《4.1 指數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》《4.1指數(shù)》教案4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【教材分析】學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開(kāi)平方、開(kāi)立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則。有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書(shū)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，說(shuō)明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和指數(shù)冪的性質(zhì)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).難點(diǎn)：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解．[教學(xué)方法]：以學(xué)生為主體，采用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入我們已經(jīng)知道…是正整數(shù)指數(shù)冪，它們的值分別為….那么，的意義是什么呢？這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識(shí).下面，我們一起將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實(shí)數(shù).為此，需要先學(xué)習(xí)根式的知識(shí).要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本104-106頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題(1)n次方根是怎樣定義的？(2)根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？(3)有理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？(4)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化遵循哪些規(guī)律？(5)如何利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*個(gè)數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個(gè)值，記為a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為a＜0x不存在2．根式(1)定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝.②eq\r(n,an)＝3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義4．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．四、典例分析、舉一反三題型一根式的化簡(jiǎn)(求值)例1求下列各式的值【答案】解題技巧：（根式求值）（1）化簡(jiǎn)nan時(shí),首先明確根指數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù),然后依據(jù)根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn);化簡(jiǎn)(關(guān)鍵是明確na是否有意義,只要na有意義,則((2)在對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),若被開(kāi)方數(shù)中含有字母參數(shù),則要注意字母參數(shù)的取值范圍,即確定中a的正負(fù),再結(jié)合n的奇偶性給出正確結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練一1.化簡(jiǎn)(1)eq\r(n,x－πn)(x＜π，n∈N*)；(2)eq\r(6,4a2－4a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))).【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)∵x＜π，∴x－π＜0.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,x－πn)＝x－π.綜上可知，eq\r(n,x－πn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π－x，n為偶數(shù)，n∈N*，,x－π，n為奇數(shù)，n∈N*.))(2)∵a≤eq\f(1,2)，∴1－2a≥0，∴eq\r(6,4a2－4a＋1)＝eq\r(6,2a－12)＝eq\r(6,1－2a2)＝eq\r(3,1－2a).題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題例2求值【答案】見(jiàn)解析【解析】解題技巧：(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧)1.對(duì)于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計(jì)算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對(duì)于計(jì)算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).跟蹤訓(xùn)練二1.計(jì)算(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)81【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)12527(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=1(3)812401(4)(2a+1)0=1(5)56-35-題型三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a＞0）【答案】見(jiàn)解析【解析】解題技巧：（根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化）（1）根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．（2）在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．跟蹤訓(xùn)練三1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A．－eq\r(x)＝(－x)(x＞0) B.eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\f(1,3)(y＜0)C．x－eq\f(3,4)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0) D．x－eq\f(1,3)＝－eq\r(3,x)(x≠0)【答案】C【解析】－eq\r(x)＝－x(x＞0)；eq\r(6,y2)＝[(y)2]＝－y(y＜0)；x－eq\f(3,4)＝(x－3)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0)；x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．題型四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例4計(jì)算:0.064-13--【答案】143【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)1解題技巧：（利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法）(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)，則可以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算．(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．跟蹤訓(xùn)練四1.計(jì)算:2350+2-2×214-122.化簡(jiǎn):3a72a【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)原式=1+1=1+16(2)原式=3=3=a2五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.n次方根與根式定義例1例22.