸對(duì)稱圖形？2）我們學(xué)習(xí)過的軸對(duì)稱圖形有哪些？（電腦上直觀的動(dòng)畫演示，運(yùn)用幾何畫板演示沿上述圖形對(duì)稱軸對(duì)折圖形的動(dòng)畫）學(xué)生觀察一些圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通過復(fù)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生本節(jié)課所需要的相關(guān)知識(shí)，為學(xué)生自主探索垂徑定理做奠基。引入新課引入新課問：（1）我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形？（2）如果是，它的對(duì)稱軸是什么？拿出一張圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？：（1）圓是軸對(duì)稱圖形。（2）對(duì)稱軸是過圓點(diǎn)的直線（或任何一條直徑所在的直線）（3）圓的對(duì)稱軸有無窮多條實(shí)驗(yàn)：把圓形紙片沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次觀察：兩部分重合，發(fā)現(xiàn)得出圓的對(duì)稱性的結(jié)論培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，觀察能力，通過比較，運(yùn)用舊知識(shí)探索新問題揭示課題揭示課題電腦上用幾何畫板上作圖：（1）做一圓(2)在圓上任意作一條弦AB；(3)過圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E。（板書課題：垂直于弦的直徑）在圓形紙片上作一條弦AB，過圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E師生互動(dòng)師生互動(dòng)運(yùn)用幾何畫板展示直徑與弦垂直相交時(shí)圓的翻折動(dòng)畫讓學(xué)生觀察，討論（1）圖中圓可能會(huì)有哪些等量關(guān)系？（2）弦AB與直徑CD除垂直外還有什么性質(zhì)？實(shí)驗(yàn)：將圓沿直徑CD對(duì)折觀察：圖形重合部分，思考圖中的等量關(guān)系猜想：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(電腦顯示))垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。恳龑?dǎo)學(xué)生通過“實(shí)驗(yàn)--觀察--猜想”，獲得感性認(rèn)識(shí)，猜測(cè)出垂直于弦的直徑的性質(zhì)拓展升華如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換或交換一條，命題是真命題嗎？（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論學(xué)生自主探證通過問題，引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，發(fā)現(xiàn)新目標(biāo)歸納小結(jié)歸納小結(jié)由學(xué)生小結(jié)，電腦顯示知識(shí)總結(jié)：這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)問題：一是圓的軸對(duì)稱性（學(xué)生回答），它是理解和證明定理的關(guān)鍵；二是垂徑定理（學(xué)生回答），它是這節(jié)課的重點(diǎn)要求大家分清楚定理的條件和結(jié)論，并熟練掌握定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，還推知它的里定理。另外它的其他推論級(jí)應(yīng)用我們下節(jié)課探討。講評(píng)總結(jié)：1學(xué)習(xí)垂徑定理后，你認(rèn)為應(yīng)該注意哪些問題？2應(yīng)用垂徑定理如何添輔助線？垂徑定理有哪些應(yīng)用3這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么疑問？4這節(jié)課的學(xué)習(xí)方式擬喜歡嗎？你有什么好的建議？講評(píng)回答回顧這節(jié)課的內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象，反饋學(xué)生這節(jié)課收獲節(jié)疑問，使教學(xué)效果得到提高分層作業(yè)分層作業(yè)1、必做題:習(xí)題24.1—1,92、選做題:習(xí)題24.1—12九、板書設(shè)計(jì)（1）圓是軸對(duì)稱圖形。（2）對(duì)稱軸是過圓點(diǎn)的直線（或任何一條直徑所在的直線）（3）圓的對(duì)稱軸有無窮多條24.1.2垂直于垂徑定理：垂徑定理逆定理：弦的直徑垂徑定理證明：方法歸納：技巧：重要輔助線是過圓心作弦的垂線。重要思路：（由）垂徑定理——構(gòu)造Rt△——（結(jié)合）勾股定理——建立方程構(gòu)造Rt△的“七字口訣”：半徑半弦弦心距《24．1．2垂直于弦的直徑》導(dǎo)學(xué)案一、知識(shí)點(diǎn)回顧：1．圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于_________，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在_________。2．如右圖，____________是直徑，___________是弦，____________是劣弧，________是優(yōu)弧，__________是半圓。3．圓的半徑是4，則弦長(zhǎng)x的取值范圍是_______________。4．確定一個(gè)圓的兩個(gè)條件是__________和_________。5．利用身邊常見的工具，你能在操場(chǎng)中畫一個(gè)直徑是5m的圓嗎？說說你的方法。二、新知學(xué)習(xí)：（一）．學(xué)習(xí)目標(biāo)：1-知識(shí)目標(biāo)：掌握垂徑定理2-能力目標(biāo)：利用垂徑定理解答圓的一般問題（二）．自學(xué)要求：P80—P81垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并平分弦所對(duì)的兩條弧.符號(hào)語言：∵是⊙的直徑又∵∴推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并平分弦所對(duì)的兩條弧符號(hào)語言：∵是⊙的直徑又∵∴三、典型拓展例題：1．你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.4，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？2．如圖，在⊙中，弦的長(zhǎng)為8，圓心到的距離為3.求⊙的半徑。3．如圖，在⊙中，、為互相垂直且相等的兩條弦，于，于.求證：四邊形為正方形。4．如圖所示，兩個(gè)同心圓，大圓的弦交小圓于、。求證：5．如圖所示，在⊙中，、是弦上的兩點(diǎn)，且.求