福建省龍巖市長(zhǎng)汀縣2023屆九年級(jí)中考一模數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023年福建省龍巖市長(zhǎng)汀縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.-13的倒數(shù)為(

)A.13 B.3 C.-3 D.2.在下面的四個(gè)幾何體中，主視圖是三角形的是(

)A.圓錐 B.正方體

C.三棱柱 D.圓柱3.某市有3萬(wàn)名學(xué)生參加中考，為了考察他們的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，抽樣調(diào)查了2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法正確的是(

)A.3萬(wàn)名考生是總體 B.每名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是個(gè)體

C.2000名考生是總體的一個(gè)樣本 D.2000名是樣本容量4.下列運(yùn)算正確的是(

)A.2m-m=1 B.m2?m3=a5.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為(

)A.70° B.75° C.80° D.85°6.如圖，△ABC為鈍角三角形，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°得到△AB'C'，連接CC'，若CC'//AB，則∠CAB'的度數(shù)為(

)

A.45° B.60° C.70° D.90°7.習(xí)近平總書(shū)記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”.為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開(kāi)展名著閱讀活動(dòng)．用3600元購(gòu)買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書(shū)滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書(shū)管理員在購(gòu)買第二批時(shí)正趕上圖書(shū)城八折銷售該套書(shū)，于是用2400元購(gòu)買的套數(shù)只比第有批少4套．設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程是(

)A.36000.8x-3600x=4 B.3600x8.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上兩點(diǎn)，且滿足∠ADC=120°，AB=12，則BC的長(zhǎng)為(

)A.π

B.2π

C.4π

D..6π9.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且有一個(gè)內(nèi)角為72°，現(xiàn)將其繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形A'B'C'D，線段AB與線段B'C'交于點(diǎn)P，連接BB'.當(dāng)五邊形A'B'BCD為正五邊形時(shí)，BPAP長(zhǎng)為(

)A.1

B.5+12

C...10.已知拋物線y=(x-x1)(x-x2)+1(x1<x2)，拋物線與x軸交于(m,0)，(n,0)兩點(diǎn)(m<n)A.x1<m<n<x2 B.m<x1二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.不等式x-13≤1的解集是

．12.小麗計(jì)算數(shù)據(jù)方差時(shí)，使用公式S2=15[(5-x-)13.如圖，在△ABC中，BC=7，把△ABC沿射線AB方向平移4個(gè)單位至△EFG處，EG與BC交于點(diǎn)M.若CM=3，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．

14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)D、E、F，則圓心O到頂點(diǎn)A的距離=

．

15.如圖，A，C是反比例函數(shù)y=kx(x<0)圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別是點(diǎn)B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點(diǎn)E，且E恰好是OC的中點(diǎn)．當(dāng)△AEC的面積為32時(shí)，k的值是______

16.如圖，正方形ABCD中，E是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE交BC于點(diǎn)G，連接AG，EG，現(xiàn)有以下結(jié)論：①△AFG是等腰直角三角形；②DE+BG=EG；③點(diǎn)A到EG的距離等于正方形的邊長(zhǎng)；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD的三等分點(diǎn)時(shí)，BGBC=12或BGBC=

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6.0分）17.計(jì)算：18-4cos45°+|-2|-(1-四、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）18.(本小題6.0分)

先化簡(jiǎn)，再求值：(1-22-x)÷(xx2-4x+4)，請(qǐng)?jiān)跀?shù)-2，19.(本小題8.0分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)P，Q分別在邊BC及CB的延長(zhǎng)線上，且BQ=CP．

(1)實(shí)踐與探索：利用尺規(guī)按下列要求作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)．

①作∠PQM=∠CBA，且點(diǎn)M在QC的上方；

②在QM上截取QR=BA；

③連接PR．

(2)猜想與驗(yàn)證：試猜想線段AC和RP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．20.(本小題10.0分)

如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AB、AC、ED.若AE=AB，求證：AC=DE．21.(本小題10.0分)

