難點(diǎn)詳解魯教版（五四制）七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十章三角形的有關(guān)證明章節(jié)練習(xí)練習(xí)題（含詳解）

魯教版（五四制）七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十章三角形的有關(guān)證明章節(jié)練習(xí)考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1、如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若AB＝2，∠AOB＝60°，則AC的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C．4 D．62、已知的周長(zhǎng)是16，且，又，D為垂足，若的周長(zhǎng)是12，則AD的長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．43、如圖，已知BC＝BD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB4、如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)5、若等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和6，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C．9或15 D．12或156、下列各組圖形中是全等三角形的一組是（）A． B．C． D．7、下列命題為假命題的是（）A．三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180度B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊C．三角形的角平分線是一條射線D．三角形的面積等于一條邊上的長(zhǎng)與該條邊上的高的乘積的一半8、小明不小心將一塊三角形玻璃打碎成了3塊不規(guī)則的玻璃塊（如圖所示），為了去玻璃店配一塊與原玻璃形狀、大小都一樣的玻璃，小明應(yīng)該帶玻璃塊（）A．① B．② C．③ D．都可以9、到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)10、如圖，在ABC中，∠C=90°，分別以A、B為圓心畫弧，所畫的弧交于兩點(diǎn)，再連接該兩點(diǎn)所在直線交BC于點(diǎn)D，連接AD．若BD=2，則AD的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）1、等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則該等邊三角形的面積為________．（用含a的代數(shù)式表示）2、等腰△ABC，AB＝AC，底角為70°，BD將△ABC分成兩個(gè)三角形，當(dāng)這兩個(gè)三角形有一個(gè)是以BD為腰的等腰三角形時(shí)，則∠ADB的度數(shù)是_____．3、如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)．若BD＝8，CD＝6，則AD的最大值與最小值的差為_____．4、如圖，△ABD≌△ACE，AB＝5，BE＝2，則AD＝___．5、如圖，已知等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，則∠EFD＝_____．三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）1、在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且BE＝BC；(1)如圖1，連接BD，DE，求∠ADE的度數(shù)；(2)如圖2，連接CE，將△BCE沿著BC翻折得到△BCF，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接BG并延長(zhǎng)BG交CF于點(diǎn)H，求證：GH＝BG+CH；(3)如圖3，將△ABC沿著BC翻折得到△MBC，在△ACM中，CA＝3，J是直線CM上一點(diǎn)，K是射線AC上一點(diǎn)，若滿足MJ＝1，∠JBK＝60°，請(qǐng)直接寫出CK的長(zhǎng)．2、已知：如圖，BD為ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE＝BA．(1)AD與CE相等嗎？為什么；(2)若∠BCD＝75°，求∠ACE的度數(shù)；(3)若，則之間滿足一定的數(shù)量關(guān)系，試說明這個(gè)結(jié)論．3、如圖ABCD，∠B＝∠D，AE＝CF，求證：△ABF≌△CDE．4、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分別是∠BAC與∠ABC的平分線，并交于點(diǎn)H．(1)若DC＝2，則AD＝；(2)∠AHB的度數(shù)．5、如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，，EB＝ED，求證：．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)得OA＝OB＝OC＝OD，繼而證明△ABC為等邊三角形，解得∠ACB＝30°，最后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解題．【詳解】解：∵矩形ABCD為矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】根據(jù)三線合一推出BD＝DC，再根據(jù)兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AB=AC，且AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16，∴AB+BD=8，∴AB+BD+AD=8+AD=12，解得AD=4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，做題時(shí)應(yīng)該將已知和所求聯(lián)系起來，對(duì)已知進(jìn)行靈活運(yùn)用，從而推出所求．3、D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理依次判斷即可．【詳解】解：在與中，，，A、根據(jù)邊邊邊可得兩個(gè)三角形全等；B、根據(jù)邊角邊可得兩個(gè)三角形全等；C、根據(jù)直角三角形的特殊判定方法（直角邊斜邊）可得兩個(gè)三角形全等；D、不能判定兩個(gè)三角形全等；故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定定理，熟練掌握各個(gè)判定定理是解題關(guān)鍵．