正方形基本型-母題溯源（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)

正方形基本型-母題溯源

題型?歸納

模型解讀...................................................................................2

【模型一】中點(diǎn)+折疊...................................................................2

【模型二】雙中點(diǎn)（十字架模型拓展）....................................................4

【模型三】對(duì)角線模型.................................................................11

【模型四】半角模型...................................................................12

題型一中點(diǎn)+折疊模型....................................................................16

題型二雙中點(diǎn)模型（十字架拓展）.........................................................19

2023?東營?中考真題....................................................................19

2203?綏化?中考真題....................................................................22

題型三對(duì)角線模型.......................................................................28

2023?攀枝花?中考真題..................................................................34

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題............................................................35

題型四半角模型（七個(gè)性質(zhì)）.............................................................37

2023?重慶?中考真題....................................................................37

2023?眉山?中考真題....................................................................38

2022達(dá)州?中考真題....................................................................40

知識(shí)點(diǎn)?梳理

模型解讀

【模型一】中點(diǎn)+折疊

性質(zhì)一：AA'IA'D；性質(zhì)二：F,G為中點(diǎn)；性質(zhì)三：A'GLCG;性質(zhì)四：ZEBG=45°；

性質(zhì)五：DG=2CG；性質(zhì)六：tanZDCN=-

3

性質(zhì)一證明：AA'±AD

性質(zhì)二證明：G是BC中點(diǎn)

性質(zhì)三，四證明：HL全等

性質(zhì)五證明：勾股，或“12345”模型

故；記)

【12345模型說明】易知a+￡=45。,tana=1,tan￡=,AB=12nCG=4,ZG=8

性質(zhì)六證明：12345模型

【模型二】雙中點(diǎn)(十字架模型拓展)