某校在宣傳“民族團(tuán)結(jié)”活動(dòng)中，采用四種宣傳形式：A.器樂(lè)，B.舞蹈，C.朗誦，D.唱歌.每名學(xué)生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學(xué)校就宣傳形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有______人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示D選項(xiàng)的扇形圓心角的度數(shù)是______，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)選擇“唱歌”的學(xué)生有多少人？

(3)七年一班在最喜歡“器樂(lè)”的學(xué)生中，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機(jī)選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的器樂(lè)隊(duì)，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．22.(本小題10.0分)

紅燈籠，象征著闔家團(tuán)圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國(guó)的一種傳統(tǒng)文化．小明在春節(jié)前購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購(gòu)進(jìn)甲燈籠與用4200元購(gòu)進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)比甲燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)多9元．

(1)求甲、乙兩種燈籠每對(duì)的進(jìn)價(jià)；

(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對(duì)售價(jià)50元時(shí)，每天可售出98對(duì)，售價(jià)每提高1元，則每天少售出2對(duì)：物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對(duì)65元，設(shè)乙燈籠每對(duì)漲價(jià)x元，小明一天通過(guò)乙燈籠獲得利潤(rùn)y元．

①求出y與x之間的函數(shù)解析式；

②乙種燈籠的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，一天獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？23.(本小題12.0分)

如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)F，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E為CD上一點(diǎn)，且EB=ED．

(1)求證：BE為⊙O的切線；

(2)若AF=2，tanA=2，求BE的長(zhǎng)．24.(本小題12.0分)

已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，BE=CF，AF與CE交于點(diǎn)P．

(1)求證：∠APE=60°；

(2)當(dāng)PC=1，PA=5時(shí)，求PD的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)AB=23時(shí)，求PD的最大值．25.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4,0)，C(-1,0)與y軸交于點(diǎn)B，已知tan∠BAC=34．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1，點(diǎn)P為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，F(xiàn)是拋物線上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)S△PAB=S△FAB，求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2，點(diǎn)Q為直線AB上方拋物線上一點(diǎn)，OQ交AB于點(diǎn)D，QE//BO交AB于點(diǎn)E.記△QDE，△QDB，△BDO的面積分別為S1，答案和解析1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

解析：解：如圖，

∵∠2=90°-30°=60°，

∴∠3=180°-45°-60°=75°，

∵a//b，

∴∠1=∠3=75°，

故選：B．

利用三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解題即可．

此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答．

6.B

解析：解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°得到△AB'C'，

∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，

∴∠ACC'=∠AC'C=40°，

∵AB//CC'，

∴∠BAC=∠ACC'=40°，

∴∠CAB'=∠BAB'-∠BAC=60°，

故選：B．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACC'=∠AC'C=40°，由平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠ACC'=40°，即可求解．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．

7.B

解析：解：設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則設(shè)第二批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為0.8x元，

依題意得：3600x-24000.8x=4．

故選：B．

設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則設(shè)第二批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為0.8x元，利用數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合第二批購(gòu)買的套數(shù)比第一批少48.B

解析：解：如圖，連接OC．

∵∠ADC=120°，

∴∠ABC=60°，

∵OB=OC，

∴∠COB=∠B=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴BC的長(zhǎng)為60π×6180=2π，

