2023-2024學(xué)年深圳大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案

試卷PAGE1試卷深大實(shí)驗(yàn)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末考試（數(shù)學(xué)）試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．“”是“”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知，，則（）A． B． C． D．4．已知集合，，則（）A． B．C． D．5．已知，且，則（）A． B． C． D．6．三個(gè)數(shù)，，的大小順序是（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)則方程有四個(gè)實(shí)根的充要條件為（）A． B． C． D．8．中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）（附：）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知，，若，則（）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為8 D．的最小值為10．下列化簡(jiǎn)正確的是（）A． B．C． D．11．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象12．已知函數(shù)，則（）A．的定義域?yàn)镽B．當(dāng)時(shí)，C．D．對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，恒成立三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若命題，，則命題p的否定是__________．14．已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式__________．15．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．16．設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且，都有．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個(gè)零點(diǎn)．四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（10分）化簡(jiǎn)求值（1）；（2）．18．（12分）已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若關(guān)于x的不等式解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式．20．（12分）進(jìn)口博覽會(huì)是一個(gè)展示各國商品和服務(wù)的盛會(huì)，也是一個(gè)促進(jìn)全球貿(mào)易和交流的重要平臺(tái)．某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進(jìn)口博覽會(huì)這個(gè)平臺(tái)，計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產(chǎn)x（百輛），需投入流動(dòng)成本（萬元），且，其中．由市場(chǎng)調(diào)研知道，每輛車售價(jià)25萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．（總利潤＝總銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）21．（12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱軸方程；（2）解關(guān)于x的不等式；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域．22．（12分）若函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)使得不等式能成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：1．A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】充分性：若，則，故充分性成立；必要性：若，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．2．A【分析】結(jié)合奇函數(shù)的圖象性質(zhì)及特殊函數(shù)值判斷即可．【詳解】解：由，得函數(shù)為奇函數(shù)，排除B項(xiàng)，由，得，則排除C、D兩項(xiàng)．故選：A．3．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解．【詳解】，故選：B．4．D【分析】利用函數(shù)定義域求法解不等式可求得集合A，B，再利用交集運(yùn)算法則可得結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可知，即，解得或，即；易知，解得或，即；可得，因此．故選：D．5．A【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式即可求解．【詳解】由，，得，則，故．故選：A．6．A【分析】根據(jù)題意，由，，，即可得到結(jié)果．【詳解】由三個(gè)數(shù)，，，可知其大小關(guān)系為．故選：A．7．D【分析】由題意求分段函數(shù)的極值，作出函數(shù)簡(jiǎn)圖，進(jìn)而求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，則的圖象如圖所示，要使方程有四個(gè)實(shí)根，a需滿足．故選：D．8．C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和5000時(shí)C的比值即可求解．【詳解】解：依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，的增長(zhǎng)率約為．故選：C．9．ACD【分析】AD選項(xiàng)，由基本不等式求出最值；B選項(xiàng)，化為，求出最小值；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．【詳解】對(duì)于A，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以D正確．故選：ACD．10．BCD【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確，故選：BCD．11．ABC【分析】借助圖象周期求出、再由定點(diǎn)結(jié)合范圍求出，得出解析式后結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得A、B、C，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得D．【詳解】由題意可得，故，則，，即，解得，又，即，故A正確；即，當(dāng)時(shí)，有，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；將函數(shù)的圖象向由右平移個(gè)單位得到，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．ACD【分析】根據(jù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)的單調(diào)性，判斷的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的奇偶性可判斷選項(xiàng)C；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，由，得，即恒成立，故A正確；對(duì)于B，令，易知在單調(diào)遞減，且，則在單調(diào)遞減，且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，，為R上的奇函數(shù)，，，故C正確；對(duì)于D，由B選項(xiàng)知，在單調(diào)遞減，且，在單調(diào)遞減，且，為R上的奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，且，又，在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞減，對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，恒成立，故D正確．故選：ACD．13．，【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接求解即可．【詳解】由題意，根據(jù)全稱量詞命題的否定的定義有，命題p的否定是：，．故答案為：，．14．【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可．【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上的解析式．故答案為：．15．【分析】利用一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性解決即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)是增函數(shù)，得出，即；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，得出；又因?yàn)?，解得；又因?yàn)?，解得；取交集得；故答案為：?6．6【分析】由函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，結(jié)合的條件可得函數(shù)的一個(gè)周期為4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】如圖，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，且．又，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，所以，所以4是函數(shù)的一個(gè)周期，所以．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間上．由對(duì)稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)且是4是它的一個(gè)周期，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．結(jié)合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn)．故答案為：6．17．（1）29 （2）1【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．18．（1）（2）或【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進(jìn)而根據(jù)并集的運(yùn)算求解，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得，以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案．【詳解】（1）解可得，或，所以，．當(dāng)時(shí)，，所以．（2）由“”是“”的必要不充分條件，所以，．又，．當(dāng)，有，即，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，有，即．要使，則有或，解得或．綜上所述，或．19．（1） （2）答案見解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，令解出即可；（2）由判別式確定a的范圍，分類再解不等式即可．【詳解】（1）由題意，可得，；（2）①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；③時(shí)，即或時(shí)，，解得或，原不等式的解集為．20．（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元【分析】（1）根據(jù)總利潤＝總銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本，代入相關(guān)數(shù)據(jù)運(yùn)算化簡(jiǎn)即可．（2）當(dāng)時(shí)，利用一元二次函數(shù)知識(shí)，在對(duì)稱軸處取得最值；當(dāng)時(shí)，利用基本不等式知識(shí)，通過變形得，再求最值即可．然后通過比較得到利潤最大值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，萬元．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．，所以當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元．21．（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，；對(duì)稱軸，（2），（3）【分析】（1）應(yīng)用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)得，應(yīng)用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸；（2）結(jié)合函數(shù)圖像解不等式；（3）應(yīng)用換元法求值域；【詳解】（1），函數(shù)的最小正周期．令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．令，，解得，，所以的對(duì)稱軸方程為，．（2）即，，所以，，解得，．（3）由題知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上可知所求值域?yàn)椋?2．（1），證明見解析（2）【分析】（1）由求得a的值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．（2）由在R上