(1)知2推1：①M(fèi)中點(diǎn)；②N是中點(diǎn)；③AMLDN

BNC

(2)已知：M是中點(diǎn)，N是中點(diǎn)，連接CE并延長，交AD于F

①求EM:ED:EN:AE=

②證明：EC平分/NEM

求變

③

AF

【解析】

法二：旋轉(zhuǎn)相似（手拉手模型）

法三：四點(diǎn)共圓

②法一：角平分線定理

F在角平分線上，過F作角兩邊垂線

.DFSADEFDE1

*AF=S^=AE=2（角平分線定理2）

法二：12345模型（正切和角公式）

11

ZDEF=45°,ZEDC=-^tanZDCF=-

（3）已知：M,N是中點(diǎn)，。是中心，連接0E,①求DE:EG:GN;②證/OEC=90°

DE2NG1

ro12345模型

NE3'DG2

【解析】第二問

法一：由(2)可知NNEC=45°,故構(gòu)造手拉手模型可得△黃0△黃(SAS),從而可得NNEO=45。，得證

或者換個(gè)方向也可以，像這種方方正正的圖形也可以試試建系

A

B等-。

法二：四點(diǎn)共圓法三：補(bǔ)成玄圖易知/OEG=45。

BN、、一一一，CBNC

(4)已知：M,N是中點(diǎn)，連接BE,證BE=CD

BNC

【解析】法一斜邊上的中線等于斜邊一般

法二：過AD的中點(diǎn)P作AE垂線，交AM于Q,可得Q是AE中點(diǎn)，則BQ垂直平分AE,故AB=BE

法三：對(duì)角互補(bǔ)得四點(diǎn)共圓，導(dǎo)角得等腰

法四：勾股定理，由(2)可知DE：NE=2:3,設(shè)值求值即可

(5)已知：M,N是中點(diǎn)，連接BE,AHLBE于H,交DN于K,證AK=CD

【解析】法一：構(gòu)造玄圖導(dǎo)等腰

N1=N2=N3二N4

法三：建系求坐標(biāo)（略）

【模型三】對(duì)角線模型

互推關(guān)系

PA=PC①PA_LPE=>P/=PE

?PA=PE^>PALPE

【模型四】半角模型

如圖，已知ABCD為正方形，ZFAE=45°,對(duì)角線BD交AE于M,交AF與N,AGXEF

5個(gè)條件知1推4

①ZEAF=45°

②BE+DF=EF

③AHLEF>AH=AB

④AE平分/BEF

⑤AF平分/DFE

【性質(zhì)一】5個(gè)條件知1推4（全等）

【性質(zhì)二】BG2jt-HD-=GH2（勾股證）

【性質(zhì)三】NMGN=90°

【性質(zhì)四】①AM2=MN,MD；②AN2=NM?NB；③SABCD=BNDM（2組子母，1共享型相似）

【性質(zhì)五】△ANE,AAMF,是2個(gè)隱藏的等腰直角三角形（反8字相似或四點(diǎn)共圓）

□

【性質(zhì)六】△AMN^AAFE,且相似比為注（用全等導(dǎo)角）

2

NDBMV2

【性質(zhì)七】（旋轉(zhuǎn)相似）

EC~FC~2

【性質(zhì)一】DF+BE=EF

易證4ABE會(huì)AAGE,易證4AGF會(huì)4ADF

【性質(zhì)二】BG2+HZ）2=G//2簡證，如圖

【性質(zhì)三】ZMGN=900簡證，如圖：兩組全等

【性質(zhì)四】①AM?=MN?MD；②AN?=NM?NB；③SABCD=BN-DM（2組子母，1共享型相似）

簡證③，如圖

SABCD=BN-DM（共享型相似）

/1=45°+/2=/BANnZ\BANsADMA=>BN?DM=AB?AD

【性質(zhì)五】ZXANE,AAMF,是2個(gè)隱藏的等腰直角三角形

簡證，以4ANE為例，AAMF方法相同

AMNM,,

法一：兩次相似△AMNs^BMEn——=——ABMA^AEMNZABM=ZNEM=45°

ZBMEM

法二：ABEN四點(diǎn)共圓，對(duì)角互補(bǔ)NABE+NANE=180。或NABN=NAEN

【性質(zhì)六】△AMNSAAFE,且相似比為1

2

先證相似，易知N1=N2=N3,故相似成立

相似比為：AH=AH=V2

AGAB2

■.匡八

【性質(zhì)七】——ND=——BM=—V2

ECFC2

「ZDV2

y-------=--------

EC2

EC2

重點(diǎn)題型?歸類精練

題型一中點(diǎn)+折疊模型

1.如圖，在邊長4的正方形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，將ACOE沿直線OE折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處,

再將其打開、展平，得折痕OE.連接CP、BF、EF,延長2尸交AD于點(diǎn)G.則下列結(jié)論：①BG=DE；

112

②。尸，BG；?sinZDFG=~；@S,DFG=-f其中正確的有（）

A?1個(gè)B.2個(gè)C?3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：???四邊形A5CD是正方形，

A5=5C=A。=CO=4,ZABC=ZBCD=90°,

?.?石是邊的中點(diǎn)，

/.BE=CE=2,

???將NCDE沿直線DE折疊得到ADFE,

DF=CD=4,EF=CE=2,ZDFE=ZDCE=90°,/DEF=/DEC,

EF=EB,

ZEBF=ZBFE,

???ZEBF=/BFE=1(180°-ZBEF),NCED=/FED=；(180°-ZBEF),

/.ZGBE=/DEC,

/.BG/IDE,

??BE/IDG,

二.四邊形5EDG是平行四邊形，

；.BG=DE,故①正確；

EF=CE,

/EFC=ZECF,

ZFBE+ZBCF=ZBFE+ZCFE=1x180°=90°,

2

NBFC=9Q。,

/.CF1BG,故②正確；

???ZABG+ZCBG=ZBFE+ZDFG=90°,

:.ZABG=ZDFG,

,/AB=4,DG=BE=2,

AG-2,

BG=2A/5，

sinZDFG=sinNABG=—=~^==—故③錯(cuò)誤;

BG1455

過6作8_1。尸于H,

tanZGFH=tanZABG=-,

2

.,.設(shè)GH=x,貝ljm=2x,

???DH=y/DG2-x2，

DF=FH+DH=2X+NDG?一尤'=4，

解得：x=1.2,x=2(舍去)，

:.GH=1.2,

1I9

S^DFG=-x4xl.2=—,故④正確；

2.如圖，正方形A2CD中，AB=12,點(diǎn)E在邊BC上，BE=EC,將ADCE沿DE對(duì)折至ADFE,延長E尸

交邊A8于點(diǎn)G,連接。G,BF,給出以下結(jié)論：@ADAG=\DFG；?BG=2AG；③BFIIDE；④

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如圖，由折疊可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

NDFG=NA=90°,

在RtAADG和RtAFDG中，

UD=DF

\DG=DG'

RtAADG=RtAFDG(HL),故①正確；

???正方形邊長是12,

.-.BE=EC=EF=6,

設(shè)AG=FG=x,貝!jEG=x+6,8G=12—x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG-,

即：(x+6)2=62+(12-x)2,

解得：x=4

AG=GF=4,BG=8,BG=2.AG,故②正確，

EF=EC=EB,

ZEFB=ZEBF,

???NDEC=NDEF,ZCEF=ZEFB+ZEBF,

NDEC=ZEBF,

:.BF//DE,故③正確;

iFF679

SAGBE=-x6x8=24,=—■S=—x24=-,故④正確.

