第8章-廣義單自由度體系-23分析

第八章高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)廣義單自由度體系§1單自由度體系的一般注釋§2廣義性質(zhì)：剛體集合§3廣義性質(zhì)：分布柔性§4廣義體系特性的表達(dá)式§5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析§6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇§7改進(jìn)的Rayleigh法第8章廣義單自由度體系

用一個(gè)坐標(biāo)就可以描述質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題就歸結(jié)為質(zhì)量和坐標(biāo)的選擇。將廣義單自由度結(jié)構(gòu)區(qū)分為二類(lèi)：（1）剛體的集合，在這種集合中彈性變形完全限定于在局部的彈簧元件中發(fā)生；（2）體系具有分布彈性，在這個(gè)體系里變形可以在整個(gè)結(jié)構(gòu)上或它的某些元件上連續(xù)?！?.1單自由度體系的一般注釋§8.1單自由度體系的一般注釋§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合

剛體的集合，在這種集合中彈性變形完全限定于在局部的彈簧元件中發(fā)生?！?.2廣義性質(zhì)：剛體集合均質(zhì)桿及均質(zhì)板的質(zhì)量及質(zhì)量慣性矩圖8-1均質(zhì)桿和單位厚度均質(zhì)板的剛體質(zhì)量和質(zhì)心質(zhì)量慣性矩§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合

例題E8-1一個(gè)典型的剛體集合的例子示于圖E8-1，它由兩根剛性桿組成，二桿間用鉸B鏈接，在A點(diǎn)和H點(diǎn)分別支承于固定鉸支座和滾軸支座上，動(dòng)力干擾是沿桿AE長(zhǎng)度線性變化的橫向荷載p(x,t).此外，還有一個(gè)不變的軸向力N作用在整個(gè)體系上。體系的運(yùn)動(dòng)受到離散彈簧和阻尼器的約束，它們沿桿長(zhǎng)的設(shè)置位置如圖所示。AB桿的質(zhì)量是沿桿均勻分布的，而在無(wú)重桿EH上支撐一集中質(zhì)量m2，具有質(zhì)量慣性矩J2。

§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合假定兩根桿都是剛性的，體系只有一個(gè)自由度，其動(dòng)力反應(yīng)可由一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)表達(dá)。

可以用直接平衡法來(lái)建立，因?yàn)轶w系較復(fù)雜，用虛功原理來(lái)建立運(yùn)動(dòng)方程?！?.2廣義性質(zhì)：剛體集合結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的位移如圖E8-2所示，可以用鉸的運(yùn)動(dòng)Z(t)作為基本量，而它的一切位移可以利用它來(lái)表示。例如DD’=Z/4,EE’=3Z/4,FF’=2Z/3等等。作用于體系上的力也示于圖中，每一個(gè)抗力均可用Z或它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表達(dá)如下：

§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合表示單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，而表示動(dòng)荷載變化。圖E8-2單自由度位移及合力§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合體系的運(yùn)動(dòng)方程可以用于作用于體系上的力在發(fā)生虛位移時(shí)所作的總功等于零來(lái)建立。如圖E8-2所示，虛位移和Z成正比，由于有虛位移，各個(gè)分力發(fā)生移動(dòng)，因此總虛功可以寫(xiě)為§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合因?yàn)樘撐灰剖侨我獾模苑嚼ㄌ?hào)內(nèi)的項(xiàng)必須等于零。因此，運(yùn)動(dòng)方程最后變?yōu)椤?.2廣義性質(zhì)：剛體集合它也可以簡(jiǎn)化形式

其中新符號(hào)的定義為

（8-1）§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合這些符號(hào)分別稱(chēng)為此體系的廣義質(zhì)量，廣義阻尼，廣義剛度和廣義荷載，他們根據(jù)廣義坐標(biāo)計(jì)算，而在此用以確定體系的位移。圖E8-3在軸力方向的位移成分§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合現(xiàn)在來(lái)討論圖E8-1中的軸力N。在圖E8-3中可以看出，這個(gè)力在發(fā)生虛位移時(shí)所作的虛功為N，這個(gè)虛位移由和二部分組成，它們與二桿的轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)，首先討論伴隨AB桿的轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響。由圖示三角形可知。同樣的，可以求得，因此，總位移成為

