8.2.2 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（解析版）

8.2.2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、離散型隨機(jī)變量的均值1、定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，…………則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望。2、意義：均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，刻畫的是取值的“中心位置”，反映或刻畫了隨機(jī)變量取值的平均水平。由定義可知離散型隨機(jī)變量的均值與它本身有相同的單位。3、兩點(diǎn)分布的均值：一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么（為成功概率）4、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)：如果是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，（其中為常數(shù)）也是隨機(jī)變量，則二、離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1、定義：如果離散型隨機(jī)變量的分布列如表所示，…………則稱為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為，并稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為。在方差計(jì)算中，利用結(jié)論經(jīng)?？梢允褂?jì)劃簡(jiǎn)化。2、意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度。方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散。3、性質(zhì)：，（C為常數(shù)）4、對(duì)方差、標(biāo)準(zhǔn)差概念的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的的取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與分散程度；（3）越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定，波動(dòng)就越小；（4）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛。題型一求離散型隨機(jī)變量的均值【例1】（2023春·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州市書生中學(xué)校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，若，則（）X3aPbA．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】由且，故，所以，即.故選：C【變式1-1】（2022春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)統(tǒng)考期末）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且，則等于（）X0123P0.1ab0.1A．B．C．D．【答案】A【解析】由分布列的性質(zhì)可得，，即①，，，即②，聯(lián)立①②解得，，故．故選：A．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某班級(jí)要從名男生，名女生中隨機(jī)選取人參加學(xué)校組織的學(xué)習(xí)小組活動(dòng)，設(shè)選取的女生人數(shù)為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，可能的取值為、、，且，，，所以.故選：D.【變式1-3】（2023春·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）隨機(jī)變量X的概率分布為，其中a是常數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，∵，∴，解得，則，∴．故選：B題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例2】（2023春·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，若，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，.故選：C【變式2-1】（2022春·北京·高二人大附中?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列是，則（）123A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意可得，解得，所以，所以；故選：C【變式2-2】（2022春·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，則（）A．或4B．2C．3D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得或（舍去?故選：D【變式2-3】（2022春·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？计谥校€(gè)球（形狀相同，編號(hào)不同）隨機(jī)地投入編號(hào)為、、、的個(gè)盒子，以表示其中至少有一個(gè)球的盒子的最小號(hào)碼（表示第號(hào)，第號(hào)盒子是空的，第個(gè)盒子至少個(gè)球），則、分別等于（）A．、B．、C．、D．、【答案】B【解析】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，，，，，所以，，因此，.故選：B.題型三求離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例3】（2022春·新疆·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（）A．0.5B．0.42C．0.24D．0.16【答案】C【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可得，所以，所以，故選:C.【變式3-1】（2023春·山西·高二統(tǒng)考期中）已知隨機(jī)變量滿足為常數(shù)），則的方差（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】，，解得，所以，所以，，故選：D【變式3-2】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，若投進(jìn)的概率是，用表示他投籃3次的進(jìn)球數(shù)，則隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，隨機(jī)變量，得出隨機(jī)變量分布列：0123所以，方差，故標(biāo)準(zhǔn)差.故選：D.【變式3-3】（2022春·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示X012P則當(dāng)取最大值時(shí)，a的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由概率的性質(zhì)知，，即，則，且，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．故選：D．題型四離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)【例4】（2022春·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量X的方差為，則（）A．9B．3C．D．【答案】C【解析】∵，故選：C．【變式4-1】（2022春·山西忻州·高二統(tǒng)考期末）隨機(jī)變量X的分布列如下所示．X123Pa2ba則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，即，，，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則的最大值為.故選：D.【變式4-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，若隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ?102Pa2a3a則下列方差值中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，，，，，．，，．其中最大．故選：C．【變式4-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列如下表：－102Pa2a3a則下列方差中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，得，則，所以，，所以，，所以，，即最大，故選：C.題型五均值與方差的綜合應(yīng)用【例5】（2022春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）投資甲、乙兩種股票，每股收益單位：元分別如下表：甲種股票收益分布列乙種股票收益分布列收益-102收益012概率0.10.30.6概率0.20.50.3則下列說(shuō)法正確的是（）A．投資甲種股票期望收益大B．投資乙種股票期望收益大C．投資甲種股票的風(fēng)險(xiǎn)更高D．投資乙種股票的風(fēng)險(xiǎn)更高【答案】C【解析】甲收益的期望，方差，乙收益的期望，方差，所以，，則投資股票甲乙的期望收益相等，投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高．故選：C.【變式5-1】（2022春·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量的分布列為，,分別為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)可知，，解得，對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，，故D不正確.故選：C【變式5-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）將3只小球放入3個(gè)盒子中，盒子的容量不限，且每個(gè)小球落入盒子的概率相等．記為分配后所?？蘸械膫€(gè)數(shù)，為分配后不空盒子的個(gè)數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)橐还灿?個(gè)盒子，所以，因此，，由題意可知：，，，，，所以，故選：C【變式5-3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：012則下列說(shuō)法中正確的是()A．有最小值B．有最大值C．有最小值0D．有最大值【答案】D【解析】由題意，知，即．又，則，∵＝b＋2a＝＋2a，∴沒(méi)有最值；∵．又，∴當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：D﹒【變式5-4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）今年3月份以來(lái)，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國(guó)內(nèi)消費(fèi)受到影響，為了促進(jìn)消費(fèi)回暖，全國(guó)超過(guò)19個(gè)省份都派發(fā)了消費(fèi)券，合計(jì)金額高達(dá)50億元通過(guò)發(fā)放消費(fèi)券的形式，可以有效補(bǔ)貼中低收入階層，帶動(dòng)消費(fèi)，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，除此之外，消費(fèi)券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個(gè)城市之間的往來(lái)，客觀上能夠達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應(yīng)政策號(hào)召，組織本單位員工參加抽獎(jiǎng)得消費(fèi)優(yōu)惠券活動(dòng)，抽