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪七、作業(yè)課本109頁(yè)習(xí)題4.1【教學(xué)反思】本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的原則，通過(guò)類(lèi)比的思想使學(xué)生逐步掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪性質(zhì)及其應(yīng)用，為后面學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)及其應(yīng)用打下理論基礎(chǔ).《4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1.理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和指數(shù)冪的性質(zhì)?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).難點(diǎn)：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解．【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本104-106頁(yè)，填寫(xiě)。1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*個(gè)數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個(gè)值，記為a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為a＜0x不存在2．根式(1)定義：式子叫做根式，這里n叫做，a叫做．(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(，n為奇數(shù)，,，n為偶數(shù).))3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪4．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．【小試牛刀】1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè)．()(2)正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)．()(3)eq\r(π－42)＝4－π.()(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘．()(5)0的任何指數(shù)冪都等于0.()2.可化為()A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．－a3．化簡(jiǎn)25的結(jié)果是()A．5B．15C．25 D．1254．計(jì)算：×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))＝________.【自主探究】題型一根式的化簡(jiǎn)(求值)例1求下列各式的值跟蹤訓(xùn)練一1.化簡(jiǎn)(1)eq\r(n,x－πn)(x＜π，n∈N*)；(2)eq\r(6,4a2－4a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))).題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題例2求值跟蹤訓(xùn)練二1.計(jì)算(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)81題型三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a＞0）跟蹤訓(xùn)練三1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A．－eq\r(x)＝(－x)(x＞0) B.eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\f(1,3)(y＜0)C．x－eq\f(3,4)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0) D．x－eq\f(1,3)＝－eq\r(3,x)(x≠0)題型四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例4計(jì)算:0.064-13--跟蹤訓(xùn)練四1.計(jì)算:2350+2-2×214-122.化簡(jiǎn):3a72a【課堂檢測(cè)】1．計(jì)算94A.8116 B.32 C.92．若，則的值為()A． B． C． D．3．下列各式正確的是A． B．C． D．4．已知，則化為（）A． B． C． D．5．計(jì)算______．6．計(jì)算：化簡(jiǎn)的結(jié)果是____________。7．(28．計(jì)算：21答案小試牛刀1．（1）√（2）√（3）√（4）×（5）×2．A3．D4.eq\f(11,8)自主探究例1【答案】跟蹤訓(xùn)練一【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)∵x＜π，∴x－π＜0.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,x－πn)＝x－π.綜上可知，eq\r(n,x－πn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π－x，n為偶數(shù)，n∈N*，,x－π，n為奇數(shù)，n∈N*.))(2)∵a≤eq\f(1,2)，∴1－2a≥0，∴eq\r(6,4a2－4a＋1)＝eq\r(6,2a－12)＝eq\r(6,1－2a2)＝eq\r(3,1－2a).例2求值跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)12527(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=1(3)812401(4)(2a+1)0=1(5)56-35-例3【答案】見(jiàn)解析【解析】跟蹤訓(xùn)練三1．【答案】C【解析】－eq\r(x)＝－x(x＞0)；eq\r(6,y2)＝[(y)2]＝－y(y＜0)；x－eq\f(3,4)＝(x－3)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0)；x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．例4【答案】143【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)1跟蹤訓(xùn)練四【答案】1.2..【解析】1.原式=1+1=1+162.原式=3=3=a2當(dāng)堂檢測(cè) 1-4．BBDB5．86．7．【答案】16【解析】(28.【答案】1【解析】21《4.1.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)》教案【教材分析】學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開(kāi)平方、開(kāi)立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書(shū)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，說(shuō)明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.理解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念;2.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；4.能利用已知條件求值.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)據(jù)分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；5.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比，得出無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：①掌握并運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；②能利用已知條件求值．難點(diǎn)：能利用已知條件求值．【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是否還適用?