§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合于是軸向力做的虛功為

把方程(d)代入方程(a)，同時(shí)進(jìn)行類(lèi)似于導(dǎo)致方程(c)的簡(jiǎn)化計(jì)算后，可見(jiàn)在運(yùn)動(dòng)方程內(nèi)僅剛度這一項(xiàng)收到軸向力影響。當(dāng)考慮體系內(nèi)軸力的效應(yīng)時(shí)，聯(lián)合廣義剛度減小為

引入了這個(gè)修正了的廣義剛度后，包含軸向力的圖E8-1所示整個(gè)體系的運(yùn)動(dòng)方程，可用一個(gè)和方程(8-1)相似的方程給出。§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合動(dòng)力剛度為零代表了體系的隨遇穩(wěn)定或臨界壓曲條件。引起結(jié)構(gòu)屈曲的軸向力Ncr的值(e)式中的

為零而求得：

于是§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合

一般來(lái)說(shuō)，軸向壓引力趨向減少結(jié)構(gòu)體系的剛度，而軸向拉力則引起剛度的響應(yīng)增加。這種荷載對(duì)動(dòng)力荷載下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)可能有顯著影響。而且所引起的剛度改變總是應(yīng)該算出，以便確定它在給定問(wèn)題中的重要性。這里有一點(diǎn)需注意，在目前以及以后的討論中均認(rèn)為軸向力的作用線平行于構(gòu)件未變形的原始軸線，并且假定在結(jié)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)它的作用線方向不變。

例題E8-2建立剛體集合運(yùn)動(dòng)方程的第二個(gè)例子，就是圖E8-4所示的體系。這個(gè)體系的小振幅運(yùn)動(dòng)可以用荷載作用點(diǎn)的豎向位移Z(t)來(lái)描述，而抵抗體系運(yùn)動(dòng)的個(gè)力可以用Z(t)表達(dá)如下：

§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合

圖E8-4在動(dòng)力情況下的單自由度板§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合

對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)單體系的運(yùn)動(dòng)方程，可以直接用。對(duì)于鉸支座的力矩平衡來(lái)寫(xiě)出：

§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合最后可寫(xiě)成或者除以長(zhǎng)度a且代入上述力的表達(dá)式，則

其中§8.2廣義性質(zhì)：剛體集合§8.3廣義性質(zhì)：分布柔性

體系具有分布彈性，在這個(gè)體系里變形可以在整個(gè)結(jié)構(gòu)上或它的某些元件上連續(xù)?！?.3廣義性質(zhì)：分布柔性假定這個(gè)體系只能按唯一的形狀撓曲(8-2)(8-3)

(8-25*)形狀函數(shù)塔動(dòng)能

圖8-2可作單自由度處理的柔性結(jié)構(gòu)§8.3廣義性質(zhì)：分布柔性

(8-26*)

(8-11)

(8-28*)彎曲變形位能塔頂豎向位移分量軸向力N的位能Hamilton原理表示為綜上得

(8-29*)§8.3廣義性質(zhì)：分布柔性存在下列關(guān)系

(8-30*)

得

(8-31*)§8.3廣義性質(zhì)：分布柔性積分(8-32*)(8-14)運(yùn)動(dòng)方程(8-15)(8-16)體系聯(lián)合廣義剛度§8.3廣義性質(zhì)：分布柔性單自由度臨界壓屈荷載Rayleigh法（近似）

（8-17）

為什么是近似的？近似程度取決于什么？§8.3廣義性質(zhì)：分布柔性使用不同的形函數(shù)---形狀,得到不同的臨界荷載!§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式任意單自由度體系得運(yùn)動(dòng)方程可表示為位移用廣義坐標(biāo)表示則廣義質(zhì)量為廣義阻尼廣義剛度§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式與橫向荷載聯(lián)系得廣義力(2-41*)廣義剛度幾何剛度

(8-18)軸力沿軸向改變時(shí)為

(2-40a*)§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式（a）假定的形狀（b）質(zhì)量特性（c）阻尼特性§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式圖8-3廣義單自由度體系的特性（d）彈性特征（e）軸向荷載（f）作用荷載§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式(8-19)

廣義坐標(biāo)適用于將二維體系簡(jiǎn)化為單自由度體系

圖8-4簡(jiǎn)支兩維板處理為單自由度體系(8-20)§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式§8.4廣義體系的特性的表達(dá)式§8.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析

需要推導(dǎo)一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，以計(jì)算單自由度體系的振動(dòng)頻率，最有用的Rayleigh法。（8-21）

