2023-2024學(xué)年浙江省寧波市五校聯(lián)盟高二年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★考試結(jié)束前

2023學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知aQQ1）,b&12）,且ab3,則向量a與b的夾角為（、

2

A,上B.-C.-D.

663T

2

2雙曲線X?—1的漸近線方程是（)

3

A.yB.yy/3xC.y3xD.y

3.在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1,2）距離為3,且與點(diǎn)B（3,8）距離為1的直線共有（

A.1條B.2條C.3條D.4條

4圓X?y21和Xn:y28x6y90的位置關(guān)系是（）

A.外離B.相交C.內(nèi)切D.外切

5.若A(7,8),B(1Q4),C(2,④，求ABC的面積為（）

A.28B.14C.56D.20

6.直線1的方向向量為m（IQD,且1過(guò)點(diǎn)A（l,1,1）,則點(diǎn)P（1,2,1）至IJ1的距離為（）

A.72B.yj3C.乖D.2衣

22

7.已知點(diǎn)P是橢圓上-L.1上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓（X3y21上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M（6,4）,則PQl|PM|

2516

的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）

&如圖，矩形ABCD中，AB2AD及，E為邊AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成△AlDE.在

翻折過(guò)程中，直線A1C與平面ABCD所成角的正弦值最大為（

MV2

4

二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)是符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.圓M:（x2）2（y］）21,圓N:（x2）2（yD21,則下列直線中為兩圓公切線的是（）

A.x2y0B.4x3y0C.x2y&0D.x2y近0

22

.若方程JO1所表示的曲線為c，則下面四個(gè)命題中正確的是（）

A.若C為橢圓，則1t3,且t2B.若C為雙曲線，貝Ut3或t1

C.若t2,則曲線C表示圓D.若C為雙曲線，則焦距為定值

11.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD,AB//CD,ABC—,ABPAIcD2,

22

BC4,M為PD的中點(diǎn)，貝ij（）

A.BMPC

B.異面直線BM與AD所成角的余弦值為我

10

C.直線BM與平面PBC所成角的正弦值為史

7

D.點(diǎn)M到直線BC的距離為加

12曲率半徑是用來(lái)描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的點(diǎn)，已知對(duì)于橢圓［1Kab。）上

點(diǎn)P0,y。）處的曲率半徑公式為Ra2b2盤(pán)上啟，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小

B.若某焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為c（半焦距），則橢圓離心率為顯」

2

c.橢圓m41上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為藝

aba

2222

D.若橢圓t2L1上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑最大值為8,最小值為1,則橢圓方程為上工1

a2b2164

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第2頁(yè)（共4頁(yè)）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13已知a(2,12),b(2,2D,則a在b上的投影向量為

(用坐標(biāo)表示).

14已知直線1過(guò)點(diǎn)(34),且在x軸上的截距是在y軸上的截距的兩倍，則直線1的方程為

15.如圖，在三棱錐ABCD中，ABACBDCD3,ADBC2,

M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，貝|ANCM.Xv

x乙V乙

16.已知雙曲線聲晟1的左、右焦點(diǎn)分別為F,

Jx2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C,且|BC|CF2|,

則雙曲線的離心率為.

非選擇題部分

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或

演算步驟.

17.(本題滿分10)設(shè)常數(shù)aR,已知直線I1：(a2)xy10,l2：3xay(4a3)0.

(1)若L1求a的值；

(2)若1"人,求^與芍之間的距離.

18.(本題滿分12)在三棱錐體PSEF中，F(xiàn)M3ME,MN2NS,點(diǎn)H為PF的中點(diǎn),

設(shè)SPi,SEj,SFk.

(1)記aPNSH,試用向量i,j,k表示向量a；

(2)若ESFESPPSFSESF4,SP6,求PNSH的值.

E

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

19.(本題滿分⑵已知圓C:x?y28y120,直線Laxy2a0.

