第九章 動量定理

第二節(jié)質(zhì)點系動量定理

第三節(jié)質(zhì)心運動定理

第一節(jié)質(zhì)點動量定理

第九章動量定理

在前面一章討論的是質(zhì)點動力學基本方程，而從本章起將討論的是動力學普遍定理。它包括質(zhì)點與質(zhì)點系的動量定理、質(zhì)心運動定理、質(zhì)點與質(zhì)點系的動量矩定理、質(zhì)點與質(zhì)點系的動能定理等。本章主要討論：(1)動量與沖量(2)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理(3)質(zhì)心運動定理⒈質(zhì)點動量定理的微分形式由質(zhì)點動力學基本方程，有

因

則

（9－1）

表明質(zhì)點動量的變化率等于作用在質(zhì)點上的合力，此即為質(zhì)點的動量定理。

第一節(jié)質(zhì)點動量定理⒉質(zhì)點動量定理的積分形式

在t1與t2時刻，

（9－3）

寫成微分形式

（9－2）

這是微分形式的質(zhì)點動量定理。

稱為沖量。

式中—質(zhì)點的動量；矢量，其大小等于質(zhì)點的質(zhì)量m與它在某瞬時速度v的乘積，其單位或。上式表明，在任一段時間內(nèi)，質(zhì)點動量的增量等于作用在質(zhì)點上的力在同一段時間的沖量。這就是質(zhì)點動量定理的積分形式，又稱為質(zhì)點的沖量定理。

（9－4）稱為力（時間的函數(shù)）在時間間隔（）內(nèi)的沖量。沖量是矢量，它的運算按矢量運算法則進行，亦即，在任一段時間內(nèi)，合力的沖量等于各個分力的沖量的矢量和，單位。

（9－5）

⒊質(zhì)點動量守恒

若作用于質(zhì)點上的力為零，，則有，則質(zhì)點動量保持不變。若，則有。（9－3）在直角坐標軸上的投影形式為

有幾個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，內(nèi)力、外力。對i質(zhì)點有將質(zhì)點系中每個質(zhì)點的動量定理相加，有因內(nèi)力為零，即

故

第二節(jié)質(zhì)點系的動量定理各質(zhì)點動量的矢量和，質(zhì)點系的動量用p

表示，即（9－6）

于是有：

（9－7）

上式稱為質(zhì)點系動量定理的微分形式，即質(zhì)點系的動量（主矢）對時間的導數(shù)，等于作用于該質(zhì)點上所有力的主矢。

投影在直角坐標軸上有

（9－8）

將（9－7）改成

質(zhì)點系動量的微分等于質(zhì)點系所受外力系的動量的矢量和。

積分后有：

改寫為：

（9－9）

上述即為質(zhì)點系動量定理的積分形式，又稱沖量定理。即，質(zhì)點系動量在某時間間隔內(nèi)的改變量，等于各質(zhì)點系所受全部外力在同一時間間隔內(nèi)動量的矢量和。在坐標軸上投影有：

（9－10）

上式表明：在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量在任一固定軸上投影的改變量，等于作用于質(zhì)點系的外力動量在同軸上投影的代數(shù)和。

易用動量定理解決的問題有：流體流過彎曲管道、射流對障礙物表面的壓力及碰撞問題等?！窘?/p>

】考慮小球，取坐標軸xoy根據(jù)投影的質(zhì)點動量定理

代入數(shù)值得：

Sx、Sy正值，方向與所做一致。

例9-1

質(zhì)量為1kg的小球，以的速度與一固定水平面相碰，其方向與鉛垂線成角。設(shè)小球彈跳的速度為，其方向與鉛垂線成角，如圖所示，試求作用于小球上的沖量的大小和方向。（a）（b）其方向：

例9-2機車的質(zhì)量為，車輛的質(zhì)量為，它們系通過相互撞擊而掛鉤的。若掛鉤前，機車的速度為，車輛處于靜止，如圖（a）所示。求（1）掛鉤后的共同速度；（2）在掛鉤過程中相互作用的動量和平均撞擊力。設(shè)掛鉤時間為秒，軌道是光滑和水平的。（a）【解】

它們在撞擊過程中相互作用力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力除了鉛垂方向的重力和軌道給車輪的法向反力外，無其它外力，故在掛鉤過程中水平方向沒有外力沖量，即系統(tǒng)的動量在水平軸x方向是守恒的。（1）以機車和車輛為研究對象。（2）以機車為研究對象，如圖（b）所示。

由此的動量S的大小為：從而求得平均撞擊力為：

（b）⒈質(zhì)量中心組成質(zhì)點系各質(zhì)點的質(zhì)量及其在空間位置是不同的，表征質(zhì)點系的各質(zhì)點的質(zhì)量及其位置分布情況的一個幾何點稱為質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心。確定質(zhì)心位置的方法與重心類似（9－11）

c第三節(jié)質(zhì)心運動定理而其坐標公式：

（9－12）

質(zhì)心和重心是兩個不同的概念，質(zhì)心是質(zhì)點系質(zhì)量中心，質(zhì)心只取決于質(zhì)量的分布情況，與質(zhì)點系所受力無關(guān)。質(zhì)心和重心只有在重力場中才重合為一個點。