2EGAGBE105

綜上可知正確的結(jié)論的是4個(gè)

3.如圖，矩形A8CD中，AB=3屈，BC=12,E為AD中點(diǎn)，尸為AB上一點(diǎn)，將AAE尸沿所折疊后,

點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是_2缶

???四邊形ABC。為矩形，

:.ZA=ZD=9Q°,BC=AD=U,DC=AB=346>

為A￡>中點(diǎn)，

AE=DE=-AD=6

2

由翻折知，AAEFs\GEF,

AE=GE=6,NAEF=ZGEF,ZEGF=ZEAF=90°=ND,

GE=DE,

/.石。平分NOCG,

ZDCE=ZGCE,

???ZGEC=90°-ZGCE,/DEC=90°-ZDCE,

/.ZGEC=/DEC,

ZFEC=ZFEG+ZGEC=-xl80°=90°,

2

ZFEC=ZD=90°,

又?：NDCE=NGCE,

AFECSAEDC,

FEEC

"^DE^~DC，

■：EC=dDE?DC。=而+(3廂2=3廂,

FE_3V10

?.丁運(yùn)

.-.FE=2715

題型二雙中點(diǎn)模型（十字架拓展）

2023?東營?中考真題

1.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,尸分別在邊DC,BC±,且BP=CE,4E平分/C4。，連接

DF,分別交AE,AC于點(diǎn)G,M,P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作RV_LAC垂足為N,連接尸

2

有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分。M；②PM+PN的最小值為3亞；?CF=GEAE；?SMDM=672.其

中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【詳解】解：:ABCD為正方形，

BC=CD=AD,/ADE=/DCF=90。,

???BF=CE,

DE=FC,

DCF(SAS).

??.ZDAE=ZFDC,

?「ZADE=90°,

:.ZADG+ZFDC=90°,

:.ZADG+ZDAE=90°,

:.ZAGD=ZAGM=90°.

??.A石平分/CA。，

ZDAG=ZMAG.

???AG=AG,

.□AOGZAMG(ASA).

DG=GM,

?：ZAGD=ZAGM=90°,

石垂直平分0M,

故①正確.

由①可知，/ADE=/DGE=9。。,ZDAE=ZGDE,

:DADE-ODGE,

DEAE

'~GE~~DE'

:.DE2=GEAE,

由①可知OE=b,

:.CF2=GEAE.

故③正確.

?.?A3CD為正方形，且邊長為4,

/.AB=BC=AD=4,

二.在RtZkA5c中，AC=?AB=4及.

由①可知，口4。6斐]41〃；評(píng)5人)，

AM=AD=4,

CM=AC-AM=442-4.

由圖可知，口。“。和等高，設(shè)高為力，

一^LADM-S[]AOC-S^DMC，

4X/Z_4X4(4后—4)./Z,

2'

:?h=2C，

故④不正確.

由①可知，UAOG@AMG(ASA),

DG=GM,

關(guān)于線段AG的對(duì)稱點(diǎn)為。，過點(diǎn)。作DVLAC,交AC于N',交AE于P,

PM+PN最小即為DN',如圖所示，

由④可知△AOW的高力=2血即為圖中的￡W',

DN'=2收.

故②不正確.

綜上所述，正確的是①③

2.如圖，正方形A2CD中，點(diǎn)、E、F、G分別為邊AB、BC、AO上的中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)M,

連接GA/、CG,CG與DE交于■點(diǎn)、N,則結(jié)論①GMLCM；②CD=DM；③四邊形AGC尸是平行四邊

形；④=中，正確的有（）個(gè).

C.3D.4

【答案】B

【解答】解：■??AG//尸C且AG=fC,

四邊形AGC尸為平行四邊形，故③正確；

二.ZGAF=ZFCG=ZDGC,ZAMN=ZGND

在AADE和ABAF中，

AE=BF

<NDAE=ZABF,

AD=AB

AADE=ABAF(SAS),

:.ZADE=ZBAF,

ZADE+ZAEM=90°

ZEAM+NAEM=90°

ZAME=90°

NGND=90°

ZDE±AF,DE1.CG.