(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線1與圓C相切；

(2)當(dāng)直線1與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|2月時(shí)，求直線1的方程.

20.(本題滿分12)若雙曲線E:my2l(a0)的離心率為戰(zhàn)，直線ykx1與雙曲線E的右支交

a

于A、B兩點(diǎn).

(1)求k的取值范圍；

(2)若|AB|6J■，點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且OCm(OA0B),求k、m的值.

21.(本題滿分12)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB=BBi=2,BC=3,三棱柱ABC-ABC

111

的側(cè)面積為10+2JT.

(1)求證：平面A1BC_L平面ABB1A1；

(2)求直線CBi與平面AiBC所成角的正弦值.

22.(本題滿分12)已知。F2分別是橢圓E：卻?Kab0)的左、右焦點(diǎn)，且焦距為2,

動(dòng)弦MN平行于x軸，且|F]M||F]N|4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)A,B為橢圓E的左右頂點(diǎn)，P為直線1：x4上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不在x軸上)，連AP交

橢圓于C點(diǎn)，連PB并延長(zhǎng)交橢圓于D點(diǎn)，試問(wèn)是否存在，使得SACDSBCD成立，若存在，

求出的值；若不存在，說(shuō)明理由?

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2023學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

選擇題部分

一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.B2B3.D4.D5.A6B

22

7.C提示：由橢圓上工1,得兩個(gè)焦點(diǎn)分別叫(30)，F(xiàn),(30).

2516

由圓(X3>2y21,得圓心坐標(biāo)為(30)，半徑為1,又點(diǎn)M(64),

由橢圓的定義可知PF2I2a10,|PQ|PFj110|PF2111|PF21,

又|MF2|(63)2(40)25,,

則|PM|11PF2|jPMj11(|PFj|PMI)x

11|MF2|1156,___

|PQ|IPM|的最大值為6.

ac提示：分別取DE,DC的中點(diǎn)0,F,點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，以O(shè)A,OE

為x,y軸，過(guò)0與平面AOE垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(2,1,0),平面ABCD的其中一個(gè)法向量為n(0,0,1),由A101,設(shè)A/cos,

0,sin),[0,2),貝iJCA](cos2,1,sin),記直線AQ與平面ABCD所成

|CAjn|sin

角為,則sin

|C311n|J4cos64cos6

匕—],sin

令tcos1MV2

22I（一444

所以直線A1C與平面ABCD所成角的正弦值最大為屈

二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分

4L

9.BCD提示：公切線方程為y0,y-x,x2y#0

10.ABC

11.ACD提示：過(guò)A作AECD,垂足為E,則DE2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分另U以AE,

AB,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,2,0),P(0,0,2),M(2,1,1),

所以BM(2,3,1),PC(4,2,2),BC(4,0,0),BP(0,2,2),AD(4,

2,0)，因?yàn)锽MPC24(321(2)0,所以BMPC,故A正確；

所以直線BM與AD所成角的余弦值為"，故B錯(cuò)誤;

10

設(shè)平面PBC的法向量為m(x,y,z),

設(shè)直線BM與平面PBC所成角為，則sin|cosBM,m

|BM||m7

所以直線BM與平面PBC所成角的正弦值為手，故C正確

設(shè)點(diǎn)M到直線BC的距離為d,則d|BM|21BMBC

VBC

即點(diǎn)M到直線BC的距離為加，故D正確.