質(zhì)點系的動量是各質(zhì)點動量的矢量和

（9－13）

投影在直角坐標軸上：

c（a）oc（b）R（c）Rc（d）（a）

（b）

（c）

（d）

求圖示質(zhì)點系的動量。

例9-3⒉質(zhì)心運動定理

對式（9－13）求導數(shù)：

（9－13）

（9－14）

又由質(zhì)點系動量定理，式（9－7）改寫為：

則（9－15）

或

（9－16）

上式稱為質(zhì)心運動定理。即，質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點所受外力的矢量和。

對于剛體或剛體系統(tǒng)，由于剛體的質(zhì)心位置容易確定，故用式（9－16）求解問題比較方便。

式（9－16）投影形式為

（9－17）

或

（9－18）

質(zhì)心運動定理表明：質(zhì)心的運動只取決于外力，而與內(nèi)力無關(guān)，也與外力是否作用在質(zhì)心無關(guān)。

⒊質(zhì)心運動守恒定理

由，若，則，常矢量。即，若作用于質(zhì)點系的外力系主矢恒等于零，則質(zhì)心作慣性運動，若質(zhì)心的初始速度也等于零，，則常矢量。即質(zhì)心位置靜止。

若，則，常數(shù)，即質(zhì)心在x軸上守恒，又若v0在x軸上投影也為零，則常數(shù)，質(zhì)心在x軸方向靜止。

上述的質(zhì)心運動守恒和質(zhì)心位置守恒，通常稱為質(zhì)心運動守恒定理。

例9-4在靜止的小船中間站著兩個人，其中m1＝50kg，面向船首方向走動1.5m。另一個人m2＝60kg，面向船尾方向走動0.5m。若船重M＝150kg，求船的位移。水的阻力不計。y尾首甲乙甲乙【解】因無水平力水平方向質(zhì)心守恒，又初始靜止。把坐標原點放在船的質(zhì)心的初始位置設(shè)當經(jīng)過t時刻后，船向右移動x，則：

即

【解】以物塊A與擺錘B所組成的質(zhì)點系為研究對象。，故質(zhì)心在水平方向守恒（即質(zhì)心的x左邊不變），。取oxy：并令y軸通過質(zhì)心，則（1）ABo例9-5質(zhì)量為m的物塊A放在光滑的水平面上，如圖。若擺長為l，質(zhì)量不計，擺錘B質(zhì)量為m，且擺動

=0sint，、0為常數(shù)。設(shè)運動開始時質(zhì)心速度為零，求物塊A的運動方程?；颍?）

因有（3）將（3）代入（2）有：（4）（4）式即為物塊A的運動方程本題也可用質(zhì)點系動量在x軸方向守恒（5）（6）將（6）式積分有：

（7）又，代入（7）式得，由此存在例9-6如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)桿OA、AB與均質(zhì)輪的質(zhì)量均為m，OA桿的長度為l1，AB桿的長度為l2，輪的半徑為R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬時，OA的角速度為

，則整個系統(tǒng)的動量為多少？【解】

方向水平向左。因為按圖示機構(gòu)，系統(tǒng)可分成3個物塊：OA、AB和輪B。首先需找出每個物塊的質(zhì)心速度：OA作定軸轉(zhuǎn)動，其質(zhì)心速度在圖示瞬時只有水平分量，方向水平向左。ABOAB作瞬時平動，在圖示瞬時其質(zhì)心速度也只有水平分量，方向水平向左。輪B作平面運動，其質(zhì)心B的運動軌跡為水平直線，所以B點的速度方向恒為水平，在圖示瞬時，方向水平向左。所以所以方向水平向。ABO例9-7如圖所示，均質(zhì)桿OA，長2l,重為P，繞O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿與水平線成

角時，其角速度和角加速度分別為

和

，求該瞬時軸O的約束反力?！窘狻咳UOA為研究對象，受力如（b）圖所示。取坐標系oxy，桿OA質(zhì)心加速度為：方向如圖（b）所示。則：CA(b)PCAO(a)由質(zhì)心運動定理得：得：解得：本題約束反力也可表示為切向力和法向反力，讀者可自己進行求解。例9-8如圖所示，均質(zhì)桿AB長為，鉛垂地立在光滑得水平面上，求它從鉛垂位置無初速度地倒下時，端點A得軌跡?！窘狻緼B桿初始靜止，且有即沿x軸方向質(zhì)心位置應(yīng)守恒，質(zhì)心C始終在y軸上，A點的坐標可表示為：消去，得：即A點的軌跡為橢圓。AB1.選擇題D（1）設(shè)剛體的動量為，其質(zhì)心的速度為，質(zhì)量為M，則式。（）A.只有在剛體作平動時才成立B.只有在剛體作直線運動時才成立C.只有在剛體作圓周運動時才成立D.剛體作任意運動時均成立C（2）質(zhì)點作勻速圓周運動，其動量。（）A.無變化B.動量大小有變化，但方向不變C.動量大小無變化，但方向有變化D.動量大小、方向都有變化【思考題】

C（3）一均質(zhì)桿長為，重為P，以角速度繞O軸轉(zhuǎn)動。試確定在圖示位置時桿的動量。（）A.桿的動量大小，方向朝左B.桿的動量大小，方向朝右C.桿的動量大小，方向朝左D.桿的動量等于零ABOCA.質(zhì)點動量沒有改變B.質(zhì)點動量的改變量大小為，方向鉛垂向上C.質(zhì)點動量的改變量大小為，方向鉛垂向下D.質(zhì)點動量的改變量大小為，方向鉛垂向下（4）將質(zhì)量為m的質(zhì)