,.，G點(diǎn)為AO中點(diǎn)，

GN為\ADM的中位線，

即CG為0M的垂直平分線，

:.GM=GD,CD=CM,故②錯(cuò)誤;

在AGQC和AGMC中，

DG=MG

/<CD=CM,

CG=CG

/.AGDC=AGMC(SSS),

ZCDG=ZCMG=90°,

ZMGC=ZDGC,

/.GMLCM,故①正確；

ZCDG=ZCMG=90°,

，G、D、C、〃四點(diǎn)共圓，

ZAGM=ZDCM,

??CD=CM,

ZCMD=ZCDM,

在RtAAMD中，ZAMD=90°,

/.DM<AD,

/.DM<CD,

ZDMCwZDCM,

ZCMDZAGM,故④錯(cuò)誤.

2203?綏化?中考真題

3.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)E為邊CO的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作，AE于點(diǎn)尸，連接8。交AE于

點(diǎn)G,FH平分/BFG交BD于點(diǎn)、H.則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）

@AB2=BF-AE-,②/BGF：SABAF=2:3；③當(dāng)AB=a時(shí)，BD1-BDHD=a2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【詳解】,??四邊形A3CQ是正方形,

AZBAD=ZADE=90°,AB=AD

*/BF1AE

：.ZABF=90°-ZBAF=/DAE

cosNABF=cosNEAD

即處=必

又AB=AD,

ABAE

；?AB?=BF?AE，故①正確;

設(shè)正方形的邊長為。，

,??點(diǎn)七為邊8的中點(diǎn)，

??.DE=~,

2

tan/ABF=tansZEAD=—

2

在RtZXABE中，AB=NAF?+BF2=&F=a，

：.AF=-a

5

在Rt^ADE中，AE=^AD2+DE2=^~

2

???EF=AE-AF=—a--a=-a.

2510

,/AB//DE

"GAB沖GED

.AG_AB__

??---------2

GEDE

：.GE=-AE=—a

36

?口「AhAF5加右V52石

??rG=AE-Ar-GE=——a---a------a=-----a

25615

旦

.AF-3

''~FG~245-2

-----a

15

:&BGF:SABAF=2：3,故②正確；

,/AB=a,

：.BD2AB2+AD22a2,

如圖所示，過點(diǎn)H分別作3F,AE的垂線，垂足分別為M,N,

又：BF1AE,

.??四邊形廠是矩形，

,/FH是/BFG的角平分線,

，HM=HN,

：.四邊形尸7WWN是正方形，

FN=HM=HN

'：BF=2AF=—a,FG=—a

515

.MH_FG

?,麗一而一,

1SMH=b,貝lj8尸=+PM=BM+M//=3b+b=4b

在RtDBAffi中，BH=IBM。+MH?=Mb，

??nu275

?BF=-----a

5

?2石,,

?----Q=4。

5

角軍得：b=^-a

10

.Rq/777V5V2

??BH=vl0x——a=——a,

102

ABD2-BDHD=2a2-42ax—a=a2,故④正確

2

4.如圖，已知石，尸分別為正方形A5CD的邊AB,5C的中點(diǎn)，A方與。石交于點(diǎn)“，O為的中點(diǎn),

則下列結(jié)論:

2

①ZAME=90°；②ZBAF=ZEDB；(3)ZBMO=90°；@MD=2AM=4EM；(§)AM=-MF.其中正確

結(jié)論的是（）

A.①③④B.②④⑤C.①③④⑤D.①③⑤

【解答】解：在正方形A5CD中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

?「石、尸分別為邊A3,5C的中點(diǎn)，

AE=BF=-BC,

2

在AABF和\DAE中，

AE=BF

<ZABC=/BAD,

AB=AD

AABF3ADAE(SAS),

ZBAF=/ADE,

?/ZBAF+ZDAF=/BAD=90°,

/ADE+ZDAF=/BAD=90°,

/.ZAMD=180°-(ZADE+/DAF)=180?！?0°=90°,

NAME=180?！猌AMD=180?！?0°=90°,故①正確；

DE是AABD的中線，

ZADEwZEDB,

ZBAFZEDB,故②錯(cuò)誤；

?/ABAD=90°,AMLDE,

\AED^AMAD^AMEA,

AMMDAD

-'EM~AM~AE~'