By

X*

DEC

X

A2)2

12.ABD提示：由題意可知一占取得最大值時(shí)，曲率半徑R最大，取得最小值時(shí)，曲

a4b4

率半徑R最小，

△2)2A2

點(diǎn)PK，y°)在橢圓上，/晨1，為b2(l=?)，

&2020,2

備以11J1,么

~^-4~TT~7~2~~2~(2Cx6

abbaab2,

0x&a2,-L-L0,

A2)2[

當(dāng)xB0時(shí)，」』的最大值為1

A2)21

當(dāng)X。a2時(shí)，-44的最小值為二，

aab&a'

Y2〉＜?3?2K2

由曲率半徑公式為Ra2b2Q,可得曲率半徑R的最大值為1,最小值為上，故C

a4b&ba

錯(cuò)誤；

若曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，故A正確；

2

若某焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為c(半焦距)，則b上c,

a

a2acc20,lee20,e2e10,解得e疸」或e邪.(舍去)，

22

該橢圓離心率為叵口，故B正確；

2

若橢圓￡4b0)上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑最大值為8,最小值為1,

a2

a2卜2

—8,—1,解得a4,b2,

ba

22

橢圓方程為二匕1,故D正確.

164

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

,884

13.、一,一,一

999

4

14y3x或x2y110.

3

15.7提示：ANCM(LABLAC)容ADAC)

222

2i179

LABADLACADLABACLAC7

44222222

非選擇題部分

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

17.解：(1)根據(jù)題意，直線L：(a2)xy10,12:3xay(4a3)0,

若LV則3(a2)a0,解可得a............5分

(2)根據(jù)題意，若I"%，則有a(a2)3,解可得a1或3,

當(dāng)a1時(shí)，直線」：3xy10,12:3xy10,兩直線重合，不符合題意,

當(dāng)a3時(shí)，直線1:xy10,1:3x3y150,即xy50,兩直線平行,

此時(shí)L與％之間的距離dH5|10分

18.解：(1)FM3ME,MN2NS,點(diǎn)H為PF的中點(diǎn),

i3i

SMSEEMSE-EFSE-(SFSE)-SE-SF,

4

PNPSSNSP1SM

3

SH1(SPSF)-i”,1.1.?

214J0

222

(2)ESFESPPSFSESF4,SP6,

23

12,ik64112,

jk44cos—0,ij64—

222

2

li1.2

—iJ—ik-jk—k

2824824

136112—1210—1664

12分

2824824T

19.(1)設(shè)圓心到直線的距離為d,

圓CMy28y120的圓心C(0,4)半徑r；J64482

直線1:蹶y2a0與圓相切，

d2三2,解得a............5分

(2)圓心到直線的距離d)2a」.

直線1與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB120時(shí)，dJ2(乎j石........7

d:2aV2,解得a7或a1.

所求直線為7xy140或xy20.............12分

20.解：(1)由題意可知，b1-也,c2a2b2.

a

ab1,雙曲線方程為E:x2y21,............2分

直線ykx1與雙曲線E聯(lián)立可得：（1k12kx20

'0

1%

則：二01k衣?............4分

凌1

(2)設(shè)Al%,y),

貝"々X

1k2

ABI6邪,小k2)[?4)2駕馬]2『；)(.口673.……6分

0k29或k2§

得：28k455k225

74

J￡

又1k嫄k

2

2k4

Xy2k(x,x,)28.........9分

設(shè)C0,y0),由0(m(OAOB),

22

(七，y0)(4y5m,8m),80m64mIm—,

km—.............12分

24

21.解：(1)證明：依題意，(2+3+4C)x2=10+2g,AC=y/13,

所以AB2+BC2=AC2,所以AB_LBC,根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知BBI_L平面ABC,

而AB,BCu平面ABC,所以BBi_LAB,BBi±BC,

由此以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，B,

則Ai(2,0,2),C(0,3,0),設(shè)平面ABC的法向量痂1=(x,y,z),

r—>

則n-BAr—2x+2z—0,令x—l,貝!|y=0,z=-1,故可得rt=(1,0,-1)..........2分

n-BC=3y=0

平面ABBiAi的一個(gè)法向量是就=(0,1,0),...................4分

由于所以mln,

所以平面AiBC_L平面ABBiAi........6分

(2)由(1)得平面AiBC的法向量蔡=(1,0,-1),

為(0,0,2),C(0,3,0),B；C=(0,3,-2),....................9分

設(shè)直線