這個(gè)表達(dá)式可直接用于具有彈簧剛度k和質(zhì)量m的簡(jiǎn)單彈簧-質(zhì)量體系，也可以用于因假定位移形狀Ψ而變?yōu)閱巫杂啥润w系的任意結(jié)構(gòu)。在后一情況中，方程（8-21）中的量代表方程（2-37*）和(（2-39*）所定義的廣義剛度k*和廣義質(zhì)量m*。§8.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析圖8-5無(wú)阻尼單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)：

(a)單自由度結(jié)構(gòu)；(b)位移；(c)速度§8.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析這個(gè)體系的位能完全由彈簧的應(yīng)變能表達(dá)

可以利用廣義坐標(biāo)的概念近似地確定任意結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率，但也需要用Rayleigh創(chuàng)設(shè)的另一個(gè)觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行頻率分析。Rayleigh法的基本概念為能量守恒定律。如果沒(méi)有阻尼力消耗能量的話(huà)，在自由振動(dòng)的體系中，能量應(yīng)保持常量。考察如圖8-5(a)所示的無(wú)阻尼彈簧-質(zhì)量體系的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)。如適當(dāng)選取時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)，位移可表示為(圖8-5b)（8-22a）而速度[圖8-5(c)]為（8-22b）（8-23a）此時(shí)質(zhì)量的動(dòng)能為（8-23b）§8.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析因此，如果振動(dòng)體系中全部能量保持常數(shù)（在無(wú)阻尼自由振動(dòng)中必須如此），則最大動(dòng)能必須等于最大位能，Vmax=Tmax；亦即現(xiàn)討論t=T/4=π/2ω時(shí)的情況：圖8-5[或由方程(8-23)]表明，此時(shí)動(dòng)能為零，而位能達(dá)到它的最大值：（8-24a）同樣，當(dāng)時(shí)間t=T/2=π/ω時(shí)，位能消失而動(dòng)能為最大（8-24b）由此可得顯然，所得的這個(gè)表達(dá)式和以前所述的一樣，但現(xiàn)在它卻是從最大應(yīng)變能應(yīng)等于最大動(dòng)能的Rayleigh概念而導(dǎo)得?！?.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析

如上所述，對(duì)于彈簧-質(zhì)量體系的振動(dòng)分析來(lái)說(shuō)，應(yīng)用Rayleigh法看不出有什么好處，它的主要用處是對(duì)多自由度體系進(jìn)行近似的頻率分析。作為例子，考察如圖8-6所示的非均勻簡(jiǎn)支梁。這根梁實(shí)際上應(yīng)視為具有無(wú)限自由度的體系，這就是說(shuō)，它可以有無(wú)限種位移曲線形式。為了應(yīng)用Rayleigh方法，必須假定出梁在其基本振型中的變形形狀。如在第二章對(duì)所假定的形狀函數(shù)討論中所說(shuō)明的那樣，這個(gè)假定可以用方程（2-23*）來(lái)表達(dá)，或者注意到在自由振動(dòng)時(shí)廣義坐標(biāo)為諧振變化，即，圖8-6非均勻梁的振動(dòng)（8-25）其中Ψ(x)為形狀函數(shù)，它表示任意一點(diǎn)x的位移與廣義坐標(biāo)Z(t)的比值。方程（8-25）等于假定梁在振動(dòng)過(guò)程中其形狀不隨時(shí)間而改變，僅僅是運(yùn)動(dòng)的幅值在變化，而且在自由振動(dòng)條件下呈簡(jiǎn)諧變化?！?.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析

形狀函救的假定使梁有效地簡(jiǎn)化為一單自由度體系。因此，振動(dòng)頻率可由運(yùn)動(dòng)方程中最大應(yīng)變能與最大動(dòng)能相等而求得。在這個(gè)彎曲體系中其應(yīng)變能由下式給出：（8-26）因此，把方程（8-25）所假定的形狀函數(shù)代入上式并取位移振幅的最大值，則可得（8-27）而非均勻分布質(zhì)量的動(dòng)能為（8-28）因此，方程（8-25）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)而獲得速度，且使其幅值達(dá)到它的最大值時(shí)，則（8-29）§8.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析最后，使最大位能等于最大動(dòng)能，則求得的頻率為（8-30）在這一點(diǎn)上可以看出，方程（8-30）的分子不過(guò)是這樣假定位移形狀時(shí)梁的廣義剛度k*[參看方程(2-39)]，而分母為廣義質(zhì)量m*[參看方程(2-37*)]。因此，Rayleigh法直接導(dǎo))致方程（8-21）的廣義形式這是意料中的，因?yàn)檫@個(gè)方法利用了廣義坐標(biāo)概念，把實(shí)際體系簡(jiǎn)化為單自由度體系?！?.5用Rayleigh法進(jìn)行振動(dòng)分析