/.AM=2EM,MD=2AM,

MD=2AM=4EM,故④正確；

設(shè)正方形A5c。的邊長為2a,則5/二〃，

在RtAABF中，AF7AB2+BF?=耳，

???ZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

/.AAME^AABF,

.AMAE

一~AB~~AF"

AMa

即右=而，

解得

5

:.MF=AF-AM=45a--—a=—a,

55

2

：.AM=-MF,故⑤正確；

如圖，過點(diǎn)/作于N,

c、MNANAM

貝U——二——二——，

BFABAF

2^/5

即MN_AN_,

ala45a

24

解得MN=ya,AN=-a,

46

NB-AB—AN—2?！猚i——a,

55

根據(jù)勾股定理，BM=yjBN2+MN2=,

過點(diǎn)M作GH//A2,過點(diǎn)。作。KLGH于K,

則OK=ci—〃=—a,MK——a—a=—a,

5555

在RtAMKO中，MO=^MK2+OK2=^~?,

B

根據(jù)正方形的性質(zhì)，BO=2ax—=41a,

2

222

BM+MO=(+(亞Q)2=2a，

55

BO2=(V2ci)2=2a2,

BM2+MO2=BO2,

.?.△BMO是直角三角形，ZBMO=9Q°,故③正確;

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤共4個(gè)

5.如圖，在正方形ABCD中，E、尸分別在CD、AD邊上，ACE=DF,連接BE、CP相交于G點(diǎn).則下

列結(jié)論:①BE=CP;②SDBCC=S四邊形DFGE;③CG?=3G?GE；④當(dāng)E為CO中點(diǎn)時(shí)，連接。G,則NFGD=45°,

正確的結(jié)論是.（填序號(hào)）

D

【答案】①②③④

【分析】①由“SAS”可證口改為芬CDP,可得BE=CF；

②由全等二角形的性質(zhì)可得S^BCQ=S^CDF，由面積和差關(guān)系可得$8CG=S四邊形DFGE；

③通過證明□BCGsOCEG,可得*=段，可得結(jié)論；

B3GC

④通過證明點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)G,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓，可證/DEb=ZDG/=45。.

【詳解】解：???四邊形ABC。是正方形，

BC=CD,/BCD=/CDF=90°,

在口8。￡和口。。產(chǎn)中，

BC=CD

<NBCD=NCDF=9。。,

CE=DF

.?.□BCE/CDF(SAS),

：.BE=CF,故①正確，

,.,□BCE^ZCDF,

:.SABCE=SRDF,

SQSCG=S四邊形。尸GE；故②正確,

,/□BCE^ZCDF,

???ZDCF=ZEBC,

?.?ZZ)CF+ZBCG=90°,

???/EBC+/BCG=90。,

ZBGC=ZEGC=90°f

：.DBCG^OCEG,

.CGGE

**GC?

：.CG2=BGGE;故③正確；

如圖，連接石方，

??,點(diǎn)E是CO中點(diǎn),

DE=CE,

"：CE=DF,

：.DF=CE=DE,

：.NDFE=NDEF=45。,

'：ZADC=NEGF=90°,

.?.點(diǎn)D,點(diǎn)E,點(diǎn)G,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓,

ZDEF=ZDGF=45°,故④正確；

綜上所述：正確的有①②③④

題型三對(duì)角線模型

1.如圖，在邊長為1的正方形A8CO中，動(dòng)點(diǎn)尸，E分別以相同的速度從。，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和8運(yùn)

動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），連接AE、8尸交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作PM//CD交BC于M點(diǎn)，PNUBC交CD

于N點(diǎn)，連接MN,在運(yùn)動(dòng)過程中則下列結(jié)論：①AABE=ABCF；②AE=BF；③AELBF；④CF?=PEUBF;

⑤線段MN的最小值為叵工.其中正確的結(jié)論有（）

3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【解答】解：.??動(dòng)點(diǎn)尸，E的速度相同,

DF=CE,

又?：CD=BC,

CF=BE,

在AA8E和ABCF中，

AB=BC

<NABE=NBCF=90°

BE=CF

.-.AABE=ABCF(SAS),故①正確；

NBAE=ZCBF,AE=BF,故②正確；

ZBAE+ZBEA=90°,

ZCBF+ZBEA=90°,

:.ZAPB=90°,故③正確；

在ABPE和ABCF中,

ZBPE=ZBCF,/PBE=ZCBF,

NBPEsNBCF,

PE_BE

…而一茄’

