第01講 5.1任意角和弧度制（原卷版）

第01講5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見特殊角對應(yīng)的弧度數(shù)。⑤掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡單的弧長及面積運(yùn)算。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長公式和面積公式的運(yùn)用；知識(shí)點(diǎn)01：任意角1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.3、角的運(yùn)算設(shè)，是任意兩個(gè)角，為角的相反角．(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn);時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)）(2)：【即學(xué)即練1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若角α＝30°，把角α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°得到角β，則β＝.【答案】50°【詳解】因?yàn)橛赡鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，所以.故答案為：知識(shí)點(diǎn)02：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識(shí)點(diǎn)03：軸線角1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識(shí)點(diǎn)04：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【即學(xué)即練2】（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊重合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與角終邊重合的角為：，則當(dāng)時(shí)，，故C正確.經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)都不正確.故選：C.知識(shí)點(diǎn)05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對應(yīng)表角度制弧制度【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一課堂例題）利用單位圓，寫出，，，的圓心角的弧度數(shù)．【答案】；；；【詳解】在單位圓中，的圓心角的弧長是，那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角的弧長是，那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是．知識(shí)點(diǎn)06：扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【即學(xué)即練4】（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為9，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以該扇形的面積為．故選：A題型01任意角的概念【典例1】（多選）（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說：“經(jīng)過了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢同學(xué)說：“經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）親愛的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.【變式1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【變式2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為．題型02終邊相同的角【典例1】（2023春·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023春·山東威海·高一統(tǒng)考期末）下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．題型03終邊在某條直線上的角的集合【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫出角的集合為．【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【變式2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中寫出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在上．題型04區(qū)域角【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【典例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【變式2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【變式3】（2023春·河南駐馬店·高一?？茧A段練習(xí)）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

題型05確定角的終邊所在的象限【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【典例2】（多選）（2023春·江西宜春·高一校考階段練習(xí)）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【變式1】（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學(xué)校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．題型06弧度制的概念【典例1】（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型07角度與弧度的互化【典例1】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．【變式1】（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)r為圓的半徑，弧長為的圓弧所對的圓心角為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）化為角度是（

）A． B． C． D．題型08用弧度表示角或范圍【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）寫出一個(gè)與角終邊相同的正角：（用弧度數(shù)表示）.【典例2】（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）將－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）已知角.(1)將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；(2)在區(qū)間上找出與終邊相同的角．題型09弧長公式【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）若扇形的面積是，它的周長是，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【變式1】（2023秋·湖南常德·高二常德市一中?？奸_學(xué)考試）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長為.題型10扇形面積公式【典例1】（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.【典例2】（2023春·上海松江·高一統(tǒng)考期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習(xí)）已知扇形弧長為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1【變式2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.某班級(jí)想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為40cm，內(nèi)圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為cm2

題型11扇形中的最值問題【典例1】（2023秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（

）A． B． C． D．2【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角．【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長.（2）若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？【變式1】（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大并求出最大面積．【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．【變式1】（2023春·湖南衡陽·高一校考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大?A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)校考開學(xué)考試）下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）把表示成的形式，則θ的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2023春·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．5．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎希?，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）某圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（

）

A． B． C． D．7．（2023春·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久，最早關(guān)于扇面書畫的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時(shí)期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫的外弧長為48，內(nèi)弧長為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．990 B．495 C．380 D．3008．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·遼寧鞍山·高一校考期末）若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，且，則的值可能為（

）A． B． C． D．10．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎獮榈谒南笙藿牵瑒t可能為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角三、填空題11．（2023春·上海奉賢·高一?？计谥校┮阎霃綖榈纳刃蔚膱A心角為，則扇形的面積為．12．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，半徑為1的圓M與直線l相切于點(diǎn)A，圓M沿著直線l滾動(dòng)．當(dāng)圓M滾動(dòng)到圓時(shí)，圓與直線l相切于點(diǎn)B，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，線段AB的長度為，則點(diǎn)到直線的距離為．四、解答題13．（2023·全國·高一課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

14．（2023春·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長為，面積為，弧長為,所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長；(2)若，，求扇形的半徑和圓心角．B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三