4、B【解析】【分析】分三種情況討論：畫出符合題意的圖形，從而可得答案.【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，而所以是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有5個(gè)，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.5、B【解析】【分析】分腰長(zhǎng)為3和腰長(zhǎng)為6兩種情況考慮，先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定三角形是否存在，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求值即可．【詳解】當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，三邊長(zhǎng)為3、3、6，∵3+3=6，不符合三角形三邊關(guān)系，∴不能構(gòu)成三角形，當(dāng)腰長(zhǎng)為6時(shí)，三邊長(zhǎng)為3、6、6，∵3+6=9＞6，符合三角形三邊關(guān)系，∴能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長(zhǎng)為3+6+6=15，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，由三角形三邊關(guān)系確定三角形的三條邊長(zhǎng)為解題的關(guān)鍵．6、B【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．不符合全等三角形的判定定理，不能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；C．只有一個(gè)角相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D．只有一條邊相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．7、C【解析】【分析】分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、三角形三邊的關(guān)系、三角形角平分線定義以及三角形面積公式對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，所以此選項(xiàng)為真命題；B.三角形兩邊之和大于第三邊，所以此選項(xiàng)為真命題；C.三角形的角平分線是一條線段，所以此選項(xiàng)為假命題；D.三角形的面積等于一條邊的長(zhǎng)與該邊上的高的乘積的一半，所以此選項(xiàng)為真命題．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題；經(jīng)過推理論證的真命題叫定理．8、C【解析】【分析】帶去的玻璃應(yīng)該有原玻璃上完整的幾個(gè)角或幾個(gè)邊，這樣可以利用這些角或邊去配出與原三角形玻璃全等的新玻璃．【詳解】①中只有原三角玻璃的一個(gè)完整的角，無法判定三角形全等，②中沒有原三角形玻璃完整的角或邊也無法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的兩個(gè)角和一條邊，可以利用角邊角判定全等，故可以帶③去，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定的實(shí)際應(yīng)用，熟悉三角形全等的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．9、D【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的的距離相等進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的的距離相等∴到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)垂直平分線性質(zhì)的熟練掌握．10、D【解析】【分析】如圖，根據(jù)畫圖過程可得直線ED是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，由畫圖過程得：直線ED是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-作線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，能得到直線ED是線段AB的垂直平分線是解答的關(guān)鍵．二、填空題1、【解析】【分析】求出等邊三角形的高，根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】如圖所示，是等邊三角形，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，∵的邊長(zhǎng)為，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形“三線合一”求長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2、110°或100°##100°或110°【解析】【分析】根據(jù)題意，分量種情況討論①當(dāng)時(shí)，②若時(shí)，根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)求得的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，①當(dāng)時(shí)，②若時(shí)，如圖，綜上所述，∠ADB的度數(shù)是110°或100°【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵．3、12【解析】【分析】以CD為邊向外作等邊△CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE＝AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，以CD為邊向外作等邊△CDE，連接BE，∵△CDE和△ABC是等邊三角形，∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，∴∠ECB＝∠DCA，在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD，∵DE＝CD＝6，BD＝8，∴BD﹣DE≤BE≤BD+DE，即8﹣6≤BE≤8+6，∴2≤BE≤14，∴2≤AD≤14．則當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖所示：可得BE的最大值與最小值分別為14和2．