/.CF\JBE=PEHBF,

???CF=BE,

CF2=PEOBF,故④正確；

???點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持NAPB=90°,

.??點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

如圖，設(shè)的中點(diǎn)為G,連接CG交弧于點(diǎn)尸，此時(shí)。尸的長度最小,

在RtABCG中，CG=VBC2+BG2=J1+-=—,

V42

???PG=-AB=-,

22

:,MN=CP=CG-PG=—--=^^-,

222

即線段MN的最小值為避二1,故⑤錯(cuò)誤；

2

綜上可知正確的有4個(gè)，

故選：C.

2.如圖，正方形A5c。中，A5=3,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接OE,過點(diǎn)E作交A5

于點(diǎn)尸，連接O尸交AC于點(diǎn)G,下列結(jié)論：

①DE=EF；?ZADF=ZAEF；?DG2=GEDGC;④若AF=1,則EG=|■血，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是

4

)

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如圖，連接BE,

Mi-

四邊形ABC。為正方形，

/.CB=CD,ZBCE=ZDCE=45°,

在ABEC和\DEC中，

DC=BC

<ZDCE=ZBCE,

CE=CE

ADCE=NBCE(SAS),

DE=BE,ZCDE=ZCBE,

:./ADE=/ABE,

?/ZDAB=90°,ZDEF=90°,

:.ZADE+ZAFE=1SO°,

ZAFE+ZEFB=180°,

/ADE=NEFB,

/./ABE=ZEFB,

/.EF=BE,

:.DE=EF,故①正確；

???ZDEF=90°,DE=EF,

/.ZEDF=ZDFE=45°,

?/ZDAC=45°,ZAGD=ZEGF,

:.ZADF=NAEF,故②正確；

???ZGDE=ZDCG=45°,ZDGE=ZCGD,

/.ADGEsbCGD,

.DG_CG

一~EG~~DG"

即。G2=GEnCG,故③正確；

如圖，過點(diǎn)石作ENLA5于點(diǎn)N,

vAF=1,AB=3,

BF=2,AC=V32+32=372，

BE=EF,

FN=BN=1,

:.AN=2,

-AE=《2。+2'=2V2，

CE=AC-AE=42,

將'DEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADMA,連接MG,

易證\DMG=ADEG(SAS),AAMG是直角三角形，

MG=GE,

MG'=EG?=A"+AG'=CE2+AG2,

設(shè)EG=x,則AG=2應(yīng)-x，

???(V2)2+(2V2-X)2=X2,

解得：x=(V2,即EG=。后，故④正確.

44

故選：D.

3.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別為邊8C,上的點(diǎn)，連接AE,AF,與對(duì)角線分別交于

點(diǎn)G,H,連接E4.若NEAF=45。，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.BE+DF=EFB.BG2+HD2=GH2

C.E,尸分別為邊BC,CD的中點(diǎn)D.AH1EH

【解答】解：如圖1,將AA。b繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABM,此時(shí)AB與重合,

圖1

由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BM=DF,ZDAF=ZBAM,ZABM=ZD=90°,AM=AF,

ZABM+/ABE=90°+90。=180°,

.??點(diǎn)M,B,石在同一條直線上.

???ZEAF=45°,

/.ZDAF+/BAE=ZBAD-ZEAE=90°-45°=45°.

???NBAE=NDAF,

/.ZBAM+ZBAE=45°.

即ZMAE=ZFAE.

在\AME與/SAFE中，

AM=AF

<ZMAE=ZFAE,

AE=AE

AAME=AAFE(SAS),

:.ME=EF,

:.EF=BE+DF9故A選項(xiàng)不合題意，

如圖2,將AAO"繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AA5N,此時(shí)A3與重合，

卸

:.AADH=AABN,

/.AN=AH,ZBAN=ADAH,ZADH=ZABN=45°,DH=BN,

ZNBG=90°,

/.BN2+BG2=NG2，

???ZEAF=45°,

ZDAF+ZBAE=45°,

/BAN+/BAE=45°=ZNAE,

/.ANAE=ZEAF,

又?：AN=AH,AG=AG,

AANG=AAHG(SAS),

/.GH=NG,

:.BN2+BG2=NG2=GH2,

:.DH2+BG2=GH2,故3選項(xiàng)不合題意;

???ZEAF=ZDBC=45°,

???點(diǎn)A,點(diǎn)5,點(diǎn)E,點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，

ZAHE=ZABE=90°,

/.AH1HE,故。選項(xiàng)不合題意，

故選：C.