故選：B．

由圓周角定理求出∠COB=∠B=60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．9.B

解析：解：連接BC'，AC'，

∵五邊形A'B'BCD為正五邊形，

∴∠CDA'=(5-2)×180°5=108°，

∵菱形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形A'B'C'D，

∴CD=AD=DC'=AB=2，AB//CD，A'D//B'C'，∠ADC=∠A'DC'=72°，∠CDC'=∠ADA'，

∴∠CDC'=∠ADA'=∠CDA'-∠ADC=36°，

∴∠ADC'=∠ADC-∠CDC'=36°，

∴∠CDC'=∠ADC'=36°，

∴DC'平分∠ADC，

∴點(diǎn)D，C'，B在同一條直線上，

∵AD=AB，

∴∠ADB=∠ABD=36°，

∵AD=DC'，

∴∠DAC'=∠DC'A=72°，

∵AB//CD，

∴∠DAB=180°-∠ADC=108°，

∴∠BAC'=∠DAB-∠DAC'=36°，

∴∠ABC'=∠BAC'=36°，

∴AC'=BC'，

設(shè)AC'=BC'=x，

∵∠ABC'=∠ABD，∠BAC'=∠ADB=36°，

∴△BAC'∽△BDA，

∴BABD=BC'BA，

∴2x+2=x2，

∴x=5-1或x=-5-1(舍去)，

∴AC'=BC'=5-1，

∵A'D//B'C'，

∴∠A'DC'=∠BC'B'=72°，

∴∠BPC'=180°-∠BC'P-∠ABD=72°，

∴∠BC'P=∠BPC'=72°，

∴BC'=BP=5-1，

∴AP=AB-BP=3-5，

∴BPAP=5-13-5=5+12，

故選：B．

連接BC'，10.A

解析：解：設(shè)y'=(x-x1)(x-x2)，則x1、x2是函數(shù)y'和x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1，

即函數(shù)y'向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)y，

則兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示(省略了y軸)，

從圖象看，x1<m<n<x2，11.x≤4

解析：解：x-13≤1，

去分母，得：x-1≤3，

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得：x≤4，

故答案為：x≤4．

根據(jù)解一元一次不等式的方法，可以求得該不等式的解集．12.9

解析：解：∵S2=15[(5-x-)2+(8-x13.22

解析：解：由平移的性質(zhì)可知：GF=BC=7，BF=4，△ABC≌△EFG，

∴S△ABC=S△EFG，

∴S△ABC-S△EBM=S△EFG-S△EBM，即S陰影部分=S梯形MBFG，

∵BC=7，CM=3，14.10解析：解：如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設(shè)⊙O半徑為r，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=AC2+BC2=5，

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)D、E、F，

∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF=OD=OE=r，

∴四邊形OECF是正方形，

∴CE=CD=OD=r，

∴AD=AF=AC-CD=4-r，BF=BE=BC-CE=3-r，

∵AF+BF=AB=5，

∴3-r+4-r=5，

∴r=1．

∴OD=CD=1，

∴AD=3．

∴AO=AD2+OD2=10．

故答案為：10．

如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設(shè)⊙O半徑為15.-4

解析：解：∵AB⊥x軸，CD⊥x軸，E為OC的中點(diǎn)，

∴B為OD的中點(diǎn)，

∴BE為△CDO的中位線．

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,0)，則D(2b,0)，A(b,kb)，C(2b,k2b)，E(b,k4b).

∴DB=|b|，AE=kb-k4b，

∴S△ACE=12|b|(kb-k4b)=32．

∵b<0，

∴-1216.①②③

解析：解：如圖所示，延長(zhǎng)GF交AD于點(diǎn)H，連接CF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，AD//BC，

在△ADF和△CDF中，

AD=CD∠ADF=∠CDFDF=DF，

∴△ADF≌△CDF(SAS)，

∴AF=CF，∠DAF=∠DCF，

∵AD//BC，

∴∠AHF=∠CGF，

∵FG⊥AE，

∴∠HAF+∠AHF=90°，

∴∠HAF+∠CGF=90°，

∵∠DCF+∠GCF=90°，

∴∠CGF=∠GCF，

∴FG=FC=AF，

∴△AGF是等腰直角三角形，故①正確；

∴∠FAG=45°；

將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥GE于點(diǎn)N，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠MAE=90°，AM=AE，BM=DE，∠ABM=∠ADE=90°，

