高中數(shù)學(xué)人教B版《數(shù)列的遞推公式(選學(xué))》雙基達(dá)標(biāo)練

2.1.2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))1．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝an＋n，且a1＝1，則a5的值為 ()．A．9 B．10C．11 D．12解析a5＝a4＋4＝a3＋3＋4＝a2＋2＋3＋4＝a1＋1＋2＋3＋4＝11.答案C2．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，則此數(shù)列的第4項(xiàng)是()．A.eq\f(5,16) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,8)解析∵a1＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，∴a2＝eq\f(1,2)×a1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,22)＝eq\f(3,4)，a4＝eq\f(1,2)a3＋eq\f(1,23)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).答案B3．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)an可能是 ()．A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－3解析由a1＝2，得a2＝2a1答案D4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n>1)則a4＝.解析a2＝1－eq\f(1,a1)＝5，a3＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(4,5)，a4＝1－eq\f(1,a3)＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)5．已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＝an－1－eq\f(1,2)(n≥2)，則an＝.解析an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋…＋(－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(n－1)＋eq\f(1,2)＝1－eq\f(n,2).答案1－eq\f(n,2)6．根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N＋)．解(1)a1＝0；a2＝a1＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可歸納出an＝(n－1)2.(2)a1＝1；a2＝eq\f(2a1,a1＋2)＝eq\f(2,3)；a3＝eq\f(2a2,a2＋2)＝eq\f(1,2)；a4＝eq\f(2a3,a3＋2)＝eq\f(2,5)；a5＝eq\f(2a4,a4＋2)＝eq\f(1,3).由a1＝1＝eq\f(2,2)，a2＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，a4＝eq\f(2,5)，a5＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,6).可歸納出an＝eq\f(2,n＋1).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq\f(1,n))，則an等于 ()．A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn解析由題意可知：an＋1＝an＋lneq\f(n＋1,n)，即an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，于是an＝(an－an－)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.答案A8．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an0≤an<\f(1,2)，,,2an－1\f(1,2)≤an<1.))若a1＝eq\f(6,7)，則a2012的值為()．A.eq\f(6,7) B.eq\f(5,7)C.eq\f(3,7) D.eq\f(1,7)解析計(jì)算得a2＝eq\f(5,7)，a3＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(6,7)，故數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，又知2010除以3余2，所以a2012＝a2＝eq\f(5,7).答案B9．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，an＋1an＝an2＋(－1)n＋1(n∈N*)，則eq\f(a4,a2)＝.解析a2＝2，a3＝eq\f(3,2)，a4＝eq\f(13,6)，eq\f(a4,a2)＝eq\f(13,12).答案eq\f(13,12)10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足log2(1＋Sn)＝n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.解析∵log2(1＋Sn)＝n＋1∴1＋Sn＝2n＋1即Sn＝2n＋1－1當(dāng)n＝1，a1＝S1＝22－1＝3當(dāng)n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n＋1－2n＝2n∵an＝2n，對(duì)于n＝1，a1＝21＝2≠3∴通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,2n))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1,n≥2))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,2n))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1,n≥2))11．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)(n≥3，n∈N*)，求a3，a4的值．解令n＝3，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)，將a1＝1，a2＝eq\f(2,3)代入，eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)－eq\f(1,a1)＝3－1＝2，∴a3＝eq\f(1,2).令n＝4，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)，將a2＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(1,2)代入，eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)－eq\f(1,a2)＝4－eq\f(3,2)＝eq\f(5,2)，∴a4＝eq\f(2,5).12．(創(chuàng)新拓展)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求它的通項(xiàng)公式．解∵(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1).