4.在正方形ABC。中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)且CE=2B石，點(diǎn)廠為對(duì)角線8D上一點(diǎn)且連接AE

交5。于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作/H，AE于點(diǎn)H,連接CH、CF,若HG=2cm,則ACHF的面積是當(dāng)cm2.

—5—

【解答】解：如圖，過尸作C5C于/,連接FE,FA,

/.FI//CD,

???CE=2BE,BF=2DF,

:.設(shè)BE=EI=IC=a,CE=FI=2a,AB=3a,

???貝！1比=/。=必=氐，

.?.H為AE的中點(diǎn),

:.HE=-AE=^^

22

,?,四邊形是正方形,

5G平分NA5C,

.EGBE_1

"'AG~^B~3'

.\HG=-AE=—a=2,

44

CL——J10,

5

72;56

ShCHF=S^HEF+S^CEF-S^CEH=Q~〃)+Q-2a-2a---2a--a——a

2245

56

故答案為:

5

5.如圖，正方形AFBH,點(diǎn)T是邊AF上一動(dòng)點(diǎn),M是HT的中點(diǎn),MNLHT交AB于N,當(dāng)點(diǎn)T在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí),

MN一一一

——的值是否發(fā)生改變?若改變求出其變化范圍:若不改變請(qǐng)求出其值并給出你的證明

HT

【解析】易知NT=HN,證明/TNH=90°即可

TN=HN^>TN_LHN

2023?攀枝花?中考真題

6.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,點(diǎn)尸是對(duì)角線8。上的一點(diǎn)，于點(diǎn)尸，PE_LA3于點(diǎn)E,

連接PC,當(dāng)尸E:尸尸=1:2時(shí)，則尸C=()

AFD

【答案】c

【分析】先證四邊形AEPF是矩形，可得PE=A尸，/PFD=90。,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得=。尸，

可求”，D尸的長，由勾股定理可求AP的長，由“SAS”可證△ABPgZXCBP,可得AP=PC=VL

【詳解】解:如圖：

連接AP,

；四邊形A3CD是正方形，

AB=AD=3,ZAPS=45°,

vPF1AD,PEIAB,ZBAD=90°,

，四邊形AEPF是矩形，

:.PE=AF,ZPFD=90°,

是等腰直角三角形，

PF=DF,

?;PE:PF=1:2,

AF:DF=1:2,

：.AF=1,DF=2=PF,

AP=yjAF2+PF2=Vi+4=V5，

???AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,BP=BP,

AABP^ACBP(SAS),

AP=PC=4s

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題

7.如圖,邊長為6的正方形ABCD中,M為對(duì)角線3。上的一點(diǎn),連接AM并延長交CD于點(diǎn)尸.若PM=PC,

則AM的長為（）

A.3（V3-1）B.3（3癢2）C.6（V3-1）D.6（36-2）

【答案】C

【詳解】解：；四邊形ABC。是邊長為6的正方形，

AD=CD=6,ZADC=90°,ZADM=ZCDM=45°,

DM=DM

在4ADM和△COM中,\NADM=NCDM=45°,

AD=CD

:UADM^JCDM（SAS）,

ZDAM=ZDCM,

???PM=PC,

ZCMP=ZDCM,

ZAPD=ZCMP+ZDCM=2NDCM=2ZDAM,

又ZAPD+ZDAM=180°-ZADC=90°,

ZDAM=30°,

設(shè)PD=x,則AP=2尸0=2尤，PM=PC=CD—PD=6-x,

AD=yjAP2-PD2=怎=6，

解得X=2VL

:.PM=6-x=6-243,AP=2x=46,

AM=AP-PM=4G-（6_2G）=6（G_1）

題型四半角模型（七個(gè)性質(zhì)）

2023?重慶?中考真題

1.如圖，在正方形43CD中，點(diǎn)E,尸分別在3C,CD±,連接AE,AF,EF,NEAF=45。.若/BAE=a,

則/FEC一定等于（）

A.2aB.90。一2aC.45。一aD.90。一a

【答案】A

【詳解】將口人。尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至

???四邊形ABC。是正方形，

AAB=AD,ZABC=ZD=ABAD=AC=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZDAF=ZBAH,ZD=ZABH=90°,AF=AH,