∴∠ABM+∠ABG=180°，即B、M、G三點(diǎn)共線，

∵∠FAG=45°，

∴∠MAG=∠MAE-∠FAG=45°，

在△AMG和△AEG中，

AM=AE∠MAG=∠EAGAG=AG，

∴△AMG≌△AEG(SAS)，

∴GE=MG，

∴GE=GM=BG+BM=BG+DE，故②正確；

∵△AMG≌△AEG，

∴AN=AB，

∵AN⊥GE，即AN為點(diǎn)A到EG的距離，

∴點(diǎn)A到EG的距離等于正方形的邊長(zhǎng)，故③正確；

設(shè)BC=CD=3x，BG=y，則CG=3x-y，

∵點(diǎn)E是點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，

當(dāng)CE=2x，DE=x時(shí)，

由②可知，EG=DE+BG=x+y，

在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，

∴(3x-y)2+(2x)2=(x+y)2，

整理得：y=32x，

∴BGBC=12；

當(dāng)CE=x，DE=2x時(shí)，

由②可知，EG=DE+BG=2x+y，

在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，

∴(3x-y)2+x2=(2x+y)2，

整理得：y=35x，

∴BGBC=15

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD的三等分點(diǎn)時(shí)，BGBC=12或BGBC=15，故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②③．

如圖所示，延長(zhǎng)GF交AD于H，連接CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證△ADF≌△CDF(SAS)，得到AF=CF，∠DAF=∠DCF，再利用平行線的性質(zhì)，證明∠AHF=∠CGF，進(jìn)而推出∠CGF=∠GCF，得到FG=FC=AF，即可證明△AGF是等腰直角三角形，故①正確；則∠FAG=45°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°17.解：原式=32-4×22+2-1解析：先算開(kāi)方、乘方化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再代入特殊角的三角函數(shù)值算乘法，最后算加減．

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)、“a0=1(a≠0)18.解：原式=(2-x2-x-22-x)?(x-2)2x

=xx-2?(x-2)2x

解析：根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則按原式化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計(jì)算即可．

本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

19.解：(1)如圖所示：PR即為所求；

(2)AC=RP，理由如下：

∵BQ=CP，

∴BQ+BP=CP+BP，

∴QP=BC，

由作圖過(guò)程可知：∠PQM=∠CBA，QR=AB，

∴△PQM≌△CBA(SAS)，

∴AC=RP．

解析：(1)根據(jù)基本作圖方法即可完成作圖；

(2)由作圖過(guò)程可得∠PQM=∠CBA，QR=AB，證明△PQM≌△CBA(SAS)，即可解決問(wèn)題．

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．

20.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC，AD=BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AB=AE，

∴∠AEB=∠B．

∴∠B=∠DAE．

在△ABC和△AED中，

AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，

∴△ABC≌△EAD(SAS)，

∴DE=AC解析：在△ABC和△EAD中已經(jīng)有一條邊和一個(gè)角分別相等，根據(jù)平行的性質(zhì)和等邊對(duì)等角得出∠B=∠DAE即可證明△ABC≌△EAD，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．

主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

21.100

144°

解析：解：(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有：30÷30%=100(人)，

∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示D選項(xiàng)的扇形圓心角的度數(shù)是360°×40100=144°，

喜歡B類項(xiàng)目的人數(shù)有：100-30-10-40=20(人)，

故答案為：100，144°，

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

(2)由題意得：1200×40100=480(人)，

答：估計(jì)選擇“唱歌”的學(xué)生約有480人；

(3)畫(huà)樹(shù)形圖如下：

共有12種等可能的情況，其中被選取的兩人恰好是甲和乙的有2種情況，

∴被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是212=16．

(1)根據(jù)A項(xiàng)目的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，即可解決問(wèn)題；

(2)用該校的總?cè)藬?shù)乘以選擇“唱歌”的學(xué)生所占的比例即可；

(3)畫(huà)出樹(shù)狀圖，共有12種等可能的情況，其中被選取的兩人恰好是甲和乙的有2種情況，再由概率公式求解即可．

本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B22.解：(1)設(shè)甲種燈籠單價(jià)為x元/對(duì)，則乙種燈籠的單價(jià)為(x+9)元/對(duì)，由題意得：