由Rayleigh法所獲得的振動(dòng)頻率的精度，完全依賴(lài)于所假設(shè)的表示振型的形狀函數(shù)Ψ(x)。原則上，只要滿(mǎn)足梁的幾何邊界條件，形狀函數(shù)可以任意選取，亦即形狀函數(shù)僅需和具體的支承條件一致。但是，對(duì)不是真實(shí)振型的任意形狀函數(shù)，為了保持平衡就必須有附加的外部約束作用，這些附加約束將使體系變得剛硬，使它的應(yīng)變能增加，從而使計(jì)算頻率增大。由此可見(jiàn)，用真實(shí)振型所得的頻率是用Rayleigh法所求得的頻率中最低的一個(gè)。因此，對(duì)用這個(gè)方法所求得的近似結(jié)果加以選擇時(shí)，其中頻率最低的一個(gè)總是最好的近似值。

例題E8-4為了說(shuō)明這一點(diǎn)，假定圖8-6所示的梁具有均勻的質(zhì)量和剛度。作為頻率分析的第一次近似，假定振型為拋物線：Ψ(x)=(x/L)(x/L-1)，因此，而§8.6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇此時(shí)由此可得

如果形狀函數(shù)假定為正弦曲線，用同樣的方法分析，最后可得

顯然，第二個(gè)頻率比第一個(gè)小很多（大約小20%左右），是較好的近似值。事實(shí)上，因?yàn)榧僭O(shè)的正弦曲線的形狀函數(shù)為勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁的真實(shí)振型，所以它可以說(shuō)是精確的答案。對(duì)第一個(gè)假定，不可能期望得到非常正確的結(jié)果。因?yàn)樗僭O(shè)的拋物線形狀意味著在整個(gè)梁的跨度內(nèi)彎矩是不變的，這顯然不符合梁端的簡(jiǎn)支條件。所以雖然它是一個(gè)有根據(jù)的形狀——因?yàn)樗鼭M(mǎn)足端點(diǎn)位移為零的幾何條件，但卻不是一個(gè)符合實(shí)際的假定。§8.6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇

現(xiàn)在出現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題，為了保證在使用Rayleigh法時(shí)(或較早所述的等效廣義坐標(biāo)近似法)能獲得較正確的結(jié)果，應(yīng)該怎樣選取合理的撓曲形狀?選擇振動(dòng)形狀時(shí)可應(yīng)用如下概念：自由振動(dòng)中的位移是由慣性力作用引起，而慣性力（它為質(zhì)量和加速度的乘積）又是和質(zhì)量分布及位移幅值成正比的。因此，正確的振動(dòng)形式

為正比于

的荷載

所引起的撓曲線。當(dāng)然，要推測(cè)精確的

的形式是不可能的，但是實(shí)踐證明，根據(jù)荷載

[如圖8-7所示，其中

為真實(shí)形狀任何合理的近似]所算得的撓曲線形狀將使解答具有極高的精度?！?.6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇圖8-7由假設(shè)形狀慣性荷載所引起的撓曲線形狀

一般來(lái)說(shuō)，上述方法的計(jì)算工作量多于一次近似分析所需的工作量。為此，稍降低些要求，一般僅假定慣性荷載

(參看圖8-7)為梁的重量，亦即

，其中m(x)為質(zhì)量分布，而g為重力加速度。實(shí)踐證明，這樣做后Rayleigh法仍能給出很好的精度，此時(shí)頻率的計(jì)算將根據(jù)靜止的重量荷載所引起的撓曲線形狀vd(x)進(jìn)行。在這種情況下，由于所貯存的能量必須等于體系上所作用荷載做的功，因此，最大應(yīng)變能可以很簡(jiǎn)單地求得：（8-31）動(dòng)能仍由方程(8-29)給出，其中