：.ZABH+ZABC=180°,

，點(diǎn)H,B,。三點(diǎn)共線，

VABAE=a,/E4尸=45。，/BAD=/HAF=9。。,

：.ZDAF=ZBAH=45°-a,/EAF=NEAH=45。,

ZAHB+ZBAH=90°,

：.ZAHB=450+a,

^AEF^UAEH中

AF=AH

</FAE=/HAE,

AE=AE

.??□AFE印AHE(SAS),

：.ZAHE=ZAFE=45。+a,

???ZAHE=ZAFD=ZAFE=45。+a,

，ZDFE=ZAFD+ZAFE=90°+2a,

"?ZDFE=ZFEC+ZC=ZFEC+90°,

ZFEC=2a

2023?眉山?中考真題

2.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)E是CQ上一點(diǎn)，延長CB至點(diǎn)尸，使BF=DE,連結(jié)AE,A￡EF,EF交

于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作AG1EF,垂足為點(diǎn)H,交CP于點(diǎn)G,連結(jié)HDHC.下列四個(gè)結(jié)論：①AH=HC；

②HD=CD；③NFAB=NDHE；@AK-HD=y/2HE2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形A8C。的性質(zhì)可由SAS定理證△ABBgaADE,即可判定AAE尸是等腰直角三角形,

進(jìn)而可得誑=印由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得=由此即可判斷①正

AbAK

確；?ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,可判斷③正確，進(jìn)而證明□AFK加7TOE,可得——=—,

HDHE

結(jié)合AF=6AH=4iHE，即可得出結(jié)論④正確，由隨著。石長度變化而變化，不固定，可判斷②

CO不一定成立.

【詳解】解：??,正方形ABC。，

AB=AD,ZADC=ZABC=ABAD=ZBCD=90°,

???ZABF=ZADC=90°,

,/BF=DE,

：.AABF^AADE(SAS),

ZBAF=ZDAE,AF=AE,

：.ZFAE=NBAF+NBAE=/DAE+NBAE=/BAD=90°,

???/XAEF是等腰直角三角形，ZAEF=ZAFE=45°,

AHLEF,

：.HE=HF=AH=-EF,

2

???NDCB=90。,

CH=HE=-EF,

2

:.CH=AH,故①正確；

XVADCD,HD=HD,

.,kOAH￡)=OCHD(SSS),

ZADH=ZCDH=-ZADC=45°,

2

ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,即：45°+ZEAD=NDHE+45°,

ZEAD=ZDHE,

/.ZFAB=ZDHE=ZEAD,故③正確,

又,/ZAFE=ZADH=45°,

：iOAFK\JnHDE,

.AFAK

""HD~~HE,

又AF=6AH=叵HE,

/-AKHD=^2HE2,故④正確，

1800-45°

,/若HD=CD,則ZDHC=ZDCH=-------------=67.5°,

2

又；CH=HE,

：.ZHCE=NHEC=67.5°,

而點(diǎn)￡是8上一動(dòng)點(diǎn)，NAEQ隨著DE長度變化而變化，不固定，

而/”EC=180°-/AE。一45°=135°-/AE。，

則故NHEC=67.5°不一定成立，故②錯(cuò)誤；

綜上，正確的有①③④共3個(gè)

3.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)E,尸分別在8C,CD上，AE=AF,AC與E尸相交于點(diǎn)G.下列結(jié)論:

①AC垂直平分EF；?BE+DF=EF■,③當(dāng)尸=15。時(shí)，AAE尸為等邊三角形；④當(dāng)NEA尸=60。時(shí),

ZAEB=ZAEF.其中正確的結(jié)論是（）

B.②④C.①③④D.②③④

【解答】解：.??四邊形ABCD是正方形，

AB=AD=BC=CD,NB=ND=90°,ZACD=ZACB=45°,

AB=AD,AE=AF,

/.RtAABE二RtAADF(HL),

/.BE=DF,

CE=CF,

又???/ACD=ZACB=45°,

二.AC垂直平分石廠，故①正確；

/CE=CF,ZBCD=90°,AC垂直平分所，

EG=GF,

當(dāng)平分NA4C時(shí)，BE=EG,即8￡+。尸=所，故②錯(cuò)誤；

,/RtAABE=RtAADF,

ZDAF=ZBAE=15°,

NEAF=60°,

又=AE=AF,

，AAE尸是等邊三角形，故③正確；

AE=AF,ZEAF=60°,

\AEF是等邊三角形，

ZAEF=