∴AD的最大值與最小值的差為14﹣2＝12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．4、3【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解決此題．【詳解】解：，，．，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)．5、45°【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)可得，由，可得，進(jìn)而根據(jù)與的內(nèi)角和為360°，即可求得，即可求得∠EFD【詳解】解：∵是等邊三角形沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，∴故答案為：45°【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題1、(1)∠ADE=45°；(2)見解析；(3)CK=2.5或0.5．【解析】【分析】（1）連接CE，由30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，結(jié)合直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，證得是等邊三角形，是等腰三角形，是等腰三角形，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解題；（2）由翻折性質(zhì)得到BF=BH，證明△BFC為等腰直角三角形，△BFD為等腰三角形，△BDA為等腰三角形，為等邊三角形，在GH上取點(diǎn)B'使GB'=GB，連接DH，繼而證明△CDH?△B'（3）分兩種情況討論：點(diǎn)J在CM的延長(zhǎng)線上，或點(diǎn)J在CM線段上，再證明△JBC?△KBD(ASA)，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到JC=KD，最后由線段的和差解題．(1)解：連接CE，∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴BC=點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴BD=CD=AD=∴BC=BD=CD∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD∴∠BDA=120°∵BD=AD∴△ABD是等腰三角形，∴∠A=∠DBA=30°∵BC=BE∴BD=BE∴△BDE是等腰三角形，∴∠BDE=∠BED=∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=120°-75°=45°(2)翻折∴BF=BED為直角三角形斜邊上的中點(diǎn)∴BE=BC=BD=AD∴BF=BC∵∠CBA=90°∴△BFC為等腰直角三角形，∴∠BFC=45°∵BF=BD,BD=AD∴△BFD為等腰三角形，△BDA為等腰三角形，∴∠DBA=∠A=30°∴∠BFD=∠FDB=在GH上取點(diǎn)B'使GB∵BF=BD，G為DF的中點(diǎn)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BG⊥DF∴∠FGB=∠FG∵FG=FG∴△BFG?△∴∠GF∴∠G為DF的中點(diǎn)，BG⊥DF∴BH⊥DF∴HF=HD∴∠HDF=∠HFG=15°+15°=30°,∠BDF=∠BFD=15°∵BD=BC=CD∴△BCD為等邊三角形，∴∠BDC=60°∴∠CDH=60°-∠BDF-∠HDF=60°-15°-30°=15°∴∠CDH=∠HF又∵B∴∵HF=HD∴△CDH?△∴CH=∴GH=(3)分兩種情況討論：如圖，翻折∴△ABC?△MBC∴MC=CA=3∵M(jìn)J=1∴JC=4∵∠JBK=60°∴∠JBC=∠JBK+∠CBK=60°+∠CBK∵D為AC中點(diǎn)∴BD=CD=∵∠A=30°∴BC=∴BD=BC=CD∴△BCD為等邊三角形∴∠DBK=∠DBC+∠CBK=60°+∠CBK∴∠JBC=∠DBK∵BC=BD=1.5,∠JCB=∠KDB=60°∴△JBC?△KBD(ASA)∴JC=KD=4∴CK+CD=4∴CK=4-CD=4-1.5=2.5；如圖，翻折∴△ABC?△MBC∴MC=CA=3∵M(jìn)J=1∴JC=∵∠JBK=60°∴∠JBC=∠JBK+∠CBK=60°+∠CBK∵D為AC中點(diǎn)∴BD=CD=∵∠A=30°∴BC=∴BD=BC=CD∴△BCD為等邊三角形∴∠DBK=∠DBC+∠CBK=60°+∠CBK∴∠JBC=∠KBD∵BC=BD=1.5,∠JCB=∠KDB=60°∴△JBC?△KBD(ASA)∴JC=KD=2∴CK+CD=2∴CK=2-CD=2-1.5=0.5；綜上所述，CK=2.5或0.5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、翻折等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2、(1)AD=CE,證明見解析(2)(3)2α-β=180°,理由見解析【解析】【分析】（1）由SAS證明△ABD≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出AD＝CE；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCD＝∠BDC＝75°，由三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義得出∠DBC＝∠ABD＝30°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可求解；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCD＝∠BDC，由角平分線的定義得∠DBC＝∠ABD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，由∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．(1)證明：AD＝CE，理由如下：理由：∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，{BA=BE∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD＝CE；(2)解：∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；(3)解：∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD為△ABC的角平分線，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BC