為根據(jù)靜荷載算出的形狀函數(shù)。因此，使應(yīng)變能和動(dòng)能的表達(dá)式相等，則求得的頻率為（8-32）方程(8-32)常用于任何形式體系頻率的近似分析。由這個(gè)方程可看出，如果振型由無(wú)量綱的形狀函數(shù)Ψ(x)給出，則在表達(dá)式中必須包含參考振幅Z0；如果用靜荷載下的撓曲線，則表達(dá)式中將不包含Z0

?！?.6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇

計(jì)算方程(8-32)中靜止重量撓度vd(x)時(shí)，所用的荷載

實(shí)際上是重力荷載，故它僅適用于主要振動(dòng)沿豎直方向運(yùn)動(dòng)的情況。對(duì)于如圖8-8(a)所示那樣的豎向懸臂結(jié)構(gòu)，其主要的運(yùn)動(dòng)是水平的，荷載必須如圖所示，在橫向施加。為此，必須假定重力水平地作用在結(jié)構(gòu)上。為了近似表示圖8-8(b)剛架圖8-8由靜荷載引起的假設(shè)形狀§8.6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇的對(duì)稱(chēng)振動(dòng)頻率，可施加如圖所示的豎直重力荷載作用而獲得合理的撓曲線。但是這類(lèi)結(jié)構(gòu)的基本振型仍然是水平方向的。為了獲得求橫向振動(dòng)頻率的近似形狀Ψ(x)，應(yīng)使重力橫向作用于剛架。此外，在圖8-8(c)所示的兩跨梁的基本振型中，兩跨的撓度方向相反。因此，為了獲得這種情況的撓曲線形狀，重力應(yīng)在相反方向施加。如兩跨荷載的方向均同時(shí)向下，則所引起的撓曲線形狀將產(chǎn)生較高的振動(dòng)頻率。

必須注意，為了計(jì)算非常精確的撓曲線形狀，將消耗太多的時(shí)間。Rayleigh法的優(yōu)點(diǎn)，是提供既簡(jiǎn)單又可靠的近似固有頻率。使用任何假設(shè)的合理形狀，差不多都能得出有用的結(jié)果。§8.6Rayleigh振動(dòng)形狀的選擇

如前所述，在Rayleigh法分析中，應(yīng)用了由慣性荷載引起的撓曲線形狀，這一觀點(diǎn)也可應(yīng)用來(lái)系統(tǒng)地對(duì)方法本身進(jìn)行改進(jìn)。標(biāo)淮的分析方法包括任意選取—個(gè)滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)幾何邊界條件的形狀函數(shù)，為討論方便起見(jiàn)，這個(gè)最初選取的形狀用上角標(biāo)(0)來(lái)表示：根據(jù)此形狀求得的最大位能和動(dòng)能由下式給出：（8-33）（8-34）（8-35）§8.7改進(jìn)的Rayleigh法

稱(chēng)為R00法的標(biāo)準(zhǔn)Rayleigh頻率表達(dá)式為：R00法（8-36）

但是，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生撓曲時(shí)，若使用與假定撓曲線有關(guān)的慣性力所作的功來(lái)計(jì)算位能，則可以獲得更好的頻率近似值。分布慣性力(在發(fā)生最大位移時(shí))為（8-37）而這個(gè)荷載作用下所產(chǎn)生的撓度可寫(xiě)作（8-38）其中為未知頻率。在方程(8-37)和(8-38)中，它均可被視作比例系數(shù)，因?yàn)樗闹凳俏粗?，故沒(méi)有包括在表達(dá)式內(nèi)。這個(gè)荷載所產(chǎn)生的應(yīng)變能由下式給出：（8-39）§8.7改進(jìn)的Rayleigh法

使這個(gè)位能表達(dá)式和根據(jù)原來(lái)假定形狀得出的動(dòng)能表達(dá)式[式(8-35)]相等,就可得到改進(jìn)的Rayleigh頻率表達(dá)式,它被命名為為R01法：R01法（8-40）這個(gè)式子較(8-36)式好，因此，常常被推薦使用，因?yàn)樗鹈饬藰?biāo)準(zhǔn)公式所需的微分運(yùn)算。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)應(yīng)于假設(shè)撓曲線形狀的曲率，不如使用形狀函數(shù)計(jì)算精度高，因此，不包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的方程(8-39)，其精度得到改善。

但是，如用計(jì)算所得的形狀計(jì)