要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本107-108頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題(1)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？(2)如何利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．2．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈R．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈R)．四、典例分析、舉一反三題型一指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例1化簡(jiǎn)求值(1)(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(3).【答案】(1)64eq\f(7,15)(2)－eq\f(a,3c)(3)【解析】(1)原式＝0.3－eq\f(5,2)＋43＋2－eq\f(1,3)＋1＝64eq\f(7,15).(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c).(3)原式＝.解題技巧：（利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法）(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)，則可以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算．(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．跟蹤訓(xùn)練一1、化簡(jiǎn)求值（1）（2）3a92a【答案】（1）（2）1【解析】（1）原式=(2)原式=[a13×92·a13×-3題型二條件求值例2已知a1(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.【答案】（1）3（2）7（3）【解析】(1)將a12+a-12=5的兩邊平方,得a+a-1+(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.所以y=±35,即a2-a-2=±35.解題技巧：(已知某些代數(shù)式的值,求另外代數(shù)式的值)已知某些代數(shù)式的值,求另外代數(shù)式的值是代數(shù)式求值中的常見(jiàn)題型.解答這類(lèi)題目時(shí),可先分析條件式與所求式的區(qū)別與聯(lián)系,有時(shí)通過(guò)化簡(jiǎn)變形把已知條件整體代入,有時(shí)需要根據(jù)已知條件求出某些字母參數(shù)的值再代入.另外還要注意隱含條件的挖掘與應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練二1.已知a，b分別為x2－12x＋9＝0的兩根，且a＜b，求．【答案】－eq\f(\r(3),3)【解析】=①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6eq\r(3).③將②③代入①，得＝－eq\f(\r(3),3).五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)4.1.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)4.1.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)例1例2條件求值七、作業(yè)課本109頁(yè)習(xí)題4.1【教學(xué)反思】本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的原則，通過(guò)類(lèi)比的思想使學(xué)生逐步掌握無(wú)理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)及其應(yīng)用.《4.1.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1.理解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念;2.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；4.能利用已知條件求值.核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)據(jù)分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；5.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比，得出無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：①掌握并運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；②能利用已知條件求值．難點(diǎn)：能利用已知條件求值．【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本107-108頁(yè)，填寫(xiě)。1．無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．2．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝_________(a＞0，r，s∈R．(3)(ab)r＝_________(a＞0，b＞0，r∈R)．【小試牛刀】1.計(jì)算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的結(jié)果為()A.15B.17C.35 D.372.若4a-2+(a-4)03.計(jì)算614-33【自主探究】題型一實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例1化簡(jiǎn)求值(1)(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(3).跟蹤訓(xùn)練一1、化簡(jiǎn)求值（1）（2）3a92a題型二條件求值已知a1(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.跟蹤訓(xùn)練二1.已知a，b分別為x2－12x＋9＝0的兩根，且a＜b，求．【課堂檢測(cè)】1.若(a-2)-A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<22.已知x2+x-2=22,且x>1,則x2-x-2的值為()A.2或-2 B.-2 C.6 D.23.若4a2-4a+14.若5x=4,5y=2,則52x-y=.

5.若α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個(gè)根,則2α·2β=,(2α)β=.

6．化簡(jiǎn)求值：(1)0.5＋0.1－2＋－eq\f(2,3)－3π0＋eq\f(37,48)；(2)8－(0.5)－3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))－6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81,16)))；(3)－eq\f(2,3)＋(0.002)－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0.7.已知x+y=12,xy=9,且x>y,求x1答案小試牛刀1．B2．[2,4)∪(4,+∞)3．自主探究例1【答案】(1)64eq\f(7,15)(2)－eq\f(a,3c)(3)【解析】(1)原式＝0.3－eq\f(5,2)＋43＋2－eq\f(1,3)＋1＝64eq\f(7,15).(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c).(3)原式＝.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】（1）（2）1【解析】（1）原式=(2)原式=[a13×92·a13×-3例2【答案】（1）3（2）7（3）【解析】(1)將a12+a-12=5的兩邊平方,得a+a-1+(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.所以y=±35,即a2-a-2=±35.跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】－eq\f(\r(3),3)【解析】=①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6eq\r(3).③將②③代入①，得＝－eq\f(\r(3),3).