3120x=4200x+9，

解得x=26，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=26是原方程的解，且符合題意，

∴x+9=26+9=35，

答：甲種燈籠單價(jià)為26元/對(duì)，乙種燈籠的單價(jià)為35元/對(duì)．

(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470，

答：y與x之間的函數(shù)解析式為：y=-2x2+68x+1470．

②∵a=-2<0，

∴函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=-b2a=17，

物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對(duì)65元，

∴x+50≤65，

∴x≤15，

∵x<17時(shí)，y隨x的增大而增大，解析：本題屬于分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用題綜合．由于前后步驟有聯(lián)系，第一問(wèn)解對(duì)，后面才能做對(duì)．本題還需要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)確定銷售單價(jià)的取值，本題中等難度．

(1)設(shè)甲種燈籠單價(jià)為x元/對(duì)，則乙種燈籠的單價(jià)為(x+9)元/對(duì)，根據(jù)用3120元購(gòu)進(jìn)甲燈籠與用4200元購(gòu)進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，列分式方程可解；

(2)①利用總利潤(rùn)等于每對(duì)燈籠的利潤(rùn)乘以賣出的燈籠的實(shí)際數(shù)量，可以列出函數(shù)的解析式；

②由函數(shù)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，可知有最大值，結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義，可得答案．

23.(1)證明：∵AC=BC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵EB=ED，

∴∠EBD=∠D．

∵CD⊥AC，

∴∠A+∠D=90°，

∴∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠CBE=180°-(∠ABC+∠EBD)=90°．

∴OB⊥BE，

∵OB是⊙O的半徑，

∴BE為⊙O的切線；

(2)解：設(shè)CD與⊙O交與點(diǎn)G，連接BF，BG，如圖，

∵BC為⊙O的直徑，

∵∠CFB=∠CGB=90°，

∵∠ACD=90°，

∴四邊形CFBG為矩形．

∴BG=FC．

在Rt△AFB中，

∵AF=2，tanA=2=BFAF，

∴BF=4．

設(shè)AC=BC=x，則CF=x-2．

∵CF2+BF2=BC2，

∴(x-2)2+42=x2，

解得：x=5，

∴FC=3，BC=5．

∴BG=3．

∵∠CBE=90°，BG⊥CE，

解析：(1)利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)設(shè)CD與⊙O交與點(diǎn)G，連接BF，BG，利用圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得BF，設(shè)AC=BC=x，則CF=x-2，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．

本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接直徑所對(duì)的圓周角是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．

24.(1)證明：連接AC，如圖1，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD//BC，AB=BC，

∵∠BAD=120°，

∴∠B=∠ADC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACF=∠CBE=60°，AC=CB，

∵CF=BE，

∴△ACF≌△CBE(SAS)，

∴∠CAF=∠BCE，

∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，

∴∠APE=∠ACE+∠CAF=60°；

(2)解：延長(zhǎng)PC至G，使CG=AP，如圖2，

由(1)可知∠AFC=∠CEB，

∵AD//BC，AB//CD，

∴∠DAF+∠AFC=180°，∠DCG=∠AEC，

∴∠CEB+∠DAF=180°，

∵∠AEC+∠CEB=180°，

∴∠DAF=∠DCG，

又∵AF=CG，AD=CD，

∴△ADF≌△CDG(SAS)，

∴DF=DG，∠ADF=∠CDG，

同理得出∠ADC=60°，

∴∠ADC=∠PDG=60°，

∴△PDG是等邊三角形，

∴PD=PG=PC+PA=6；

(3)解：∵∠APE=60°，

∴∠APC=120°，

∵∠ADC=60°，

∴∠APC+∠ADC=120°+60°=180°，

∴A、P、C、D四點(diǎn)共圓，

∴當(dāng)PD為直徑時(shí)，PD最大，

設(shè)圓心為O，連接OA，OC，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，如圖3，

∴∠AOC=2∠ADC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAM=30°，

∵AC=AB=23，O