當(dāng)堂檢測(cè) 1-2．CD3．-∞,4．816．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))＋eq\f(1,0.12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(2)8－(0.5)－3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))－6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81,16)))＝(23)eq\f(2,3)－(2－1)－3＋(3－eq\f(1,2))－6×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))4))＝22－23＋33×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－3＝4－8＋27×eq\f(8,27)＝4.(3)原式＝(－1)－eq\f(2,3)×－eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))－eq\f(1,2)－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))－eq\f(2,3)＋(500)－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).7.【答案】見(jiàn)解析【解析】∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.∵x>y,∴x-y=63,∴x=x+y-《4.1指數(shù)》同步練習(xí)一鞏固基礎(chǔ)1．下列各式中正確的個(gè)數(shù)是()①eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n是奇數(shù)且n>1，a為實(shí)數(shù))；②eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n是正偶數(shù)，a是實(shí)數(shù))；③eq\r(3,a3)＋eq\r(b2)＝a＋b(a，b是實(shí)數(shù))．A．0B．1C．2D．32．化簡(jiǎn)eq\r(3,a\r(a))的結(jié)果是()A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)2D．a(chǎn)3.eq\r(4,－24)運(yùn)算的結(jié)果是()A．2B．－2C．±2D．不確定4.eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))＋eq\r(3,0.125)的值為_(kāi)_______．5．化簡(jiǎn)eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－43)的結(jié)果為_(kāi)_______．6．若x<0，則|x|－eq\r(x2)＋eq\f(\r(x2),|x|)＝________.7．寫(xiě)出使下列各式成立的x的取值范圍：(1)eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))3)＝eq\f(1,x－3)；(2)eq\r(x－5x2－25)＝(5－x)eq\r(x＋5).8．(1)化簡(jiǎn)：eq\r(3,xy2·\r(xy－1))·eq\r(xy)·(xy)－1(xy≠0)；(2)計(jì)算：2＋eq\f(－40,\r(2))＋eq\f(1,\r(2)－1)－eq\r(1－\r(5)0)·8.綜合應(yīng)用9．下列各式成立的是()A.eq\r(3,m2＋n2)＝(m＋n)B．(eq\f(b,a))2＝abC.eq\r(6,－32)＝(－3) D.eq\r(\r(3,4))＝210．x－2＋x2＝2eq\r(2)且x>1，則x2－x－2的值為()A．2或－2B．－2C.eq\r(6)D．211.設(shè)a－a＝m，則eq\f(a2＋1,a)等于()A．m2－2B．2－m2C．m2＋2D．m212．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于()A.eq\f(x＋1,x－1)B.eq\f(x＋1,x)C.eq\f(x－1,x＋1)D.eq\f(x,x－1)13．若a>0，且ax＝3，ay＝5，則a＝________.14．已知a∈R，n∈N*，給出四個(gè)式子：①eq\r(6,－22n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－32n＋1)；④eq\r(9,－a4)，其中沒(méi)有意義的是________．(只填式子的序號(hào)即可)若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，化簡(jiǎn)eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24).16．根據(jù)已知條件求下列值：(1)已知x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)，求eq\f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq\f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))的值；(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，且a>b>0，求eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))的值．【參考答案】1.B解析對(duì)①，由于n是大于1的奇數(shù)，故①正確；對(duì)②，由于n是偶數(shù)，故eq\r(n,an)中a可取任意實(shí)數(shù)，而(eq\r(n,a))n中a只能取非負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，eq\r(b2)＝|b|，故結(jié)果錯(cuò)誤．2.B解析原式＝＝＝a.3.A解析根據(jù)根式的性質(zhì)得eq\r(4,－24)＝|－2|＝2，選A.4.eq\f(3,2)解析原式＝eq\r(\f(5,2)2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).5.0解析原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.6.1解析∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋eq\f(－x,－x)＝－x＋x＋1＝1.7.解(1)由于根指數(shù)是3，故eq\f(1,x－3)有意義即可，此時(shí)x－3≠0，即x≠3.(2)∵eq\r(x－5x2－25)＝eq\r(x－52x＋5)＝(5－x)eq\r(x＋5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0,x－5≤0))，∴－5≤x≤5.8.解(1)原式＝[xy2·(xy－1)]·(xy)·(xy)－1＝x·y|x||y|·|x|·|y|＝x·|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0,－1，x<0)).(2)原式＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\r(2)＋1－22＝2eq\r(2)－3.9.D解析被開(kāi)方數(shù)是和的形式，運(yùn)算錯(cuò)誤，A選項(xiàng)錯(cuò)；(eq\f(b,a))2＝eq\f(b2,a2)，B選項(xiàng)錯(cuò)；eq\r(6,－32)>0，(－3)<0，C選項(xiàng)錯(cuò)．故選D.10.D解析因?yàn)閤－2＋x2＝2eq\r(2)且x>1，所以x2>x－2，x2－x－2>0，故x2－x－2＝eq\r(x2＋x－22－4)＝eq\r(8－4)＝2.11.C解析將a－a＝m平方得(a－a)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋eq\f(1,a)＝m2＋2?eq\f(a2＋1,a)＝m2＋2.12.D解析由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋eq\f(1,2b)＝1＋eq\f(1,x－1)＝eq\f(x,x－1).13.9eq\r(5)解析a＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9eq\r(5).14.③解析①中，(－2)2n>0，∴eq\r(6,－22n)有意義；②中，根指數(shù)為5，∴eq\r(5,a2)有意義；③中，(－3)2n＋1<0，∴eq\r(6,－32n＋1)沒(méi)有意義；④中，根指數(shù)為9，∴eq\r(9,－a4)有意義．15.解由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，則eq\